9.3.2 向量坐标表示与运算（第2课时 向量数量积的坐标表示） 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.3.2　向量坐标表示与运算 第2课时　向量数量积的坐标表示 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　向量数量积的坐标表示 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 名师点睛 公式a·b=|a||b|cos θ(θ为非零向量a,b的夹角)与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两个向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导. 知识点二　两个公式、一个充要条件 1.求向量的模的公式:设a=(x,y),则a2=x2+y2,即|a|=. 2.向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),它们的夹角为θ,由向量数量积的定义,可得cos θ=. 3.两个向量垂直的充要条件:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)设m,n,l是三个非零向量,且互不共线,则(m·n)l-(l·m)n=0.(　　) (2)若m=(2,-1),n=(1,-2),m·l=3=n·l,则l=(1,-1).(　　) × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】数量积的坐标运算 例 1 [链接教材例1](1)(多选题)已知向量a=(-1,2),b=(2,3),则下列结论中正确的是(　 　) A.a·b=4 B.(a+b)2= C.(a+b)·(a-b)=-8 D.(a-b)2=10 ACD 解析 因为a·b=-1×2+2×3=4,故A正确;因为a+b=(1,5),a-b=(-3,-1),所以(a+b)2=26,(a-b)2=10,故B错误,D正确;因为(a+b)·(a-b)=-8,故C正确.故选ACD. (2)在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=8,D是AC的中点.若M为BC的中点,则的值为　　　　.  8 解析 以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 由AB=AC=5,BC=8,得AO=3,则A(0,3),B(-4,0),C(4,0),D(2,).当M为BC的中点时,有M(0,0),=(4,0),=(2,),故=8. 规律方法　1.进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系式: (1)|a|2=a·a. (2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 2.在平面几何图形中求数量积,若根据几何图形形状易建系,可先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积. 跟踪训练1 (1)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=(　　) A.-12 B.-6 C.6 D.12 D 解析 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0, 所以10+2-k=0,解得k=12.故选D. (2)已知正方形ABCD的边长为2,点E为CD的中点,点F在AD上,=2,则=　　　　.  解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0). 因为=2,所以F 所以=(2,1),-(2,0)=, 所以=(2,1)=2+1×2= 故答案为 【题型二】与数量积有关的模的计算 例2 [链接教材习题9.3(3),T6]已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1). (1)求a-2b及其模的大小; (2)若c=a-(a·b)b,求|c|. 解 (1)∵a=(3,5),b=(-2,1), ∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), ∴|a-2b|= (2)∵a·b=-6+5=-1,∴c=a+b=(1,6), ∴|c|= 规律方法　求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算 若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=. 跟踪训练2 已知向量a=(1,0),b=(cos θ,sin θ),θ∈,则|a+b|的取值范围是(　　) A.[0,] B.(1,] C. D.[,2] D 解析 已知向量a=(1,0),b=(cos θ,sin θ), 则a+b=(1+cos θ,sin θ), |a+b|= 因为,所以cos θ∈[0,1]. 所以|a+b|∈[,2].故选D. 【题型三】平面向量的夹角与垂直问题 角度1向量的夹角问题 例 3 [链接教材例2]已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角的大小为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析 设a与c的夹角为θ,依题意得,a+b=(-1,-2),|a|=设c=(x,y),因为(a+b)·c=,所以x+2y=-又a·c=x+2y,所以cos θ==-,所以θ=120°,所以a与c的夹角为120°.故选C. 题后反思　利用数量积求两向量夹角的步骤 跟踪训练3 若平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c与b的夹角互补,则m=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 A 解析 设c与a的夹角为θ,则c与b的夹角为180°-θ.由已知得c=(m+4,2m+2),cos θ=,cos(180°-θ)=, ∴=0,解得m=-2.故选A. 角度2向量的垂直问题 例4 [链接教材例3]已知向量a=(,-1),b=.是否存在不等于0的实数k和t,使向量x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y?如果存在,试确定k与t的关系;如果不存在,请说明理由. 解 存在.假设存在不等于0的实数k和t,使得x⊥y成立, 则x·y=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0, 整理得-ka2+[t-k(t2-3)]a·b+t(t2-3)b2=0, 又∵|a|=2,|b|=1,a·b=0, ∴-4k+t(t2-3)=0,即k=(t3-3t), ∴存在非零实数k和t,使得x⊥y成立,其关系为k=(t3-3t)(t≠0且t≠±). 题后反思　对于向量的垂直问题,常用a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0列方程来求解. 跟踪训练4 已知向量a=(3,-4),b=(5,2).若(a-mb)⊥b,则实数m=　　　　.  解析 由题意得,a-mb=(3,-4)-m(5,2)=(3-5m,-4-2m),∵(a-mb)⊥b, ∴(a-mb)·b=5(3-5m)+2(-4-2m)=0,解得m= $