精品解析： 河北省石家庄市赵县2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 若在实数范围内有意义，则a取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 6. 设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（ ）个 A. B. C. D. 无数 8. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 9. 小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10. 为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，用左手向右推动框架至（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ） ①四边形由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变 A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 11. 如图，正方形与正方形，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于H，有下列结论：①；②；③；④；⑤，以上结论正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 12. 如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（ ） A. B. 2 C. D. 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 13. 比较大小：________（填“”“”或“”）． 14. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 15. 如图，中，，，平分，则________ ． 16. 如图：点A在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点P是上一个动点，连接，则的最小值为 _________________ ． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17 计算： （1）； （2）． 18. 课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成以下问题．（方格纸中每个小方格的边长为1） （1）如图1，线段的长为3，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 ； （2）截取出方格纸的局部如图2，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切线，在图3中画出拼成的正方形． 19. 如图，在中，G是边上一点，的延长线交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的度数． 20 阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； （3）如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 21. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 22. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（为等腰三角形时，的长．（结果保留根号） 24. 综合与实践综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动．请仔细阅读，并完成相应的任务． 操作判断： 操作一：将三角板ABC（∠ACB＝30°）放置在图纸上，延长直角边BA，如图①． 操作二：以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交前弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE为菱形． （1）操作一中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是______（填序号） ①四条边都相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 迁移探究： （2）数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆O及其直径AB．分别以点O，B为圆心、大于OB一半的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交半圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD、CD、CO，得到四边形AOCD．判断四边形AOCD的形状，并说明理由； 拓展应用： （3）如图③，数学兴趣小组利用含45°角的三角板ABC和（∠BAC＝45°）圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝12，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数解题即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故选：C． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 4. 如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是勾股定理在实际生活中的应用，把花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．圆柱形花器内容下的花茎最长时，花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 为圆柱形花器底面直径，是圆柱形花器高， ∴， ∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度， ∴． 故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为． 故选：B． 5. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 6. 设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（ ）个 A. B. C. D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 8. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 9. 小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度． 由于鱼缸是无盖的长方体，因此画出展开图，由勾股定理得． 【详解】解：因为是鱼缸是无盖的长方体， 所以由题意得，画出展开图： ∴由勾股定理得：， 故选：A． 10. 为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，用左手向右推动框架至（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ） ①四边形由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变 A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【详解】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，边上的高、、的长度不断变化解答即可． 【解答】解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形由平行四边形变为矩形，故①正确； ②B、D两点之间的距离不断变化，故②错误； ③由底不变，高不断变化可知，四边形的面积不断变化，故③错误； ④由四边形的长度不变可知四边形的周长不变，故④正确． 所以正确的说法有①④． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 11. 如图，正方形与正方形，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于H，有下列结论：①；②；③；④；⑤，以上结论正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】利用等角的余角相等得到，则可根据“”判断，则，再利用四边形是正方形得到，则可对①进行判断；由于，则不能判断，于是可对②进行判断；利用得到，加上，所以，则可对③进行判断；通过证明为等腰直角三角形得到，则，利用勾股定理得到，加上，则可对④进行判断；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断． 【详解】解：∵， ， 而， ， 在和中 ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ，故①正确； ， ∴不能判断， ∴不能确定，故②错误； ∵四边形是正方形， ， ∴， 而， ∴，所以③正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 而， ∴，所以④错误； ∵，， ∴，所以⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，正方形的性质等知识点，能灵活运用全等三角形的知识解决相关问题是解题的关键． 12. 如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形的中位线定理，取的中点，取的中点，连接，可推出四边形是矩形，得到M为的中点；进而可得当点P从点B运动到点C，点从点运动到点，据此即可求解； 【详解】解：取的中点，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵M为的中点， ∴M为的中点， ∴当点P从点B运动到点C，点从点运动到点， ∵的中点为，的中点为， ∴是的中位线， ∴， 即：点M运动的路径长为， 故选：D 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 13. 比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 15. 如图，中，，，平分，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质证明，得，然后根据线段的和差即可解决问题，解决本题的关键是得到． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图：点A在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点P是上一个动点，连接，则的最小值为 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】作A点关于的对称点，连接与交点为P，则，求得，进而得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：作A点关于的对称点，连接与交点为P， ∴， ∴， ∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 课本上有很多与方格纸相关问题，请你来完成以下问题．（方格纸中每个小方格的边长为1） （1）如图1，线段的长为3，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 ； （2）截取出方格纸的局部如图2，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切线，在图3中画出拼成的正方形． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、图形的剪拼，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格按要求画图即可；利用勾股定理计算即可． （2）由题意得拼成的正方形的面积为5，则拼成的正方形的边长为，利用网格结合勾股定理画图即可． 【小问1详解】 解：如图1，三角形即所求． 或 由勾股定理得，， 同理：另一图． ∴第三边的长为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由图2可知，剪拼成的无重叠无缝隙的正方形的面积为， ∴剪拼成无重叠无缝隙的正方形的边长为． 如图2、图3所示． ． 19. 如图，在中，G是边上一点，的延长线交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）根据平行四边形的判定与性质证明即可； （2）由全等三角形的判定得到，从而得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴． 20. 阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； （3）如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 21. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 【答案】（1）④ （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论； （2）证，得，再由，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论； 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④． 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 22. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，把代入得到，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：由，，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（为等腰三角形时，的长．（结果保留根号） 【答案】（1）直角；（2）当为等腰三角形时，或或；（3）当为等腰三角形时，或或 【解析】 【分析】（1）由可得是直角三角形； （2）可得为等腰直角三角形，过分别作、的垂线即可得到D； （3）由可得是直角三角形，由题意可得，即为等腰直角三角形，，再分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形 故答案为：直角； （2）当时， ； 当时， 过作交于D， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， 过作交于D， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，解得； 综上所述，当为等腰三角形时，或或； （3）∵，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，则， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 当时， 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键． 24. 综合与实践综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动．请仔细阅读，并完成相应的任务． 操作判断： 操作一：将三角板ABC（∠ACB＝30°）放置在图纸上，延长直角边BA，如图①． 操作二：以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交前弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE为菱形． （1）操作一中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是______（填序号） ①四条边都相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 迁移探究： （2）数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆O及其直径AB．分别以点O，B为圆心、大于OB一半的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交半圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD、CD、CO，得到四边形AOCD．判断四边形AOCD的形状，并说明理由； 拓展应用： （3）如图③，数学兴趣小组利用含45°角的三角板ABC和（∠BAC＝45°）圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝12，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离． 【答案】（1）①③④；（2）四边形是菱形，理由见解析；（3）点直线的距离为或． 【解析】 【分析】本题考查四边形与三角形综合问题，熟练掌握菱形的性质与判定及含角直角三角形的三边比例关系是解题关键． （1）连接，可证明与均为等边三角形，进而证明四边形四条边均相等． （2）连接、，可证明、、均为等边三角形，进而可得结论． （3）点可能在线段或线段上，分两种情况讨论，分别过点作的垂线，结合特殊直角三角形的三边比例关系可快速求解答案． 【详解】解：（1）如图，连接， 由题意得：， 三角形为等边三角形． ． ∵，， ． ， 为等边三角形． ． 四边形是菱形(四边都相等的四边形是菱形)； 也可以由③④推出菱形．故答案为：①③④． （2）四边形是菱形， 理由如下： 如图，连接、， 由题意可得：为的中垂线， ． ， 为等边三角形． ． ， 为等边三角形． ． ． ， 为等边三角形． ． 四边形为菱形． （3）①如图，当点在线段上时，连接、过点作于点， ，， ． ∵， ． ． 在菱形中：，， ，， ． 即到的距离为； ②当点在线段上时，连接、过点作于点， ，， ， ∵， ． ． 在菱形中：，， ，， ． 即到的距离为， 综上，点直线的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $