9.3.1 平面向量基本定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.3.1　平面向量基本定理 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一组基底. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决关于平面向量的综合问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　基底 若e1,e2不共线,我们把e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二　平面向量基本定理 1.定理 如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.对定理的理解 (1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值. (3)若e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量. 知识点三　向量的正交分解 对于分解a=λ1e1+λ2e2,当e1,e2所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a的正交分解. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底. (　　) (2)零向量不可作为基底中的向量.(　　) (3)已知同一平面内的非零向量a,b,c,存在唯一的实数对m,n,使得c=ma+nb.(　　) × √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】对平面向量基本定理的理解 例 1 [链接教材练习,T2]给出下列说法: ①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示; ②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式; ③若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底. 其中正确说法的序号是　　　　　　.  ③ 解析 ①错误.零向量也可以用一组基底来表示.②错误.当e1,e2共线时,平面内有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底.故答案为③. 题后反思　对平面向量基本定理的理解 (1)基底具备两个主要特征:①基底是由两个不共线的向量构成的;②基底的选择是不唯一的. (2)基底e1,e2确定后,平面内任一向量a的分解式是唯一的,特别地,当a1e1+a2e2=0时,恒有a1=a2=0. 跟踪训练1 若向量a与b是平面内的两个不平行的向量,下列向量不能作为一组基底的是(　　) A.-a与a+b B.a+b与2a+b C.2a-5b与-4a+10b D.2a+b与a+2b C 解析 对于A,假设存在实数λ,使a+b=λ(-a),则此方程组无解,即不存在实数λ,使a+b=λ(-a),即-a与a+b不共线,A不符合题意;对于B,假设存在实数λ,使a+b=λ(2a+b),则此方程组无解,即不存在实数λ,使a+b=λ(2a+b),即a+b与2a+b不共线,B不符合题意;对于C,假设存在实数λ,使2a-5b=λ(-4a+10b),则解得λ=-,即2a-5b与-4a+10b共线,C符合题意;对于D,假设存在实数λ,使2a+b=λ(a+2b),则此方程组无解,即不存在实数λ,使2a+b=λ(a+2b),即2a+b与a+2b不共线,D不符合题意.故选C. 【题型二】用基底表示向量 例 2 [链接教材例1]设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点, AD=AB, BE=BC.若=a,=b,则=　　　　　　.(用a,b表示)  -a+b 解析 )=-=-a+b.故答案为-a+b. 规律方法　用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示待求向量. 跟踪训练2 在△ABC中,点D在BC边上,且=2.设=a,=b,则可用基底a,b表示为(　　) A.(a+b) B.a+b C.a+b D.(a+b) C 解析 因为=2,所以,所以)=a+b.故选C. 【题型三】平面向量基本定理的综合运用 角度1平面向量基本定理在平面几何中的运用 例 3 [链接教材例3] 如图,已知△AOB中,点C与点B关于点A对称, =2,DC和OA交于点E,设=a,=b. (1)用a和b表示向量; (2)若=λ,求实数λ的值. 解 (1)∵点C与点B关于点A对称,∴点A是线段BC的中点, ),即a=(b+), 解得=2a-b. =-=-b+2a-b=2a-b. (2)∵C,E,D三点共线, ∴存在实数m使得=m+(1-m)=m(2a-b)+(1-m)b=2ma+b. 又==λa,解得λ= 规律方法　平面向量基本定理在平面几何中的运用策略 1.先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合,再进行向量的运算. 2.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式. 跟踪训练3 如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且. (1)用向量表示; (2)若=8,求的值. 解 (1))= (2)=-())=-(3-2). 因为=8, 所以=-, 则-=0,即=3,所以 角度2由平面向量基本定理求参数 例 4 在△ABC中,AB=,∠ABC=,BC=3,AD为边BC上的高,O为AD上靠近点A的三等分点,且=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ-μ=(　　) A. B. C. D. C 解析 由题意可知,在Rt△ABD中,AD=BD=1,因为BC=3,所以DC=2,所以)=)=)] =)=,所以λ=,μ=,所以λ-μ= 故选C. 规律方法　1.利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性,对某一向量用基底表示两次,然后利用系数相等列方程(组)求解,即对于基底e1,e2,若a=xe1+ye2,且a=me1+ne2(x,y,m,n∈R),则有 2.充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位,往往可使问题更便于解决. 跟踪训练4 如图,在△ABC中,,点P是BN的中点,若=m,则实数m的值是　　　　.  解析 因为,所以点N为AC的中点,因为点P是BN的中点,所以)=, 所以, 因为=m,所以m=故答案为 $