北京市第十五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

北京十五中高一数学期中考试试卷 2026.04 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上， 在试卷上作答无效， 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项 (1)己知tana=-1,且a∈[0，π)，那么a的值等于 (A) π (B) 2π 3 3 (C) 3元 (D) 5π 4 4 (2)下列函数中，最小正周期为元且是偶函数的是 (A)sin (B)y=tanx (C)y=coS2x (D)y=sin2x (3)设向量a=(3,1),b=(-1,2),则(a-2)·b= (A)-11 (B)-9 (C)-7 (D)-5 (4)某城市一年中12个月的月平均气温y(单位℃)与月份x(x=1,2,3,…,12)的关系可近似地用 三角函数y=a+Asin[匹(K-3别(A>0)来表示，己知月平均气温最高值为28℃，最低值为 18℃，则A= (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 第1页（共6页） (5)巴知西数()=m(2-至)的图象向左平移买个单位后得到函数g)的图象，则 8(x)图象的一个对称中心为 (A) (B 0 (C) $0 (D 8 0 (6)在△ABC中，若a2+b2-c2=kab,则实数k的取值范围是 (A)(-2,2) (B)(-1,1) c岁 (D)(0,1) (7)已知函数f(x)=cos4x-sin4x,下列结论中错误的是 (A)f(x)=cos2x (B)函数f(x)的图象关于直线x=0对称 (C)f(x)的最小正周期为π (D)f(x)的值域为[-√2，V2] (8)函数f()=2sin(or+p(@>0,p水的部分图象如图所示，则 f()= 12 (A) √5 (B) 3 2 5π 12 (C) 5 2 (D)-V5 (9)已知函数f(w)=2sin(ox 孕@>0，则“f)在0，受上既不是增函数也不是减函数” 是“0>1”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 第2页（共6页） (10)在△ABC中，AB=AC=1,，D是AC边的中点，则BD·CD的取值范围是 子 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 (11)设向量a=1,2),b=(4,x),若a⊥b,则x=一 (12)己知角0的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆 交于点P(了m0,则sinc= (13)己知非零向量a,b夹角为45°，且|4=2，a-=2.则b等于一 (14)已知函数/)-m2x+<孕，若函数了在受及上具有单调性，且 1孕=-f码，则9= (15)已知a为常数，B∈[0,2π)，关于0的方程sin0-cos0+a=0有以下四个结论： ①当a=0时，方程有且只有1个实数根： ②存在实数α，使得方程有4个实数根： ③使得方程有实数根的α的取值范围是[-1,1]： ④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合为M,那么l∈M,3∈M 其中，所有正确结论的序号是一 第3页（共6页） 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (16)(本小题13分) 已知aE0受，且csu号 (I)求tana的值； (IⅡ)求sim2a-cos的值. (17)(本小题14分) 已知质数。-2n行+9e0引f回=5. (I)求∫(x)的解析式和最小正周期： (Ⅱ)求∫(x)在区间[0,2元上的最大值和最小值. 第4页（共6页） (18)(本小题13分) 在△ABC中，b=2万，B= 3 sin4-21 14 (I)求sinC的值： (Ⅱ)求△ABC的面积. (19)(本小题15分) 在△ABC中，bsinC+V3 c cos B=2c. (I)求∠B: (II)若a=2√3，b+c=4,D为AC边的中点，求BD的长. 第5页（共6页） (20)(本小题15分) 己知函数f)=cos写2)+2sn2as-1(0>0）. (I)若w=,求f0及f)的单调递增区间： ()己知f)在区间[0，孕]上单调递增，再从条件①、条件②、条件®这三个条件中选 择一个作为已知，使函数f)存在且唯一确定，若不等式fx)>】在区间(0，m 有解，求实数m的取值范围。 条件①：f0)+f凸=0： 6 条件@：)≤③： 条件③：x=匹是f)的一个零点. 12 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分 (21)(本小题15分) 设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T,A(T>0,A>O),使得对于任意x∈R, f(x+T)=Af(x)成立，则称函数∫(x)具有性质P. (I)判断函数y=x和y=coSx是否具有性质P;(结论不要求证明) (Ⅱ)若函数f(x)具有性质P,且其对应的T=π，A=2.己知当x∈(0，]时，f(x)=Snx, 求函数f(x)在区间[-π，O0]上的最大值： (Ⅲ)若函数g(x)具有性质P,且直线x=m为其图像的一条对称轴，证明：g(x)为周期 函数. 第6页（共6页） 北京十五中高一数学期中考试试卷 2026.04 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上， 在试卷上作答无效， 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项 (1)己知tana=-1,且ae[0,π)，那么a的值等于C (A) (B) 2π 3 3 (C) 3元 (D) 5π 4 4 (2)下列函数中，最小正周期为兀且是偶函数的是C (A)ysi (B)y=tanx (C)y=coS2x (D)y=sin2x (3)设向量a=(3,1),b=(-1,2),则(a-2)·b=A (A)-11 (B)-9 (C)-7 (D)-5 (4)某城市一年中12个月的月平均气温y(单位℃)与月份x(x=1,2,3,…,12)的关系可近似地用 三角函数y=a+Asin[5(K-3别(A>0)来表示，己知月平均气温最高值为28℃，最低值为 18℃，则A=A (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 第1页（共9页） (5)巴知西数()=m(2-至)的图象向左平移个单位后得到函数g)的图象，则 8(x)图象的一个对称中心为C (A) (B 0 5元 (c) (D 8 0 (6)在△ABC中，若a2+b2-c2=kab,则实数k的取值范围是A (A)(-2,2) (B)(-1,1) c岁 (D)(0,1) (7)已知函数f(x)=cos4x-sin4x,下列结论中错误的是D (A)f(x)=cos2x (B)函数f(x)的图象关于直线x=0对称 (C)f(x)的最小正周期为π (D)f(x)的值域为[-√2，V2] (8）函数f(=2sn(@r+(@>0,pk的部分图象如图所示，则 f()=D (A) √5 (B) 3 12 2 5π 12 (C) 5 2 (D)-V5 (9)已知函数f(w)=2sin(ox 孕@>0)，则“f)在0，受上既不是增函数也不是减函数” 是“o>1”的B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 第2页（共9页） (10)在△ABC中，AB=AC=1,D是AC边的中点，则BD·CD的取值范围是B a经子 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 (11)设向量=4,2)，b=(4,x),若a⊥b,则x=_一一.-2 (12)已知角0的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆 交于点P(了m,则snu= 25 3 (13)已知非零向量a,b夹角为45°，且|4=2，n-=2.则|bl等于一2V2 (14)已知函数f()=sin(2x+0pk,若函数fx)在，奶上具有单调性，且 冷之.则0—霄 (15)已知a为常数，B∈[0,2π)，关于0的方程sin0-cos0+a=0有以下四个结论： ①当a=0时，方程有且只有1个实数根： ②存在实数α，使得方程有4个实数根： ③使得方程有实数根的α的取值范围是[-1,1]： ④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合为M,那么l∈M,3eM 其中，所有正确结论的序号是一·②④ 第3页（共9页） 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (16)(本小题13分) 已知ae0,9,且cosa=5 (I)求tana的值； (IⅡ)求sim2a-cos2的值. 2 解：(I)因为ac0空cosu 4 5 3 所以sina=V1-cos2a= 所以tana=sin&=3 …6分 cosa 4 (Ⅱ)因为sina= 5’cosa=4 , sin2a-cos4-2sinacosa-1+cosa …13分 2 50 (17)(本小题14分) (I)求∫(x)的解析式和最小正周期： (Ⅱ)求∫(x)在区间[0,2元上的最大值和最小值. 解，ID因为/-2m分pp0引fo)=5, 所以f(0)=2sin 行0+95以- 又因为p∈ 所φ- 故f(x)的解析式为f()=2sin2+3): 1 π 第4页（共9页） 所以f(x)的最小正周期为 T= 2元二4元 …6分 2 cm)国为xe®2小所以+写[香 当1 ，3=即x=3 时，f(x)max=2 1 1九_4π 当方+于即x=2m时，f9=5 …14分 (18)(本小题13分) 3 sin4-21 在△ABC中，b=2W7,B=2π 14 (I)求sinC的值： (IⅡ)求△ABC的面积 解： (I)由sinA= W21 14 且A为锐角，得cosA=V-sin'A= v7 14 因为A+B+C=π，B=2 所以sinC=sin(A+B) sin Acos B+cos Asin B √211、，57√3 ×(←2+14x2 十 14 ② …5分 7 (I)在△ABC中，由正弦定理a b sin A sin B' 得a= bsinA=2. sinB 第5页（共9页） 由△ABC的面积公式S△ABc= absinC. 得S△ABC= x2x25x-25. …13分 7 (19)(本小题15分) 在△ABC中，bsinC+√3 c cos B=2c. (I)求∠B: (Ⅱ)若a=2V5,b+c=4,D为AC边的中点，求BD的长. 解：(I)由正孩定理。C及snC+eo=2x,得 sinA sin B sin C sin B sin C+3sin Ccos B=2sinC. 因为C∈(0，m),所以sinC≠0. 所以sinB+√3cosB=2: 所以sm(8+孕-1， 因为B∈(0，D, 所以B+=),即B 6 …7分 32 （)由余弦定理得cosB=+c2-6区 2ac 2 因为a=2√3， 所以12+c2-b2=6c. 因为b+c=4, 所以b=C=2.△ABC中由余弦定理得A=2T 所以BD=AB2+AD2-2AB·AD·C0SA=7 所以BD=√万 …15分 第6页（共9页） (20)(本小题15分) 己知函数fx)=c0s(C-2ox)+2sim2am-1（o>0）. 3 (1)若0子求f0及f)的单调递增区间： (IⅡ)已知f)在区间[0，]上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选 择一个作为已知，使函数)存在且唯一确定，若不等式f)>与在区间(《0，m四 有解，求实数的取值范围 条件0：f0+1爱=0： 条件@：fsf9: 条件③：x= 是f()的一个零点. 12 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分 解：(I)fx)=coscos22ar+-sin"sin2ar-cos2aor 3 3 -sin2@x- -cos2@x sin(2ox- 6 若w 则f=mr-总， 所.0青 因为y=m的单调区为子2测e. 2 所以四的单调递增区间为[+2流头+2，∈Z. …7分 3 第7页（共9页） (Ⅱ)选条件①. 因为o>0,f)在区间[0，上单调递增， 3 所以号活骨即 3 Γ2 因为f)=sim(2r-,f0+f(爱=0， 6 所以a(骨m(答争-0，即sng君} 362 36 T_下=2m 所y0r_元=2km+石'或36 5r,k∈Z 6 即，0=6k+1或0=6k+3,k∈Z t0<0≤) 所以0=1， 因为x∈(0，m), 所以2x- 6 2m- 6 因为不等式f(>号在区间Q网内有解，即sm(2x-3>】在区间0，则内有解， 62 因为<0n冷- 所以2-T>交，即m> 6 66 6 所以的取值范围是 …15分 (IⅡ)选条件②. 因为w>0,f()在区间[0，]上单调递增， 所号甘 2 因为f≤f孕所以1孕=1， 所以2or_亚-2m+LkeZ,即0=3k+1keZ, 36 2 叉0<02 所以0=1， 以下同选条件① 第8页（共9页） (21)(本小题15分) 设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T,A(T>0,A>O),使得对于任意x∈R, f(x+T)=Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P. (I)判断函数y=x和y=COSx是否具有性质P；(结论不要求证明) (Ⅱ)若函数f(x)具有性质P,且其对应的T=π，A=2.已知当x∈(0，]时，f(x)=sinx, 求函数f(x)在区间[-兀，0]上的最大值 (Ⅲ)若函数g(x)具有性质P,且直线x=m为其图像的一条对称轴，证明：g(x)为周期 函数. 解：(I)函数y=x不具有性质P;函数y=cosx具有性质P …3分 (Ⅱ)设x∈(-元，0]，则x+π∈(0， 由题意，得fx+=2f=nr+,所以f=sin,xe(元0. 由fπ+四=2f(,f0+四=2f0),得f(m4f网=0. 所以当x∈元0]时，(w)--sin.x. 故当x=受)在区间[-x0上有最大值（孕号 …9分 (Ⅲ)当g(x)=0,x∈R时，结论显然成立： 以下考虑g(x)不恒等于0的情况，即3a,使得g(a)≠0 由直线x=m为函数g(x)图像的一条对称轴，得g(2m-a)=g(a)≠0. 由题意，3T,A。(T,>0,A>0),使得g(x+T)=A8(x)成立， 所以g2m==482m-a-,即(2m-a-)=8(a四， 由直线x=m为函数g(x)图像的一条对称轴，得g(2-a-T0)=g(a+) 又因为g(a+I)=A8(,g(a)≠0， 所以】g(a)=Ag(a),即A=l. An 故对于任意x∈R，g(x+I)=g(x)成立，其中T,>0. 综上，g(x)为周期函数， …15分 第9页（共9页）