精品解析：江西南昌市南昌县2026年九年级学业质量监测数学试题

南昌县2026届九年级学业质量监测 数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 某市某日的气温是，则该日的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用最高温度减去最低温度即可求解． 【详解】∵ ∴温差为 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的减法，重点是熟记相关运算法则． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 3. 擎檐柱是术结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等，如图1的晋商博物馆大门有若干根擎檐柱．如图2是一根擎檐柱的结构图，它是由－根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：观察可知，左视图如下： 4. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 6. 如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两个根，满足，是解题关键． 先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对整理得，最后代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 9. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设：甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，正确找出数量关系，列出二元一次方程组是解答本题的关键． 10. 如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 11. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 12. 如图，在矩形中，，，点P是矩形边上一动点．当时，的长为 ____________________. 【答案】4或或8 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据点P的不同位置进行分类讨论是解题的关键．分三种情况讨论，一是点P在边上，且，则，求得；二是作的垂直平分线交于点Q，交于点P，连接，则，可证明，由，求得，则，此时是等边三角形，则；三是点P在边上，且，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 如图1，点P在边上，且， ∵， ∴； 如图2，作的垂直平分线交于点Q，交于点P，连接，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图3，点P在边上，且， ∵， ∴， 综上所述，的长为4或或8， 故答案为：4或或8． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行加减运算． （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共解集． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 14. 如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． （2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 【答案】（1） 如图①所示，即为所求， （2） 如图②所示， 【解析】 【分析】本题主要考查作图，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的定义画出图形； （2）取格点D，连接，根据相似三角形的性质和正切的定义即可得到符合题意的图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，使， 则， ∴即为所求图形． 15. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】第一步，先对分式进行化简，通过通分、分式除法变乘法、因式分解和约分，将原式化为最简形式；第二步，根据分式有意义的条件，排除使分母或除式为零的值，从给定的数中选择合适的代入最简式计算求值． 【详解】解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 16. 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）由题意可进行列表，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是； 故答案为； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有种等可能的情况，所以他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 17. 如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式即可； （2）设点的坐标为，再根据的面积恰好等于正方形的面积的，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，，四边形为正方形， ， ， 把代入得：， ， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． （1）求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． （2）若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】（1）3辆；116人 （2）36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【解析】 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； 【小问2详解】 解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 19. 如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ， 又， ，即， ∵为的半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1），连接，求出，由圆周角定理得到，再由平行线的性质得到，据此可证明结论； （2）连接，则可证明证明，推出，则，进而得到，，求出，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接如图所示， 为直径， ， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 20. 众所周知，晚睡晚起、熬夜等睡眠问题已经逐渐成为当代年轻人的典型特征之一，不规律的生活习惯、过度依赖电子设备、缺乏运动等因素，都在无形中侵蚀着人们的睡眠．根据《健康中国行动（2019—2030年）》，初中生每天要睡眠9个小时．某数学兴趣小组对本校八、九年级学生的夜间睡眠时间进行统计调查，从该校所有八、九年级学生中随机抽出名八年级学生、名九年级学生，统计他们的夜间睡眠时间，然后小组将调查得到的夜间睡眠时间意向分成了四组：A．，B．，C．，D．（t的单位为小时）．将所得数据进行收集、整理、描述、应用． 收集数据 八年级10名学生夜间睡眠时间统计表 编号 ① ② ③ ④ ⑤ 睡眠时间（） 6.5 5.0 8.0 4.5 6.5 编号 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 睡眠时间（） 8.5 6.0 9.0 6.0 6.5 九年级10名学生夜间睡眠时间统计表 编号 ① ② ③ ④ ⑤ 睡眠时间（） 7.0 8.5 6.5 6.0 4.5 编号 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 睡眠时间（） 6.0 6.5 8.0 4.0 5.5 整理、描述数据 八、九年级20名学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 八年级频数 九年级频数 A 1 2 B m 5 C 2 3 D 1 n 应用数据 （1）______，______； （2）补全条形统计图； （3）已知该校有八年级有1100名学生，九年级有1050名学生． ①估计该校九年级夜间睡眠时间在六小时以上（含六小时）的人数； ②估计该校学生的夜间睡眠时间在合格时长的人数． （4）根据以上统计数据，针对该校八、九年级学生的睡眠时间，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）， （2）补全图形如下， （3） ①人；②人 （4）引导学生合理调整作业时间，适当补充午休时间（合理即可） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本容量，样本百分比估算总体数量，根据调查数据作决策是关键． （1）根据样本容量与各组人数进行判定即可； （2）根据题意得到八年级C组，九年级C组的人数即可补全图形； （3）①先得到样本种九年级夜间睡眠时间在六小时以上（含六小时）的人数，再根据样本百分比估算总体数量即可； ②分别算出八、九年级睡眠时间在合格时长的人数，再根据样本百分比估算总体数量即可； （4）根据调查数据作决策即可． 【小问1详解】 解：八年级夜间睡眠时间在的人数有人， ∴， ∵抽取名九年级学生， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：八年级C组，九年级C组的人数为人， 【小问3详解】 解：①样本中，九年级夜间睡眠时间在六小时（含六小时）以上的人数有7人， ∴（人）； ②初中生每天要睡眠9个小时， ∴样本中，八年级睡眠时间在合格时长的人数1人，九年级睡眠时间在合格时长的人数0人， ∴（人）； 【小问4详解】 解：根据调查数据得到八，九年级学生的睡眠时间不合格， 建议：引导学生合理调整作业时间，适当补充午休时间（合理即可）． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 22. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 【答案】（1）；喷出水的最大射程为 （2） （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据图形及题意将数据转化成函数图像上点的坐标，设函数解析式为，将点代入求解，再令，再解方程即可得到答案； （2）根据（1）求出对称轴，根据轴对称性质求出点的对称点，结合函数的平移关系即可得到答案； （3）如图，先看上边缘抛物线，求解点的纵坐标为0.5．当抛物线恰好经过点时，可得．可得．求解的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，可得的最小值为2，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，时，， 由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 23. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 【答案】（1）筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， ， ∴， ， ∴四边形是筝形； （3）解：四边形是筝形； 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等； 故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）略 （3）略 （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A，E在线段的垂直平分线上， ， ， 点O在以为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为． ∵正方形的边长为6，， ，M为的中点， ，， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县2026届九年级学业质量监测 数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 某市某日的气温是，则该日的温差是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 擎檐柱是术结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等，如图1的晋商博物馆大门有若干根擎檐柱．如图2是一根擎檐柱的结构图，它是由－根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 135° 6. 如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式的结果是______． 8. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则______． 9. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 10. 如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为________． 11. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 12. 如图，在矩形中，，，点P是矩形边上一动点．当时，的长为 ____________________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 14. 如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． （2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 15. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 16. 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 17. 如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． （1）求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． （2）若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 19. 如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 众所周知，晚睡晚起、熬夜等睡眠问题已经逐渐成为当代年轻人的典型特征之一，不规律的生活习惯、过度依赖电子设备、缺乏运动等因素，都在无形中侵蚀着人们的睡眠．根据《健康中国行动（2019—2030年）》，初中生每天要睡眠9个小时．某数学兴趣小组对本校八、九年级学生的夜间睡眠时间进行统计调查，从该校所有八、九年级学生中随机抽出名八年级学生、名九年级学生，统计他们的夜间睡眠时间，然后小组将调查得到的夜间睡眠时间意向分成了四组：A．，B．，C．，D．（t的单位为小时）．将所得数据进行收集、整理、描述、应用． 收集数据 八年级10名学生夜间睡眠时间统计表 编号 ① ② ③ ④ ⑤ 睡眠时间（） 6.5 5.0 8.0 4.5 6.5 编号 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 睡眠时间（） 8.5 6.0 9.0 6.0 6.5 九年级10名学生夜间睡眠时间统计表 编号 ① ② ③ ④ ⑤ 睡眠时间（） 7.0 8.5 6.5 6.0 4.5 编号 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 睡眠时间（） 6.0 6.5 8.0 4.0 5.5 整理、描述数据 八、九年级20名学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 八年级频数 九年级频数 A 1 2 B m 5 C 2 3 D 1 n 应用数据 （1）______，______； （2）补全条形统计图； （3）已知该校有八年级有1100名学生，九年级有1050名学生． ①估计该校九年级夜间睡眠时间在六小时以上（含六小时）的人数； ②估计该校学生的夜间睡眠时间在合格时长的人数． （4）根据以上统计数据，针对该校八、九年级学生的睡眠时间，请你提出一条合理化建议． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 22. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 23. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $