9.3.2 向量坐标表示与运算（第1课时 向量及其线性运算的坐标表示） 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量及其线性运算的坐标表示 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　向量的坐标 如图1,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x,y),使得a=xi+yj. 图1 我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y). 图2 如图2,作=a,即有=xi+yj,则的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,点A的坐标(x,y)就是向量的坐标. 知识点二　平面向量线性运算的坐标表示 1.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,那么 a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1). 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1). 这就是说,一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标. 【拓展】线段定比分点坐标公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),点P(x,y)在直线P1P2上,且=λ(λ≠-1),则 特别地,当λ=1时,得到线段P1P2的中点M(x,y)的坐标公式 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)相等向量的坐标相同.(　　) (2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标.(　　) (3)一个坐标对应于唯一的一个向量.(　　) (4)平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应.(　　) √ √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】平面向量的坐标表示 例1 [链接教材例1]在平面直角坐标系中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标. 解 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2), 则a1=|a|cos 45°=2, a2=|a|sin 45°=2, b1=|b|cos 120°=3=-, b2=|b|sin 120°=3, c1=|c|cos(-30°)=4=2, c2=|c|sin(-30°)=4=-2. 因此a=(),b=,c=(2,-2). 规律方法　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的向量的坐标. (2)求一个向量的坐标,可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标. 跟踪训练1 已知向量=(),将向量绕原点O沿逆时针方向旋转的位置,则点P'的横坐标为(　　) A.-1 B.- C.0 D.1 C 解析 因为=(),所以向量与x轴正方向的夹角为,向量绕原点O沿逆时针方向旋转的位置,则与x轴正方向的夹角为,此时点P'在y轴上,点P'的横坐标为0.故选C. 【题型二】向量线性运算的坐标表示 例 2 [链接教材例2]已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3=2,求点M,N的坐标. 解 方法一:因为A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 所以=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3). 因为=3=2, 所以=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6). 设点M(x1,y1),N(x2,y2), 所以=(x1+3,y1+4)=(3,24), =(x2+3,y2+4)=(12,6), 所以解得 所以M(0,20),N(9,2). 方法二:由=3=2,得=-=-2 设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)及线段定比分点坐标公式,得x1==0,y1==20,x2==9,y2==2,所以M(0,20),N(9,2). 题后反思　向量的坐标运算最终是转化成实数的运算. 跟踪训练2 若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),则的坐标为　 　　　,的坐标为　　　 　.  (-10,14) (2,-10) 解析 因为=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以= (-10,14),=(-8,4)-(-10,14)=(2,-10). 【题型三】向量线性运算坐标表示的运用 例 3 [链接教材习题9.3(2),T9]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2). (1)若=0,求的坐标; (2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,试求m-n的值. 解 (1)设点P的坐标为(x,y),因为=0, =(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以解得所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2). (2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),所以=(2,3)-(1,1) =(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1).因为=m+n, 所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), 所以 两式相减得m-n=y0-x0. 又因为点P在函数y=x+1的图象上, 所以y0-x0=1,所以m-n=1. 规律方法　平面向量坐标运算的应用技巧 (1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. (2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法求解.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出实数x,y的值. 跟踪训练3 (多选题)若以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形,则第四个顶点D的坐标是(　 　) A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.(-2,-1) ACD 解析 设D(x,y),当BC为对角线时,,因为A(0,1),B(1,0),C(3,2),所以 (1-0,0-1)=(x-3,y-2),即解得所以D(4,1);当AC为对角线时,,(1-0,0-1)=(-x+3,-y+2),即解得所以D(2,3);当AB为对角线时,,(3-0,2-1)=(1-x,-y),即解得所以D(-2,-1).故选ACD. $