精品解析：2025年江西省南昌市南昌县中考一模数学试卷

南昌县2025届九年级质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的含义和求法，分别求出每个数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断出各数中，绝对值最大的数是哪个即可． 【详解】|2|=2，|-2|=2，||=，|-3|=3， ∵3>2>， ∴各数中，绝对值最大的数是-3． 故选D． 【点睛】（1）本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答本题要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． （2）本题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答本题要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项错误； B、，此项正确； C、，此项错误； D、，此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，从上往下看的形状就是俯视图． 【详解】解：如图俯视图是： ． 故选：B． 4. 世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0） 【详解】解：6700000一共7位，从而6700000=6.7×106， 即n=6 故选B 5. 如图，已知直线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据平行线的性质得到的度数，再根据角的和差解题即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选D． 6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个不相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点坐标即可判断①；当x＝﹣2时，y＝3，即可判断②；当x＝﹣3时，y＞0，即可判断③；根据对称轴即可判断④． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，函数的最大值为3， ∴顶点为（﹣2，3）， ∴4a﹣2b＋c＝3， ∴4a﹣2b＋c﹣3＝0，故①正确； ∵抛物线开口向下，且与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b＋c＞0，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为（﹣2，3）， ∴抛物线与直线y＝4没有交点， ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝4没有实数根，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2， ∴b＝4a，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在函数中, 自变量的取值范围是___________ . 【答案】 【解析】 【详解】根据题意得：x+40； 解之得： x-4. 8. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：， 故答案为：． 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 10. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则面积是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=BD，进而证明△BDC是直角三角形，据此解题即可． 【详解】解：连接BD， 、分别是、的中点， 则EF是△ABD的中位线， ∴EF＝BD＝2， ∴BD＝4， 在△BCD中，BC＝5，CD＝3， ∴， ∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质、勾股定理逆定理等知识，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键． 11. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程， 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 12. 在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 【点睛】 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算； （1）利用因式分解法求解即可； （2）代入特殊角三角函数值计算即可． 【详解】解：（1）因式分解得：， 所以或， 解得：，； （2）原式 ． 14. 如图，在矩形中，为的中点（保留作图痕迹）． （1）在图1中作矩形关于点成中心对称的图形． （2）在图2中作以为顶点的矩形． 【答案】（1） 如图1中，矩形即为所求； （2） 如图2中，矩形或矩形即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接并延长至点，使得；连接并延长至点，使得，连接、、，即可得到矩形为所求作； （2）连接、，交点为点，连接并延长交于点，根据中位线定理，得到，即可得到矩形或矩形为所求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了画中心对称图形，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，根据相关性质正确作图是解题关键． 15. 吴广同学计算时，是这样做的： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）吴广同学的做法从第______步开始出现错误，正确的计算结果是______． （2）计算：． 【答案】（1）二，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案； （2）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 吴广同学的做法从第二步开始出现错误，正确的计算结果是， 故答案为：二，； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了分式的化简，平方差公式，根据分式的性质正确的化成同分母分式是解题关键． 16. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是______． （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据表格得出小明和小红选到同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用分别表示四部电影，列出表格如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中小明和小红选到同一部电影的结果有4种， ∴． 17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、，点的横坐标是，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题； （1）根据题意先求得点，根据待定系数法求出反比例函数的解析式；然后把代入到解析式，即可求得的值； （2）根据函数的对称性求得的坐标，过点作轴交于点，再求得交点的坐标，然后根据铅锤法求面积求得即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标是，点在一次函数图象上， 则的纵坐标为 ∴点 把点代入，得 ∴反比例函数的表达式为 【小问2详解】 ∵把代入得： ∴ ∵点与点关于原点对称，点 ∴点 过点作轴交于点， 把代入得， ∴ ∴ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某区积极响应国家“双减”政策，为了了解全区4000名七年级的学生完成作业时间情况，随机抽取几所学校七年级学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查活动抽取的七年级有______人，扇形统计图中的值是______； （2）补全频数分布直方图，并估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有______人； （3）若平均每天完成作业时长在100分钟以下学生认定为“学习轻松者”，那你估计一下全区有多少位七年级的孩子是“学习轻松者”? 【答案】（1）200；10 （2） 补充统计图如图所示： 400 （3）2200名 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）根据选A的人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数，再根据频数分布直方图中的数据，即可得到m的值； （2）根据（1）的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再用样本估计总体即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：此次调查活动抽取的七年级人数为：（人）， （人）， ， 即m的值是10， 故答案为：200，10； 【小问2详解】 解：（人）， 即估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有400人． 故答案为：400； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全区有2200位七年级的孩子是“学习轻松者”． 19. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点，已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，能背出王勃的《滕王阁序》就可免门票．若某学校共有520名师生参观滕王阁，其中有100人能背出《滕王阁序》，需花费10650元购买门票． （1）问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ （2）已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的，为控制实际购票费用不超过10000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 【答案】（1）在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人； （2）至少还需14名学生背出《滕王阁序》 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由（1）可知，所有参观滕王阁的老师中有人不能背出《滕王阁序》，设还需名学生背出《滕王阁序》，根据“实际购票费用不超过10000元，且所有老师都要背出《滕王阁序》的前提”列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人； 【小问2详解】 解：由（1）可知，所有参观滕王阁的老师中有人不能背出《滕王阁序》， 设还需名学生背出《滕王阁序》， 由题意得：， 解得：， 答：至少还需14名学生背出《滕王阁序》． 20. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 的平分线交于点， ， ， ， 交的延长线于点， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）阴影部分的面积是 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，所以，则，即可证明为的切线； （2）作于点，可证明四边形是矩形，则，因为，所以，由，求得，由，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 （1）如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． （2）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 证明：∵E 是   的中点， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）． 【解析】 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）证明，根据性质得，证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）由折叠易知，，证明，然后分当时和时即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由折叠易知，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意， 综上所述，符合题意的． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （1）求线段的长； （2）过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； （3）在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）线段的最大值为 （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求解的坐标，再进一步可得答案； （2）如图，求解，设，，求解直线的解析式为．可得，可得，再进一步求解即可； （3）分情况讨论：①当点与点重合时，满足为等腰三角形，②当时，过点作于点，如图，③当时，过点作于点，如图，过点作于点，如图，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：在中， 令得， 或， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，当时，， ∴， 点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ，， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． 【小问3详解】 解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ②当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ； ③当时，过点作于点，如图， ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图， ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县2025届九年级质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 4. 世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，已知直线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个不相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在函数中, 自变量的取值范围是___________ . 8. 不等式组的解集是______． 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则面积是_______． 11. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：________________． 12. 在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）计算：． 14. 如图，在矩形中，为的中点（保留作图痕迹）． （1）在图1中作矩形关于点成中心对称的图形． （2）在图2中作以为顶点的矩形． 15. 吴广同学计算时，是这样做的： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）吴广同学的做法从第______步开始出现错误，正确的计算结果是______． （2）计算：． 16. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是______． （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、，点的横坐标是，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某区积极响应国家“双减”政策，为了了解全区4000名七年级的学生完成作业时间情况，随机抽取几所学校七年级学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查活动抽取的七年级有______人，扇形统计图中的值是______； （2）补全频数分布直方图，并估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有______人； （3）若平均每天完成作业时长在100分钟以下学生认定为“学习轻松者”，那你估计一下全区有多少位七年级的孩子是“学习轻松者”? 19. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点，已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，能背出王勃的《滕王阁序》就可免门票．若某学校共有520名师生参观滕王阁，其中有100人能背出《滕王阁序》，需花费10650元购买门票． （1）问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ （2）已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的，为控制实际购票费用不超过10000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 20. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 （1）如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． （2）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （1）求线段的长； （2）过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； （3）在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $