9.3.2平面坐标表示与运算(第1课时)（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量坐标表示与线性运算，通过复习平面向量基本定理导入，以单位向量i、j为基底构建向量坐标定义，衔接向量线性运算坐标公式及向量坐标与起点终点关系，搭建新旧知识支架。 亮点在于通过探究推导坐标运算公式，结合典例（如斜面上物体摩擦力分析）与即时训练，培养学生逻辑推理和数学运算能力。知识小结系统梳理公式，便于学生构建知识体系，教师可利用其提升教学效率，助力学生用数学语言表达和解决问题。

9.3 向量基本定理及坐标表示 第九章 平面向量 9.3.2平面向量坐标表示与线性运算 （第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解平面向量坐标表示的定义，掌握以 x、y 轴正方向单位向量为基底的向量坐标表示方法. 能运用向量线性运算的坐标公式进行计算，掌握向量坐标与起点、终点坐标的关系，会用坐标法求解向量相关问题. 在推导向量线性运算的坐标公式、解决实际例题的过程中，提升学生的逻辑推理能力、数学运算能力. 新课导入 上节课我们学习了平面向量基本定理，你还记得其核心内容？ 平面内任意一个向量,都可以唯一表示为,其中、是平面内不共线的两个向量，称为基底. 在平面直角坐标系中，任意一个点 P都可以用唯一的有序实数对表示. 那以原点O为起点、P为终点的向量,能否也用有序实数对表示呢？如果可以，该如何选择基底，才能让向量的表示与直角坐标系的坐标体系结合起来？ 带着这些问题，我们今天一起探究平面向量的坐标表示与线性运算 新知探究 探究一：平面向量的坐标表示 与轴正方向相同的单位向量记作 以、为基底 我们把与轴正方向相同的单位向量记作 平面内任意一个向量可以如何表示？ 由平面向量基本定理可知：，其中是唯一的有序实数 把有序实数对称为向量的直角坐标，记作 其中为的横坐标，为的纵坐标 新知探究 如图，作，即有，则的坐标就是终点的坐标； 如图，作，且，那么向量的坐标与点 A 的坐标有什么关系？反过来，点 A 的坐标能表示向量的坐标吗？ 即起点在原点的向量，其坐标与终点的坐标完全一致 即OA=()⇔点 A 的坐标为()） 反过来，点的坐标就是向量的坐标。 典例分析 例1 如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，，，求向量的坐标． 【分析】根据平面向量线性运算的坐标法则，加减运算对横、纵坐标分别相加减，数乘运算对横、纵坐标分别乘实数，直接代入向量坐标计算即可. 解：设点A的坐标为，则 即，所以． 即时训练 1.已知为原点，,点在第一象限，求的坐标。 【分析】利用三角函数定义，,。 解： 故. 知识小结 平面向量的坐标表示 ①基底： (x 轴单位向量)、 (y 轴单位向量) ②定义： ③关系： 新知探究 探究二：向量加法的坐标运算 设,,根据向量坐标的定义，、可以用、如何表示？ 故 那的线性组合形式是什么？如何将其转化为坐标形式？ 两个向量相加，就是把它们的横坐标与横坐标相加，纵坐标与纵坐标相加 新知探究 探究三：向量减法、数乘的坐标运算 类比加法的推导过程，的坐标公式是什么？请大家独立推导并说出结论. 故 ,故 数乘向量是对横、纵坐标分别数乘 设入为实数，的坐标公式是什么？为什么？ 两向量相减，就是把它们的横坐标与横坐标相减，纵坐标与纵坐标相减 即时训练 2.（1）已知,,求、的坐标。 （2）已知,求、的坐标。 【分析】向量加减运算为对应坐标相加减，数乘运算为各坐标乘以实数，再进行加减运算 解：（1） 。 （2） 。 探究四：任意向量的坐标求法 新知探究 已知向量的减法法则，； 如果向量的起点不是原点，如：已知，，如何求的坐标？ 任意向量的坐标 = 终点坐标 - 起点坐标 与向量的位置无关 ， 故； 典例分析 例2 如图，已知点，，，，求向量，，，的坐标． 【分析】由向量的模和方向角，结合三角函数定义求终点的横、纵坐标，利用“起点在原点的向量坐标与终点坐标一致”，得坐标. 解：， ． 即时训练 3.（1）已知点,,为原点，求、的坐标； （2）已知点,,为原点，求、的坐标. 原点出发的向量坐标等于终点坐标；非原点出发的向量坐标等于终点坐标减起点坐标。 解：（1） 。 （2） 。 知识小结 平面向量线性运算的坐标表示 设, , ①加法： ②减法： ③数乘： ④任意向量：, 典例分析 例3 　 如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力. 【分析】原点出发的向量直接取终点坐标，相反向量坐标取反，非原点出发的向量用“终点坐标减起点坐标”计算；通过判断与坐标相等，证四边形为平行四边形。 解：如图, 记方向垂直于斜面向下、大小为 1 N 的力为 方向平行于斜面向下、大小为 1 N 的力为 以为基底建立平面直角坐标系，得,个力的坐标分别为 典例分析 由,得 从而有,即 答：斜面对于物体的摩擦力的大小为 N,方向与斜面平行向上 例4 典例分析 已知 是直线 上一点，且 ，求点 的坐标． 【分析】设出点坐标，写出和的坐标，由向量共线的坐标等式列方程组，求解得定比分点坐标公式. 解：设点 的坐标为 ，则 ， ． 由 ，得 于是 典例分析 因为 ，所以 因此，点 的坐标为 ． 当 时，就得到线段 的中点 的坐标公式 （中点公式是定比分点公式的特殊情况） 巩固提升 题型1 平面向量线性运算的坐标表示 1.已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案. 【详解】由，则 即，解得， 故 D 巩固提升 题型2 利用向量坐标判断几何图形 2.已知点, , , , 判断四边形是否为平行四边形。 【分析】判断一组对边对应的向量是否相等，即与是否相等. 解：, ，故是平行四边形. 巩固提升 题型三 线段定比分点坐标公式的应用 1.（1）已知，，，求点的坐标。 （2）已知，，，求点的坐标。 【分析】代入定比分点公式. （1）解：， 故 （2） 解：， 故 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 向量坐标表示与运算 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 苏教版 · 必修二 第9章 平面向量 1 核心知识梳理 1. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底。 对于任一向量 a，有且只有一对实数 (x, y)，使得 a = xi + yj。 我们把 (x, y) 叫做向量 a 的 坐标， 记作 a = (x, y)。 2. 向量的坐标运算 加法运算 若 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则 a + b = (x1+x2, y1+y2) 减法运算 a - b = (x1-x2, y1-y2) 数乘运算 λa = (λx1, λy1) 向量坐标与点坐标 若 A(x1, y1), B(x2, y2) 则 AB = (x2-x1, y2-y1) 2 易错点警示 ! 坐标计算顺序颠倒 计算向量 AB 的坐标时，必须是 “终点坐标 减 起点坐标”。 错误示例：AB = (xA-xB, yA-yB) ❌ 正确示例：AB = (xB-xA, yB-yA) ✅ 3 解题技巧总结 📐 数形结合（建系法） 对于正方形、矩形、直角三角形等规则图形，优先建立平面直角坐标系，写出各点坐标，将几何证明问题转化为向量坐标运算问题。 🧮 方程思想 利用向量相等（横纵坐标分别相等）的条件，列出关于参数的方程或方程组求解。 🔄 基底转化 当坐标系不易建立时，选取两个不共线的向量作为基底，将目标向量用基底表示，再利用基底的性质进行计算。 $