2026年中考数学考前专题训练一一元二次方程

2026年中考数学考前专题训练一 一元二次方程 一、单选题 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A． B． C． D． 2．设方程的两个根为，那么的值等于（    ） A． B． C．4 D．6 3．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 4．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 5．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 6．已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 8．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 二、填空题 9．若最简二次根式和是同类二次根式，则_______． 10．若（为实数），则的最小值为__________． 11．已知，且满足，，那么的值为______. 12．若关于的方程是一元二次方程，则________． 13．一元二次方程的一个实数根是a，则的值为_____． 三、解答题 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 16．关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 17．商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 18．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当t=_______时，四边形是矩形； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0），逐一分析选项即可． 【详解】A．：是整式方程，仅含未知数x，且最高次数为2，二次项系数为1（非零），符合定义． B．：含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合定义． C．：未限定，当时方程变为一次方程，不一定是二次方程． D．：含根号和绝对值（），属于根式方程，非整式方程，不符合定义． 故选A． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 5．B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数． 【详解】解：方程的解为和， 方程的解为（需）， 因为两方程解完全相同，故根的和与积相等： ∴， 解得：， ， 代入得：， 解得， 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 9．或/或4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得，解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：或． 10． 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 11． 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 12．-1 【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k−1≠0且|k|＋1＝2， 解得：k＝−1， 故答案为：−1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值及恒等变形问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变形的方法是解决本题的关键． 首先根据a是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变形，化为含有的式子，据此即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法． 利用完全平方公式分解因式，可得：，从而可得方程的解为； 用十字相乘法分解因式，可得：，因为两个数的乘积为，所以这两个因数中致少有一个为，可得：或，分别解这两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解． 【详解】（1）解：， 分解因式可得：， 解得：； （2）解：， 分解因式可得：， 或， 解得：，． 15．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 在实数范围内，无论取何值，都有，即． 关于的方程恒有两个不相等的实数根． （2）将代入方程， 可得， 解得． 16．(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 17．(1)15元 (2)不可能；理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键． （1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可． （2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得， 答：每件衬衫应降价15元． （2）解：不可能．理由如下： 设每件衬衫应降价x元， ， 整理得， ，方程无实数根． 商场平均每天不可能盈利1400元． 18．(1) (2)t的值为2，，1，3 (3)不存在，见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质；（1）由题意得，当时，四边形是矩形，据此建立方程组求解即可； （2）分三种情况讨论：①当，②当，③当，再根据等腰三角形的边相等列方程求解即可； （3）假设存在，利用勾股定理列方程，再利用根的判别式判断方程是否有解，有解假设成立，无解假设不成立． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得， 故答案为：3； （2）解：作于点M， 由题意，，，，， ①当时，， 即，解得，， ②当时， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ③当时， 由勾股定理得，， 即， 解得或3， 综上所述，t的值为2，，1，3； （3）解：不存在，理由如下： 设，则， 即， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不成立， 即，不存在某一时刻t使得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $