法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型 专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

**基本信息** 聚焦电磁感应核心模型，以线框、单杆、双杆为载体，系统整合力电能量综合问题，强化模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线框模型|3例+3变式|含磁场边界、碰撞、变磁场问题，涉及安培力、动量守恒|从单一线框运动到组合线框，构建磁通量变化→感应电动势→安培力→运动/能量的逻辑链| |单杆模型|3例+3变式|涵盖斜面/水平导轨、电容/电感、非匀磁场，考查动态平衡与能量转化|以单杆为核心，整合牛顿定律、动量定理，建立电磁阻尼与驱动的分析框架| |双杆模型|3例+3变式|涉及双杆碰撞、不等距导轨、电感耦合，强调系统动量与能量守恒|从双杆相互作用切入，深化多导体系统中电磁感应与力学规律的综合应用|

法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 考点目录 线框模型 单杆模型 双杆模型 考点一 线框模型 例1．（2026·河南郑州·二模）如图，两间距为的光滑平行金属导轨固定在水平面内，左端连接有电流为的恒流电源。以为原点，水平向右为正方向建立轴，处的 两点用极短的光滑绝缘材料将导轨分成左右两部分。左侧导轨间存在垂直轨道平面向下的磁场，磁感应强度大小。右侧导轨间放置一质量为的“コ”型金属框，各边长度均为，其中边垂直于导轨、电阻为，其余边电阻不计。金属框右侧存在方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为，导轨足够长且最右端接有阻值为的定值电阻。现将一质量为，长度为，电阻为的金属棒垂直于导轨放置在处。闭合开关，金属棒受到安培力作用向右运动，与“コ”型金属框发生碰撞并粘在一起形成闭合金属框，碰撞过程极短。整个滑动过程棒及金属框始终和导轨接触良好，导轨电阻不计。求 (1)开关S闭合时棒受到安培力的大小及棒滑到前瞬间所受安培力的大小； (2)金属棒与“コ”型金属框发生碰撞后的速度大小； (3)从边进入磁场起，棒运动的距离及其在运动过程中产生的焦耳热。 例2．（2026·北京顺义·二模）(1)某同学设计了如图1所示的装置，可以通过线圈通电驱动小车，也可以通过小车运动发电。该同学将平板小车分成边长为的多个正方形区域，每个正方形区域内固定相同数量且磁极相同的强磁铁，相邻正方形区域的磁极方向相反。将一个边长为、匝数为、总电阻为的正方形线圈固定在铁架台上，平板小车置于线圈正下方，线圈与平板小车均水平放置。若每个区域内线圈所在处的磁感应强度大小均为，方向垂直于水平面。某时刻小车位置（俯视图）如图2所示。 a．若此时线圈通入逆时针（俯视）方向的电流，线圈对平板小车的作用力向左还是向右？ b．若此时小车在外力作用下以速度向右匀速运动，求线圈中感应电流的大小。 (2)交流轴向磁场机械装置与该同学设计的装置工作原理相同，既可作为发电机，也可作为电动机，其剖面图如图3所示，中间的线圈盘固定不动，上下两个磁铁盘随中心轴同步转动。下磁铁盘的俯视结构图如图4所示，磁铁盘是内半径为、外半径为的环形盘，被均匀划分为8个等面积的扇环区域，每个扇环区域为一个磁极区域，相邻区域的磁感应强度方向相反，方向与磁铁盘面垂直、与中心轴平行。线圈盘的俯视结构图如图5所示，线圈盘与磁铁盘面积、形状完全相同，同样包含8个独立的扇环线圈，每个线圈的形状、面积与磁铁盘的单个扇环区域一致；每个扇环线圈的匝数为，电阻为，且每个线圈所在位置的磁感应强度大小均为。 a．磁铁盘在外力驱动下以角速度逆时针（俯视）匀速转动，某时刻与线圈盘中的一个线圈位置如图6所示（其余线圈未画出），计算此时该线圈中产生的感应电动势大小； b．将8个线圈串联作为电源，外接一个阻值为的纯电阻用电器，外力驱动磁铁盘由静止开始加速转动，角速度与时间关系满足，磁铁盘加速转动的时间为。求在时间内用电器上产生的焦耳热。 例3．（2026·广东江门·二模）间距为L的足够长平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，导轨左、右两端各连接一个阻值为R的定值电阻，有部分导轨处在垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场中，磁感应强度大小为B，磁场的边界线M、N与导轨垂直，M、N间的距离大于L，俯视图如图所示，质量均为m、长度均为L的金属棒a、b垂直导轨放置，用长为L的绝缘轻杆连接，构成工字形框架。现给工字形框架一水平向右、大小为的初速度，工字形框架刚好能完全穿过磁场。金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，金属棒a、b接入电路的电阻均为R，不计导轨的电阻。求： (1)金属棒b刚进入磁场的瞬间，金属棒b两端的电压U； (2)工字形框架出磁场的过程中，金属棒b中产生的焦耳热Q； (3)磁场边界M、N间的距离s。 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图为某兴趣小组做电磁驱动和电磁阻尼实验的示意图。分界线将水平面分成左右两部分，左侧平面粗糙，右侧平面光滑。左侧的驱动磁场为方向垂直平面、等间距交替分布的匀强磁场，磁感应强度大小均为，每个磁场宽度为。右侧较远处存在宽度为，方向垂直平面向里的阻尼磁场，磁感应强度（表示到阻尼磁场左边界的距离，且）。两个完全相同的正方形金属线框和，边长均为，质量均为，其中边和边无电阻，其余各边电阻均为。线框与分界线左侧的动摩擦因数为。现使驱动磁场以稳定速度向右运动，线框在图示位置由静止开始运动，经过一段时间后匀速运动，当边匀速运动到时立即撤去驱动磁场，线框完全越过后，与静止线框发生正碰，碰后边和边粘在一起，组成“”型线框后进入阻尼磁场。设整个过程中线框的边和边始终与分界线平行，边和边碰后接触良好。不计两金属框形变，重力加速度为。求： (1)线框由静止开始运动时的感应电流方向和大小； (2)线框在驱动磁场中匀速运动的速度大小； (3)设某次经过驱动磁场加速后，线框以速度（已知）与线框发生正碰，，请分析“”型线框在阻尼磁场作用下运动的位移。 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如题图所示，一倾角的光滑固定斜面上放有形导体框；一质量为的金属杆的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF长度。初始时CD与EF相距，金属杆与导体框同时由静止开始下滑，导体框下滑后，EF边进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；EF边在磁场中以大小为的速度做匀速运动，直至离开磁场区域。当EF边离开磁场的瞬间，金属杆CD正好进入磁场，并做匀速直线运动；金属杆离开磁场瞬间，导体框恰好运动到斜面底端并被锁定，金属杆运动到斜面底端时也立刻被锁定。已知金属杆与导体框之间始终接触良好，框的EF边与杆CD始终与斜面底边平行，金属杆接入电路的电阻为，导体框的电阻忽略不计，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小g，。求： (1)的大小； (2)导体框的质量及导体框与金属杆之间的滑动摩擦因数； (3)从开始运动到金属杆被锁定，金属杆产生的焦耳热及导体框与金属杆由于摩擦产生的热量。 变式3．（2026·河北唐山·二模）如图所示，、为匀强磁场竖直截面的上下水平边界，两边界间的距离为，磁场的磁感应强度为。用粗细均匀的某金属材料制成单匝正方形线框，质量为，边长为，总电阻为，将线框从距边界上方高处由静止释放，、边始终与边界平行，边到达边界时的速度等于边到达边界时的速度，重力加速度为。求： (1)线框刚进入磁场时，边两端电压； (2)线框穿过磁场的过程中，安培力做功的平均功率大小。 考点二 单杆模型 例1．（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，在离地面高为的绝缘水平桌面上，固定有两根间距为的平行光滑金属导轨，导轨在桌面上的部分是水平的，其左侧与水平桌面的边沿平齐，桌面以外的部分向上弯曲，其上端连接有定值电阻，桌面上水平导轨与桌面外的弯曲导轨平滑相连。水平桌面存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场，质量为、长度为、电阻也为的金属杆ab从导轨上距桌面高处由静止释放，金属杆沿导轨滑下，穿过磁场后最终落在水平地面上，落地点距轨道左边沿的水平距离为。金属杆与导轨接触良好，且始终垂直于导轨，忽略空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求金属杆刚进入磁场的速度大小及刚穿出磁场时的速度大小； (2)金属杆在穿过磁场的过程中，求定值电阻产生的热量以及通过定值电阻的电荷量； (3)若金属杆从距桌面高处由静止释放，最终也能够落在水平地面上，求先后两个落地点间的水平距离。 例2．（2026·浙江·二模）我国“祝融号”火星车搭载的磁强计是探测火星表面残余磁场的关键仪器，如图1所示，在桅杆上安装了磁场探头，探头与桅杆之间相互绝缘，假设探测用的探头是一个水平放置的匝数为N面积为S的小型长方形线圈，总电阻为R，火星表面某处存在一个局部的“磁异常区”，总质量为m的火星车沿x轴正方向水平驶过该区域。该“磁异常区”垂直于地面向上的磁感应强度B随水平位置x的变化规律如图2所示和时，中间为线性变化，峰值为。 (1)在火星车行驶在区域时，从上向下看，线圈中感应电流的方向是顺时针还是逆时针。 (2)火星车以速度匀速通过0≤x≤L区域时，感应电流I大小不变。求此过程中感应电流I的大小。 (3)火星车以初速度驶入0≤x≤L区域。在此过程中，火星车发动机始终提供一个恒定的牵引力F。 ①若火星车穿过该区域（行驶距离为L）所用的时间为t，求火星车驶出该区域时的速度。 ②为了收集并储存火星车行驶时产生的电能，工程师将探头线圈的总电阻设计为极小（可忽略不计，即），并在闭合的探头回路中串联了一个微型的电容为C的未充电的电容器。求此过程中火星车的加速度a的表达式。 例3．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，倾角的光滑倾斜金属轨道和足够长的光滑水平金属轨道平滑连接。导轨间距为，电阻不计，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。在水平导轨远端有一单刀双掷开关，可以分别连接一个电容器和一个定值电阻，，。单刀双掷开关接1，将一质量、电阻、长度的金属棒ab垂直倾斜导轨放置，从静止释放，金属棒到倾斜导轨底端前已达到最大速度。重力加速度取，。 (1)求金属棒在水平轨道能滑行的距离； (2)若金属棒以最大速度滑过斜面底端的瞬间，单刀双掷开关接2，求金属棒最终的速度大小。 变式1．（2026·江西南昌·模拟预测）如图乙所示，长直光滑水平导轨的左端连有开关S，开关保持断开，导轨右侧连接长直粗糙倾斜导轨，倾角满足，摩擦力大小与速度大小满足（未知），虚线CD和之间存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。垂直导轨放置的金属杆、，先后向右进入磁场区域。杆从CD进入磁场区域到从离开的过程，其速度随位移变化的图像如图甲所示，杆离开磁场前速度已达到稳定。已知、杆的质量导轨间距为，两杆电阻均为，其余电阻不计，不计金属杆通过水平导轨与倾斜导轨连接处的能量损失，取，求： (1)杆刚进入磁场时回路中的电流方向（俯视），及受到的安培力的大小； (2)杆从离开磁场区域后，冲上倾斜导轨，经时间再次返回磁场时恰好与杆碰撞（碰撞时间极短）后粘在一起，此时立即合上开关S，求、两杆的粘合体最终停止处与的距离。 变式2．（2026·天津河东·二模）如图所示，竖直平面内固定一足够长的“U”型金属导轨，质量为、电阻不计的金属棒垂直导轨静置于绝缘固定支架上。支架上方存在竖直向下的匀强磁场，边长为的正方形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场互不影响，且磁感应强度大小与时间的关系均为（T）。支架上方导轨单位长度的电阻为，下方导轨的总电阻为。从时刻开始，对金属棒施加竖直向上的拉力，使其以加速度向上做匀加速直线运动。金属棒始终与导轨接触良好，与导轨间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度大小为。求： (1)区域产生感应电动势的大小和金属棒中电流的方向； (2)时，金属棒中的电流大小； (3)经过多长时间，对金属棒所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。 变式3．（2026·内蒙古兴安·二模）两根平行且光滑的金属直导轨和固定在同一水平面内，导轨间距为，导轨区域存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。质量均为的均匀金属杆与垂直于导轨放置，它们接入回路的电阻均为。一根绝缘轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接杆的中点，另一端悬挂一质量的重物，滑轮与杆之间的绳与导轨平行。锁定杆，将杆和重物同时由静止释放。整个运动过程中两杆始终垂直于导轨且接触良好，导轨足够长，忽略空气阻力及导轨电阻，重力加速度为。求： (1)稳定时杆的速度大小； (2)若当杆速度达到时将杆解除锁定，则杆加速度的最大值； (3)若当杆速度达到时将杆解除锁定，则杆经过足够长的时间的速度大小。 考点三 双杆模型 例1．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，两条固定的光滑平行金属导轨，导轨宽度为，所在平面与水平面夹角为，导轨电阻忽略不计。虚线、均与导轨垂直其间距为，在与之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根质量均为，电阻均为的导体棒、先后自导轨上同一位置由静止释放，其时间间隔为，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知进入磁场时加速度恰好为0，当到达虚线处时仍在磁场区域内。求： (1)导体棒到达虚线处的速度； (2)当导体棒到达虚线的过程中导体棒上产生的热量。 例2．（2026·江西南昌·二模）利用高温超导材料钇钡铜氧制成的超薄YBCO超导薄膜，可检测到超级电感现象。如图所示，两平行的导轨abcd和efgh各处均相距，之间连一电感，自感系数为，电阻不计。导轨ab和段是圆弧且由绝缘材料制成，和段在水平面上且足够长圆弧导轨与水平导轨平滑连接。初始时，、两点处的开关处于断开状态，当有导体棒运动至、两点时，开关立即闭合且导体棒可无碰撞地经过开关，此后开关始终闭合。虚线与间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为。现在处静止放置一质量为、电阻不计的导体棒，质量为、电阻为的导体棒P在距离水平导轨高度为的圆弧导轨上静止释放，一段时间后两导体棒发生弹性碰撞。不计导体棒与导轨间的摩擦，不计水平导轨的电阻，导体棒始终与导轨接触良好，取，取。 (1)求两导体棒碰撞后瞬间的速度大小； (2)两导体棒在水平导轨上共速时恰好相距为零，求圆弧导轨对应的半径； (3)两导体棒第一次共速后立即粘在一起，记滑过、时为零时刻，且导体棒不与电感相碰，求两导体棒相对粘在一起时速度大小减半对应的时刻。（可能用到的结论：①自感电动势，其中为自感系数②简谐运动的周期，与回复力表达式中的相同） 例3．（2026·湖南·一模）某研究电磁辅助制动的简化模拟电路如图所示，足够长的“”形光滑平行导轨MP、NQ固定在水平面上，宽轨间距为，窄轨间距为，左侧为金属导轨，右侧为绝缘轨道。一质量为、总阻值为、三边长度均为的“U”形金属框，左端紧靠平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）。左侧整个区间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，与间整个区间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，右侧以为原点，沿方向建立轴，沿方向存在分布规律为（）的竖直向上的磁场。两匀质金属棒a、b垂直于轨道放置在宽轨段，质量均为、长度均为、阻值均为。初始时，将b锁定，a在水平向右、大小为的恒力作用下，从静止开始运动，离开宽轨前已匀速，a滑上窄轨瞬间，撤去力，同时释放b。当a运动至时，a棒中已无电流，b还在宽轨区，此时撤去b。金属导轨电阻不计，a棒、b棒、金属框与轨道始终接触良好。 (1)求a棒在宽轨上匀速运动时的速度大小，及a运动至时速度大小； (2)求a棒刚滑上窄轨时a棒两端电势差大小，及从撤去外力到金属棒a运动至的过程中，a棒产生的焦耳热； (3)若a棒与金属框碰撞后连接在一起构成正方形回路，求a棒静止时与的距离。 变式1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）两根平行等长金属导轨弯折成正对的“”形固定在水平面上。水平段MN、光滑，竖直段NP、粗糙，导轨间距，空间存在竖直向上、磁感应强度的匀强磁场。质量、电阻、长度也为L的金属棒ab放在水平导轨上，竖直段NP、外侧有一根与ab完全相同的金属棒cd，ab、cd始终与导轨垂直。给ab以向左的初速度，同时由静止释放cd。cd与竖直导轨间动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），两棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，取。求： (1)初始时，cd受到的摩擦力大小； (2)cd刚要开始运动时，ab向左移动的位移 (3)cd刚要开始运动时，已经通过ab的电荷量q 和 ab产生的焦耳热Qab 变式2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，倾斜角为的平行金属导轨与水平金属导轨在处相接，、是两段由绝缘材料做成的长度可忽略的光滑圆弧轨道，导轨间距均为，忽略金属导轨的电阻和摩擦。给倾斜导轨和水平导轨分别施加与导轨平面垂直的匀强磁场如图所示，磁感应强度大小分别为和，倾斜导轨的上端接阻值为的定值电阻。将导体棒M从靠近定值电阻的处由静止释放，到达前已经处于匀速运动状态，通过滑上水平轨道，最终M与原先静止在水平导轨上的导体棒N恰好没有相碰。已知导体棒M的质量，电阻，导体棒的质量，电阻，重力加速度取，两根导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。求： (1)导体棒M在倾斜导轨上匀速运动时速度的大小； (2)导体棒N静止时与间的距离； (3)此过程导体棒N中产生的热量。 变式3．（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图所示，两足够长的光滑平行导轨沿水平方向固定，该导轨有两部分组成，左侧宽导轨的间距为，右侧窄导轨的间距为，整个空间存在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为，长为，阻值为的导体棒a垂直放在左侧宽导轨上，质量为，长为，阻值为的导体棒b垂直放在右侧窄导轨上，时刻同时给导体棒a、b大小相等、方向相反的初速度，整个过程导体棒a、b始终没有离开宽导轨和窄导轨，两导体棒始终保持与导轨有良好的接触，不计导轨的电阻。求： (1)当导体棒b的速度为0时，导体棒b的加速度大小； (2)当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度大小； (3)整个过程，流过导体棒b的电荷量以及导体棒b上产生的焦耳热。 2 学科网（北京）股份有限公司 $法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 考点目录 线框模型 单杆模型 双杆模型 考点一 线框模型 例1．（2026·河南郑州·二模）如图，两间距为的光滑平行金属导轨固定在水平面内，左端连接有电流为的恒流电源。以为原点，水平向右为正方向建立轴，处的 两点用极短的光滑绝缘材料将导轨分成左右两部分。左侧导轨间存在垂直轨道平面向下的磁场，磁感应强度大小。右侧导轨间放置一质量为的“コ”型金属框，各边长度均为，其中边垂直于导轨、电阻为，其余边电阻不计。金属框右侧存在方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为，导轨足够长且最右端接有阻值为的定值电阻。现将一质量为，长度为，电阻为的金属棒垂直于导轨放置在处。闭合开关，金属棒受到安培力作用向右运动，与“コ”型金属框发生碰撞并粘在一起形成闭合金属框，碰撞过程极短。整个滑动过程棒及金属框始终和导轨接触良好，导轨电阻不计。求 (1)开关S闭合时棒受到安培力的大小及棒滑到前瞬间所受安培力的大小； (2)金属棒与“コ”型金属框发生碰撞后的速度大小； (3)从边进入磁场起，棒运动的距离及其在运动过程中产生的焦耳热。 【答案】(1)1.2N，2N (2)2m/s (3)，J 【详解】（1）开关S闭合时棒受到安培力的大小 其中 解得 棒滑到前瞬间所受安培力的大小 其中 解得 （2）运动到MN过程中，安培力为变力，做功 该过程根据动能定理有 解得碰撞前的速度大小 碰撞过程，根据动量守恒有 解得碰撞后的速度大小 （3）碰撞后整体总质量M=2m=0.08kg 回路总电阻 棒从边进入磁场到运动停止的过程，根据动量定理有 又 解得从边进入磁场起，棒运动的距离 由能量守恒，回路中产生的总焦耳热 该过程棒产生的焦耳热 解得 例2．（2026·北京顺义·二模）(1)某同学设计了如图1所示的装置，可以通过线圈通电驱动小车，也可以通过小车运动发电。该同学将平板小车分成边长为的多个正方形区域，每个正方形区域内固定相同数量且磁极相同的强磁铁，相邻正方形区域的磁极方向相反。将一个边长为、匝数为、总电阻为的正方形线圈固定在铁架台上，平板小车置于线圈正下方，线圈与平板小车均水平放置。若每个区域内线圈所在处的磁感应强度大小均为，方向垂直于水平面。某时刻小车位置（俯视图）如图2所示。 a．若此时线圈通入逆时针（俯视）方向的电流，线圈对平板小车的作用力向左还是向右？ b．若此时小车在外力作用下以速度向右匀速运动，求线圈中感应电流的大小。 (2)交流轴向磁场机械装置与该同学设计的装置工作原理相同，既可作为发电机，也可作为电动机，其剖面图如图3所示，中间的线圈盘固定不动，上下两个磁铁盘随中心轴同步转动。下磁铁盘的俯视结构图如图4所示，磁铁盘是内半径为、外半径为的环形盘，被均匀划分为8个等面积的扇环区域，每个扇环区域为一个磁极区域，相邻区域的磁感应强度方向相反，方向与磁铁盘面垂直、与中心轴平行。线圈盘的俯视结构图如图5所示，线圈盘与磁铁盘面积、形状完全相同，同样包含8个独立的扇环线圈，每个线圈的形状、面积与磁铁盘的单个扇环区域一致；每个扇环线圈的匝数为，电阻为，且每个线圈所在位置的磁感应强度大小均为。 a．磁铁盘在外力驱动下以角速度逆时针（俯视）匀速转动，某时刻与线圈盘中的一个线圈位置如图6所示（其余线圈未画出），计算此时该线圈中产生的感应电动势大小； b．将8个线圈串联作为电源，外接一个阻值为的纯电阻用电器，外力驱动磁铁盘由静止开始加速转动，角速度与时间关系满足，磁铁盘加速转动的时间为。求在时间内用电器上产生的焦耳热。 【答案】(1)a.向左；b. (2)a. ；b. 【详解】（1）a．若此时线圈通入逆时针（俯视）方向的电流，由图2可知线圈左侧电流向下，磁场垂直纸面向里，由左手定则可知左侧的边受到向右的安培力；线圈右侧电流向上，磁场垂直纸面向外，由左手定则可知右侧的边受到向右的安培力，因此整个线圈受到向右的安培力。由牛顿第三定律可知线圈对平板小车的作用力向左。 b．若此时小车在外力作用下以速度向右匀速运动，线圈相对于小车以速度向左匀速运动，左侧磁场垂直纸面向里，由右手定则可得 右侧磁场垂直纸面向外，由右手定则可得 线圈中电流沿逆时针方向，线圈中感应电流的大小 （2）a．两条导线转动切割产生电动势 b．线圈串联电路的总电动势 电路中的电流 用电器上的热功率 由于用电器上的热功率和时间成正比，因此用电器上产生的焦耳热 例3．（2026·广东江门·二模）间距为L的足够长平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，导轨左、右两端各连接一个阻值为R的定值电阻，有部分导轨处在垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场中，磁感应强度大小为B，磁场的边界线M、N与导轨垂直，M、N间的距离大于L，俯视图如图所示，质量均为m、长度均为L的金属棒a、b垂直导轨放置，用长为L的绝缘轻杆连接，构成工字形框架。现给工字形框架一水平向右、大小为的初速度，工字形框架刚好能完全穿过磁场。金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，金属棒a、b接入电路的电阻均为R，不计导轨的电阻。求： (1)金属棒b刚进入磁场的瞬间，金属棒b两端的电压U； (2)工字形框架出磁场的过程中，金属棒b中产生的焦耳热Q； (3)磁场边界M、N间的距离s。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属棒b刚进入磁场的瞬间，金属棒b切割磁感线产生感应电动势为 此时外电路电阻为 则金属棒b两端的电压 （2）设金属棒b刚要出磁场时的速度为v2，则金属棒b出磁场到金属棒a出磁场的过程中，由动量定理 其中 解得 框架出磁场的过程中，由能量守恒得 此过程中金属棒b产生的热量为 （3）从金属棒a进入磁场到金属棒b出磁场过程，由动量定理 其中 解得 可得磁场边界M、N间的距离 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图为某兴趣小组做电磁驱动和电磁阻尼实验的示意图。分界线将水平面分成左右两部分，左侧平面粗糙，右侧平面光滑。左侧的驱动磁场为方向垂直平面、等间距交替分布的匀强磁场，磁感应强度大小均为，每个磁场宽度为。右侧较远处存在宽度为，方向垂直平面向里的阻尼磁场，磁感应强度（表示到阻尼磁场左边界的距离，且）。两个完全相同的正方形金属线框和，边长均为，质量均为，其中边和边无电阻，其余各边电阻均为。线框与分界线左侧的动摩擦因数为。现使驱动磁场以稳定速度向右运动，线框在图示位置由静止开始运动，经过一段时间后匀速运动，当边匀速运动到时立即撤去驱动磁场，线框完全越过后，与静止线框发生正碰，碰后边和边粘在一起，组成“”型线框后进入阻尼磁场。设整个过程中线框的边和边始终与分界线平行，边和边碰后接触良好。不计两金属框形变，重力加速度为。求： (1)线框由静止开始运动时的感应电流方向和大小； (2)线框在驱动磁场中匀速运动的速度大小； (3)设某次经过驱动磁场加速后，线框以速度（已知）与线框发生正碰，，请分析“”型线框在阻尼磁场作用下运动的位移。 【答案】(1)，顺时针方向 (2) (3) 【详解】（1）线框刚开始运动时速度为零，与磁场的相对速度为，根据右手定则可知线框左右两边产生的感应电动势顺接，由法拉第电磁感应定律可得 根据欧姆定律可得线框中的感应电流为 感应电流方向为顺时针方向 （2）设线框匀速运动的速度为，回路电动势为 根据欧姆定律有 可求安培力为 根据线框匀速运动，可知安培力和摩擦力平衡 联立解得 （3）两线框碰撞，满足动量守恒定律 当边进入阻尼磁场，回路总电阻为 设边刚出磁场时线框速度为，从边刚进入磁场到边刚离开磁场的过程，由动量定理可得    联立解得 从边刚出磁场到边还未进入磁场过程中，回路电阻为 设边刚进磁场时线框速度为，从边刚出磁场到边刚进入磁场的过程，由动量定理可得 若，则，说明未进入磁场线框已经停止运动，即 求得 线框在阻尼磁场作用下运动的位移 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如题图所示，一倾角的光滑固定斜面上放有形导体框；一质量为的金属杆的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF长度。初始时CD与EF相距，金属杆与导体框同时由静止开始下滑，导体框下滑后，EF边进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；EF边在磁场中以大小为的速度做匀速运动，直至离开磁场区域。当EF边离开磁场的瞬间，金属杆CD正好进入磁场，并做匀速直线运动；金属杆离开磁场瞬间，导体框恰好运动到斜面底端并被锁定，金属杆运动到斜面底端时也立刻被锁定。已知金属杆与导体框之间始终接触良好，框的EF边与杆CD始终与斜面底边平行，金属杆接入电路的电阻为，导体框的电阻忽略不计，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小g，。求： (1)的大小； (2)导体框的质量及导体框与金属杆之间的滑动摩擦因数； (3)从开始运动到金属杆被锁定，金属杆产生的焦耳热及导体框与金属杆由于摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）对金属杆受力关系，由牛顿第二定律有 解得 由运动学公式有 解得 （2）对导体框：因为EF进入磁场匀速，所受合力等于0，感应电流 则 对金属杆CD：EF进入磁场到CD进入磁场前，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 金属杆CD进入磁场后匀速运动，则 解得， （3）设磁场的宽度为，在磁场中运动的时间为，则， 金属杆在磁场中运动时，对有 解得 设进入磁场经，与共速,则 此过程的位移 解得 所以匀速通过磁场，故焦耳热 解得 整个过程，与相对运动的方向未发生变化，故摩擦生热 变式3．（2026·河北唐山·二模）如图所示，、为匀强磁场竖直截面的上下水平边界，两边界间的距离为，磁场的磁感应强度为。用粗细均匀的某金属材料制成单匝正方形线框，质量为，边长为，总电阻为，将线框从距边界上方高处由静止释放，、边始终与边界平行，边到达边界时的速度等于边到达边界时的速度，重力加速度为。求： (1)线框刚进入磁场时，边两端电压； (2)线框穿过磁场的过程中，安培力做功的平均功率大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设线框刚进入磁场时为，由 边切割磁感线产生的电动势为 边为等效电源，其两端电压为路端电压，由闭合电路和欧姆定律 故得其两端电压为 （2）从边到达边界到边到达边界过程，由动能定理有 故 由动量定理 又 联立解得 考点二 单杆模型 例1．（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，在离地面高为的绝缘水平桌面上，固定有两根间距为的平行光滑金属导轨，导轨在桌面上的部分是水平的，其左侧与水平桌面的边沿平齐，桌面以外的部分向上弯曲，其上端连接有定值电阻，桌面上水平导轨与桌面外的弯曲导轨平滑相连。水平桌面存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场，质量为、长度为、电阻也为的金属杆ab从导轨上距桌面高处由静止释放，金属杆沿导轨滑下，穿过磁场后最终落在水平地面上，落地点距轨道左边沿的水平距离为。金属杆与导轨接触良好，且始终垂直于导轨，忽略空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求金属杆刚进入磁场的速度大小及刚穿出磁场时的速度大小； (2)金属杆在穿过磁场的过程中，求定值电阻产生的热量以及通过定值电阻的电荷量； (3)若金属杆从距桌面高处由静止释放，最终也能够落在水平地面上，求先后两个落地点间的水平距离。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）金属杆由静止开始到进入磁场之前，根据动能定理可得 解得 金属杆刚离开水平桌面后做平抛运动，根据平抛运动规律有 ， 解得 （2）金属杆在穿过磁场过程中，安培力做负功，将部分机械能转化为金属杆和定值电阻的焦耳热，根据能量守恒定律可得 因为 联立解得 金属杆和定值电阻串联，则流过它们的电荷量相同，设金属杆穿过磁场时的平均感应电流为，通过磁场所用时间为，规定向左为正方向，根据动量定理可得 又 联立解得 （3）设当金属杆从距桌面高处由静止释放，进入磁场的速度为，则有 解得 设金属杆从桌面边沿飞出时的速度为，金属杆穿过磁场所用时间为，平均感应电流为，根据动量定理可得 金属杆先后两次穿过磁场区域，磁通量改变量相同，所以通过金属杆的电荷量相同，则有 可以推导出，金属杆先后两次穿过磁场区域，动量改变量相同，则有 金属杆做平抛运动下落的高度不变，所用时间不变，则有 则先后两个落地点间的水平距离 联立解得 例2．（2026·浙江·二模）我国“祝融号”火星车搭载的磁强计是探测火星表面残余磁场的关键仪器，如图1所示，在桅杆上安装了磁场探头，探头与桅杆之间相互绝缘，假设探测用的探头是一个水平放置的匝数为N面积为S的小型长方形线圈，总电阻为R，火星表面某处存在一个局部的“磁异常区”，总质量为m的火星车沿x轴正方向水平驶过该区域。该“磁异常区”垂直于地面向上的磁感应强度B随水平位置x的变化规律如图2所示和时，中间为线性变化，峰值为。 (1)在火星车行驶在区域时，从上向下看，线圈中感应电流的方向是顺时针还是逆时针。 (2)火星车以速度匀速通过0≤x≤L区域时，感应电流I大小不变。求此过程中感应电流I的大小。 (3)火星车以初速度驶入0≤x≤L区域。在此过程中，火星车发动机始终提供一个恒定的牵引力F。 ①若火星车穿过该区域（行驶距离为L）所用的时间为t，求火星车驶出该区域时的速度。 ②为了收集并储存火星车行驶时产生的电能，工程师将探头线圈的总电阻设计为极小（可忽略不计，即），并在闭合的探头回路中串联了一个微型的电容为C的未充电的电容器。求此过程中火星车的加速度a的表达式。 【答案】(1)顺时针方向 (2) (3)①；② 【详解】（1）由楞次定律，在火星车行驶在区域时，从上向下看，线圈中感应电流的方向为顺时针方向。 （2）火星车以速度匀速通过0≤x≤L区域时，所用时间 磁通量变化量 感应电动势 感应电流 （3）①第一步：求出任意时刻火星车受到的安培力表达式 设 则 故 设线圈长，宽为，则， 而 则 故 而 则 另解：根据能量守恒定律，火星车克服安培力做功的机械功率等于线圈中产生的焦耳热功率，即： 将电动势代入，得到瞬时安培力的大小： 第二步：应用微元法求安培力的总冲量 第三步：结合动量定理求解末速度 ②任意时刻，火星车速度为。此时线圈产生的感应电动势 由于线圈电阻为0，电容器两端的电压始终等于电源电动势。电容器的带电量为 回路中的电流等于电荷量的变化率： 因为加速度，所以电流 线圈此时受到的宏观安培阻力： 据牛顿第二定律 解得加速度： 例3．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，倾角的光滑倾斜金属轨道和足够长的光滑水平金属轨道平滑连接。导轨间距为，电阻不计，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。在水平导轨远端有一单刀双掷开关，可以分别连接一个电容器和一个定值电阻，，。单刀双掷开关接1，将一质量、电阻、长度的金属棒ab垂直倾斜导轨放置，从静止释放，金属棒到倾斜导轨底端前已达到最大速度。重力加速度取，。 (1)求金属棒在水平轨道能滑行的距离； (2)若金属棒以最大速度滑过斜面底端的瞬间，单刀双掷开关接2，求金属棒最终的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）开关接1（定值电阻），金属棒在斜面上速度最大时加速度为0，受力平衡，磁场竖直向上，金属棒速度沿斜面向下，切割磁感线的感应电动势 回路电流 安培力水平向左，沿斜面向上的分力与重力分力平衡 代入整理得 代入数值 解得 金属棒在水平轨道运动，感应电动势 安培力 对运动过程列动量定理 整理得 又（总滑行距离） 代入数值得 （2）滑到水平轨道后接电容器，最终稳定时电流为0，电容器电压等于感应电动势，即 带电量 对金属棒用动量定理 总充电电量 代入得 整理得 代入数值 得 变式1．（2026·江西南昌·模拟预测）如图乙所示，长直光滑水平导轨的左端连有开关S，开关保持断开，导轨右侧连接长直粗糙倾斜导轨，倾角满足，摩擦力大小与速度大小满足（未知），虚线CD和之间存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。垂直导轨放置的金属杆、，先后向右进入磁场区域。杆从CD进入磁场区域到从离开的过程，其速度随位移变化的图像如图甲所示，杆离开磁场前速度已达到稳定。已知、杆的质量导轨间距为，两杆电阻均为，其余电阻不计，不计金属杆通过水平导轨与倾斜导轨连接处的能量损失，取，求： (1)杆刚进入磁场时回路中的电流方向（俯视），及受到的安培力的大小； (2)杆从离开磁场区域后，冲上倾斜导轨，经时间再次返回磁场时恰好与杆碰撞（碰撞时间极短）后粘在一起，此时立即合上开关S，求、两杆的粘合体最终停止处与的距离。 【答案】(1)逆时针（俯视）； (2) 【详解】（1）（杆刚进入磁场时，根据楞次定律和安培定则可知回路中电流方向为逆时针（俯视）杆刚进入磁场时，由图甲知产生的感应电动势 产生的感应电流 安培力的大小 代入数据联立解得 （2）设杆进入后到两杆共速，两杆的相对位移为，对杆进行分析，根据动量定理有 解得 由题意可知，、杆恰好在虚线处发生碰撞，杆离开磁场至与杆碰撞前，杆在磁场中滑行的距离 设杆与杆碰前，杆速度为，杆速度为，对杆进行分析，根据动量定理有 解得 在斜面上往返过程，取沿斜面向上为正，摩擦力的总冲量为零，对进行分析，根据动量定理有 解得 设和碰后速度为，和杆碰撞过程，对、进行分析，根据动量守恒定律有 解得 对PQ粘合体进行分析，根据动量定理有 结合上述解得 变式2．（2026·天津河东·二模）如图所示，竖直平面内固定一足够长的“U”型金属导轨，质量为、电阻不计的金属棒垂直导轨静置于绝缘固定支架上。支架上方存在竖直向下的匀强磁场，边长为的正方形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场互不影响，且磁感应强度大小与时间的关系均为（T）。支架上方导轨单位长度的电阻为，下方导轨的总电阻为。从时刻开始，对金属棒施加竖直向上的拉力，使其以加速度向上做匀加速直线运动。金属棒始终与导轨接触良好，与导轨间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度大小为。求： (1)区域产生感应电动势的大小和金属棒中电流的方向； (2)时，金属棒中的电流大小； (3)经过多长时间，对金属棒所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。 【答案】(1)，从流向 (2) (3)， 【详解】（1）由法拉第电磁感应定律，感应电动势 由题意知（T），可知 联立解得 由楞次定律，可知金属棒中电流的方向从流向 （2）金属棒向上运动的位移 支架上方的电阻 由闭合电路欧姆定律得 联立解得 （3）根据牛顿第二定律 又由，其中 联立可得 根据均值不等式可知，当时，有最大值 解得， 变式3．（2026·内蒙古兴安·二模）两根平行且光滑的金属直导轨和固定在同一水平面内，导轨间距为，导轨区域存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。质量均为的均匀金属杆与垂直于导轨放置，它们接入回路的电阻均为。一根绝缘轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接杆的中点，另一端悬挂一质量的重物，滑轮与杆之间的绳与导轨平行。锁定杆，将杆和重物同时由静止释放。整个运动过程中两杆始终垂直于导轨且接触良好，导轨足够长，忽略空气阻力及导轨电阻，重力加速度为。求： (1)稳定时杆的速度大小； (2)若当杆速度达到时将杆解除锁定，则杆加速度的最大值； (3)若当杆速度达到时将杆解除锁定，则杆经过足够长的时间的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）锁定杆时，当系统达到稳定状态时，cd杆和重物M做匀速直线运动，加速度为零。此时，系统受力平衡 由cd杆产生感应电动势 感应电流 安培力 联立解得稳定时cd杆速度 （2）当时，感应电流为 此时的安培力为 结合第一问解得 在解除锁定的瞬间，ab杆速度为0，其加速度为 对cd杆和重物M系统，根据牛顿第二定律 解得 由于，ab杆的加速度大于cd杆的加速度，则两杆的相对速度减小，又因为安培力大小与相对速度成正比，所以安培力将从此刻开始减小，ab杆的加速度也随之减小，则ab杆的最大加速度就出现在解除锁定的瞬间，即最大加速度 （3）当杆速度达到时，，此时ab杆加速度，cd杆的加速度为0，则两杆相对速度减小，则安培力减小； 对ab杆由牛顿第二定律可知 对cd杆和重物M系统，根据牛顿第二定律 因此，ab杆做加速度减小的加速运动，cd杆做加速度增大的加速运动，最终稳定时两杆加速度相等，对整个系统（ab杆、cd杆、重物M）应用牛顿第二定律 解得 对ab杆从解除锁定到t时刻动量定理 对cd杆和M系统动量定理有 由稳定时相对速度不变 对ab杆有 联立解得 考点三 双杆模型 例1．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，两条固定的光滑平行金属导轨，导轨宽度为，所在平面与水平面夹角为，导轨电阻忽略不计。虚线、均与导轨垂直其间距为，在与之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根质量均为，电阻均为的导体棒、先后自导轨上同一位置由静止释放，其时间间隔为，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知进入磁场时加速度恰好为0，当到达虚线处时仍在磁场区域内。求： (1)导体棒到达虚线处的速度； (2)当导体棒到达虚线的过程中导体棒上产生的热量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知进入磁场时加速度恰好为0，则对PQ此时进行受力分析，根据平衡条件有 解得此时电路中的电流为 则根据闭合电路欧姆定律有 根据法拉第电磁感应定律有 解得导体棒到达虚线处的速度为 （2）根据能量守恒定律可知，该过程电路产生的总热量为 所以导体棒上产生的热量为 例2．（2026·江西南昌·二模）利用高温超导材料钇钡铜氧制成的超薄YBCO超导薄膜，可检测到超级电感现象。如图所示，两平行的导轨abcd和efgh各处均相距，之间连一电感，自感系数为，电阻不计。导轨ab和段是圆弧且由绝缘材料制成，和段在水平面上且足够长圆弧导轨与水平导轨平滑连接。初始时，、两点处的开关处于断开状态，当有导体棒运动至、两点时，开关立即闭合且导体棒可无碰撞地经过开关，此后开关始终闭合。虚线与间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为。现在处静止放置一质量为、电阻不计的导体棒，质量为、电阻为的导体棒P在距离水平导轨高度为的圆弧导轨上静止释放，一段时间后两导体棒发生弹性碰撞。不计导体棒与导轨间的摩擦，不计水平导轨的电阻，导体棒始终与导轨接触良好，取，取。 (1)求两导体棒碰撞后瞬间的速度大小； (2)两导体棒在水平导轨上共速时恰好相距为零，求圆弧导轨对应的半径； (3)两导体棒第一次共速后立即粘在一起，记滑过、时为零时刻，且导体棒不与电感相碰，求两导体棒相对粘在一起时速度大小减半对应的时刻。（可能用到的结论：①自感电动势，其中为自感系数②简谐运动的周期，与回复力表达式中的相同） 【答案】(1)， (2) (3)或，（、1、2、3…） 【详解】（1）P棒从圆弧轨道下滑，设P棒的质量为，Q棒的质量为，有 解得 P棒与Q棒发生弹性碰撞，设碰后速度分别为和，有 联立得， 即碰后瞬间，P棒反向运动，速度为，Q棒向右运动，速度为。 （2）P棒在圆弧轨道上反向运动并下滑的过程中，机械能守恒。因此P棒向右进入磁场区域时的速度 此后P、Q棒均在磁场中且形成闭合回路，P、Q棒组成的系统动量守恒，有 解得 对P棒分析，由动量定理 即 又 其中为P进入磁场区域后比Q多走的位移。 联立上式得 P进入磁场区域前Q匀速运动 假设P在圆弧轨道上的运动可视作单摆，则 得 可见，远小于圆弧轨道半径，因此假设成立，所以圆弧导轨对应的半径为 （3）P、Q棒粘在一起后，并联电阻为0，对任意时刻 移项得 又因为安培力，则 且安培力方向与导体棒位移方向相反。 可见 即P、Q棒一起做简谐运动，其中 由于 可得 由题可知，0时刻，P、Q棒在平衡位置，由简谐运动规律可知： 当或时，导体棒速度大小减半（、1、2、3…） 例3．（2026·湖南·一模）某研究电磁辅助制动的简化模拟电路如图所示，足够长的“”形光滑平行导轨MP、NQ固定在水平面上，宽轨间距为，窄轨间距为，左侧为金属导轨，右侧为绝缘轨道。一质量为、总阻值为、三边长度均为的“U”形金属框，左端紧靠平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）。左侧整个区间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，与间整个区间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，右侧以为原点，沿方向建立轴，沿方向存在分布规律为（）的竖直向上的磁场。两匀质金属棒a、b垂直于轨道放置在宽轨段，质量均为、长度均为、阻值均为。初始时，将b锁定，a在水平向右、大小为的恒力作用下，从静止开始运动，离开宽轨前已匀速，a滑上窄轨瞬间，撤去力，同时释放b。当a运动至时，a棒中已无电流，b还在宽轨区，此时撤去b。金属导轨电阻不计，a棒、b棒、金属框与轨道始终接触良好。 (1)求a棒在宽轨上匀速运动时的速度大小，及a运动至时速度大小； (2)求a棒刚滑上窄轨时a棒两端电势差大小，及从撤去外力到金属棒a运动至的过程中，a棒产生的焦耳热； (3)若a棒与金属框碰撞后连接在一起构成正方形回路，求a棒静止时与的距离。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）设a棒在宽轨上匀速运动时，产生的电动势为 通过a棒的电流为，有 受到的安培力为 联立解得 棒滑上窄轨时依题可知对系统动量守恒，有 电流为 联立解得 （2）棒刚滑上窄轨时，通过棒中间宽度为部分的电流为    根据右手定则以及沿电流方向电势降低，此时a棒两端电势差的大小为 从撤去外力到金属棒运动至的过程中，回路产生的总焦耳热为 则棒产生的焦耳热为 （3）设棒与金属框碰撞后瞬间整体的速度大小为，取向右为正方向，有   由题意可知金属框右边始终比左边的磁场大 从棒与金属框碰撞后到最终静止的过程，回路中的平均电流为   对棒与框整体，取向右为正方向，根据动量定理有 棒静止时与点的距离为 联立解得 变式1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）两根平行等长金属导轨弯折成正对的“”形固定在水平面上。水平段MN、光滑，竖直段NP、粗糙，导轨间距，空间存在竖直向上、磁感应强度的匀强磁场。质量、电阻、长度也为L的金属棒ab放在水平导轨上，竖直段NP、外侧有一根与ab完全相同的金属棒cd，ab、cd始终与导轨垂直。给ab以向左的初速度，同时由静止释放cd。cd与竖直导轨间动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），两棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，取。求： (1)初始时，cd受到的摩擦力大小； (2)cd刚要开始运动时，ab向左移动的位移 (3)cd刚要开始运动时，已经通过ab的电荷量q 和 ab产生的焦耳热Qab 【答案】(1)2N (2)0.8m (3)0.8 C，2.4 J 【详解】（1）初始时，根据法拉第电磁感应定律，有 根据欧姆定律，有 受力分析，金属棒cd与导轨间的弹力，满足 金属棒cd与导轨间的最大静摩擦力，满足 在竖直方向上，有 则金属棒cd受到的摩擦力大小 （2）设cd刚要开始运动时，ab棒的速度为，则必有 解得 从开始到cd棒刚要开始运动过程中，根据动量定理，有                                           其中 则有 对时间求和，即 联立解得 （3）通过ab的电荷量q，则                      回路产生的总的焦耳热Q，根据功能关系 ab的焦耳热为Qab，则Qab = Q = 2.4J 变式2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，倾斜角为的平行金属导轨与水平金属导轨在处相接，、是两段由绝缘材料做成的长度可忽略的光滑圆弧轨道，导轨间距均为，忽略金属导轨的电阻和摩擦。给倾斜导轨和水平导轨分别施加与导轨平面垂直的匀强磁场如图所示，磁感应强度大小分别为和，倾斜导轨的上端接阻值为的定值电阻。将导体棒M从靠近定值电阻的处由静止释放，到达前已经处于匀速运动状态，通过滑上水平轨道，最终M与原先静止在水平导轨上的导体棒N恰好没有相碰。已知导体棒M的质量，电阻，导体棒的质量，电阻，重力加速度取，两根导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。求： (1)导体棒M在倾斜导轨上匀速运动时速度的大小； (2)导体棒N静止时与间的距离； (3)此过程导体棒N中产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导体棒M在倾斜导轨上匀速运动时，根据平衡条件可得 又， 联立解得 （2）导体棒M进入水平轨道后，由于两棒受到的安培力大小相等，方向相反，所以两棒组成的系统满足动量守恒，两棒最终共速，则 解得 设由导体棒N开始运动至二者共速用时为t，对导体棒N由动量定理得 又 联立解得 （3）从导体棒M滑上水平轨道至二者共速的过程中，根据能量守恒可得 解得 此过程中导体棒N中产生的热量为 变式3．（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图所示，两足够长的光滑平行导轨沿水平方向固定，该导轨有两部分组成，左侧宽导轨的间距为，右侧窄导轨的间距为，整个空间存在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为，长为，阻值为的导体棒a垂直放在左侧宽导轨上，质量为，长为，阻值为的导体棒b垂直放在右侧窄导轨上，时刻同时给导体棒a、b大小相等、方向相反的初速度，整个过程导体棒a、b始终没有离开宽导轨和窄导轨，两导体棒始终保持与导轨有良好的接触，不计导轨的电阻。求： (1)当导体棒b的速度为0时，导体棒b的加速度大小； (2)当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度大小； (3)整个过程，流过导体棒b的电荷量以及导体棒b上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）设导体棒的速度为0时，导体棒的速度为，规定向右为正方向，对导体棒，根据动量定理有 对导体棒，根据动量定理有 解得 由法拉第电磁感应定律可知，导体棒a产生的感应电动势 回路中的电流为 导体棒所受的安培力为 根据牛顿第二定律有 解得导体棒b的加速度大小 （2）根据牛顿第二定律，可知导体棒a、b的加速度分别为， 可得 所以导体棒b的速度先减为零，当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度均向右，导体棒a、b的速度大小分别为、，两导体棒产生的感应电动势相互抵消，则有 可得 对导体棒，根据动量定理有 对导体棒，根据动量定理有 联立解得， （3）对导体棒，根据动量定理有 又 联立可得 代入数据解得 根据能量守恒，可得产生总的焦耳热为 上产生的焦耳热 联立解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $