组合体的体积、旋转体的体积专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

组合体的体积、旋转体的体积专项训练 组合体的体积、旋转体的体积专项训练 考点目录 组合体的体积 旋转体的体积 考点一 组合体的体积 例1．（2026·山西吕梁·三模）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 例2．（2026·北京海淀·二模）如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中·多选）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（   ） A．共有18个顶点 B．共有36条棱 C．表面积为 D．与正八面体的体积之比为8:9 例4．（25-26高一下·重庆·期中）中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 例5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 变式1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）市面上出现某种如图所示的冰激凌，它可以看作是由下方的圆台和上方的圆锥组成的组合体，经过测量，圆台上底面的半径为，下底半径为，深为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为（    ）. A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 变式3．（24-25高一下·广西·月考·多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 变式4．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 变式5．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    考点二 旋转体的体积 例1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 例2．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·上海·期中）边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 例4．（25-26高二上·湖南岳阳·开学考试）如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为_________. 例5．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形OABC的面积； (2)若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 变式1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知是以BC为斜边，面积为1的直角三角形，则绕BC边旋转一周得到的几何体的体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·湖南永州·模拟预测）将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 变式4．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 变式5．（25-26高二上·上海浦东·月考）如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $组合体的体积、旋转体的体积专项训练 组合体的体积、旋转体的体积专项训练 考点目录 组合体的体积 旋转体的体积 考点一 组合体的体积 例1．（2026·山西吕梁·三模）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I，    则多面体可以分成8个全等三棱锥， 则，且平面，， 则， 该“十字贯穿体”的体积即为. 例2．（2026·北京海淀·二模）如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，补全几何体为棱长为1的正方体，进而转化为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积即可. 【详解】在中，，，，分别为边，，的中点， ，，四边形是边长为1的正方形，面积， 折叠后，，，且， 因为为等边三角形，所以 因为平面，， 所以，补全几何体为棱长为1的正方体，如图，满足条件； 所以多面体的体积为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积， 所以. 例3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中·多选）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（   ） A．共有18个顶点 B．共有36条棱 C．表面积为 D．与正八面体的体积之比为8:9 【答案】BD 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为，故C错误； 正八面体可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3， 过作平面于，连接，如下图： 因为平面，且平面，所以， 正方形中，由边长为3，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积与正八面体的体积之比为，故D正确． 故选：BD. 例4．（25-26高一下·重庆·期中）中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 【答案】70 【详解】图中正四棱台如下图，的中点为,的中点为，连接，过作于， 则,， 故图中正四棱台的体积为：立方米， 图中正三棱柱的体积为： 立方米， 所以该结构的体积为：立方米 例5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【答案】 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 变式1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）市面上出现某种如图所示的冰激凌，它可以看作是由下方的圆台和上方的圆锥组成的组合体，经过测量，圆台上底面的半径为，下底半径为，深为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由圆锥和圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的高为，底面的半径为，由圆锥体积公式得：（）， 又因为圆台上底面的半径为，下底半径为，高(深)为， 由圆台体积公式得：（） 所以组合体的体积为（）. 因此此冰激凌的体积为（）. 变式2．（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】C 【详解】因为圆锥的底面半径为1，高为1，所以圆锥的母线长为，A正确； 圆锥的体积，圆柱的体积， 所以圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 该几何体的体积为，D正确； 圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 圆柱的下底面面积， 所以该几何体的表面积为，C错误. 变式3．（24-25高一下·广西·月考·多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高， 因此该几何体的高为，A正确； 对于B，几何体的表面积为，B错误； 对于C，该几何体的体积为，C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，D正确. 故选：ACD 变式4．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 【答案】 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则， ， 由对称性，可得该包装盒的容积为 . 变式5．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    【答案】 【分析】分别在上取点，连接，将在几何体分成一个三棱柱和四棱锥的体积求解即可. 【详解】分别在上取点，连接， 所以平面平面， 取的中点，连接，因为平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 平面， ，梯形， ∴所求几何体的体积为.    故答案为：. 考点二 旋转体的体积 例1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作分别交于点，作交于点，可得四边形为长方形，求出、.该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体是以为下底面半径、为上底面半径、为高的圆台除去以为底面半径、高为的圆锥，求出圆台、圆锥体积可得答案. 【详解】因为圆内接四边形中，所以为外接圆的直径， ，， ，作分别交于点， 交于点，可得四边形为长方形， 因为得， 可得，因，代入解得， 由得， ，    该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体如下图，是以为 下底面半径、为上底面半径、为高的圆台除去 以为底面半径、高为的圆锥，且， ， ， 则旋转形成的几何体的体积为. 故选：B.    例2．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，计算可求矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积. 【详解】根据题意作出矩形与几何体，分别如图下左右两图所示： 旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体， 将这两个几何体的体积均记为，这两个几何体的重叠部分是以圆O为底面， A，C分别为顶点的两个小圆锥，记两个小圆锥的体积和为， 而，点B到直线的距离为，圆O的半径为， 所以的体积. 故选：C 例3．（25-26高二上·上海·期中）边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 【答案】 【分析】由题意得所得几何体为圆柱，根据圆柱的体积公式得出结果. 【详解】由题意得几何体为圆柱，圆柱的底面半径为2，高为2， 则圆柱的体积为. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·湖南岳阳·开学考试）如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为_________. 【答案】 【分析】根据图形，外面的六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求. 【详解】根据题意，直角三角形斜边为，又直角短边长度为， 所以直线与上下两个直角三角形斜边的交点均为中点，即直线左右平分此图形， 由题意可知此图外面的六边形边长为， 如图： 作，， ，可得， 所以， 由圆台定义可得：该图形绕直线l旋转一周得到的几何体是两个同底的圆台， 上底半径为，下底半径为，高为 ， 所以旋转得到的几何体的体积为， 又内部的六边形边长为1， 作，， 所以， 所以旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥， 圆锥的底面半径为，高为，圆柱的底面半径为，高为1， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为， 所以几何体的体积为. 故答案为： 例5．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形OABC的面积； (2)若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)12 (2)体积为，表面积为． 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形OABC是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形OABC是直角梯形， 其中，，， 如图所示： 所以平面四边形OABC的面积为． （2）四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为． 变式1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知是以BC为斜边，面积为1的直角三角形，则绕BC边旋转一周得到的几何体的体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AB，AC的长度分别为x，y，由面积为1可知，边上的高的长度，表达出其体积，由基本不等式求出体积的最大值. 【详解】设的两条直角边AB，AC的长度分别为x，y，则BC的长度为. 由题意，由面积为1可知，则， 边上的高的长度满足，则. 绕BC边旋转一周得到的几何体为两个圆锥的组合体， 其体积， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 故几何体的体积的最大值为. 故选：B. 变式2．（2025·湖南永州·模拟预测）将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题可将旋转后得到的几何体看作在一个圆柱中挖去一个圆锥的组合体，分别计算圆柱和圆锥的体积，再将它们相减即可得到该几何体的体积． 【分析】将上、下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底（即上底）旋转一周， 得到的几何体是在一个底面半径为，高为的圆柱中挖去个底面半径为，高为的圆锥所形成的组合体． 已知圆柱底面半径，高，则圆柱体积． 已知圆锥底面半径，高，则圆锥体积． 所以，该组合体的体积． 故选：D. 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 【答案】 【详解】如图， 直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体是圆台， 且圆台上底面面积,下底面圆的面积为，圆台的高为. 因此，该圆台的体积. 绕直线旋转一周形成的几何体为圆锥， 且该圆锥的底面圆的面积为，圆锥的高为，因此，该圆锥的体积为, 故所求几何体的体积. 变式4．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 【答案】 【分析】根据题意确定几何体的构成，再由圆柱、圆锥的体积公式求组合体的体积. 【详解】由题意，所得几何体是一个底面半径为2，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为2的圆锥构成的组合体， 所以其体积为. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·上海浦东·月考）如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可； （2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积． 【详解】（1）由题知：在中，，，. 可得：，. 该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体, 是一个以为底面半径，为高的圆锥， 设圆锥的侧面积为：，底面积为：. 旋转体的表面积为+ （2）该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 由图知，则， 所以圆锥的底面半径，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $