动量守恒定律的应用：子弹打木块模型、滑块斜面模型、滑块弹簧模型、多过程问题 专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

动量守恒定律的应用：子弹打木块模型、滑块斜面模型、滑块弹簧模型、多过程问题专项训练 动量守恒定律的应用：子弹打木块模型、滑块斜面模型、滑块弹簧模型、多过程问题专项训练 考点目录 子弹打木块模型 滑块斜面模型 滑块弹簧模型 多过程问题 考点一 子弹打木块模型 例1．（2025·福建泉州·模拟预测）某同学受《三国演义》的启发，设计了一个“借箭”游戏模型。如图所示，城堡上装有一根足够长的光滑细杆，杆上套一个质量为的金属环，金属环用长度轻绳悬挂着一个质量为的木块，静止在城墙上方。若士兵以一定角度射出质量为的箭，箭刚好水平射中木块并留在木块中箭与木块的作用时间很短，之后带动金属环运动。已知箭的射出点到木块的水平距离为、竖直高度为，重力加速度，在整个运动过程中，木块整体上升的最大高度小于绳长，箭、木块、金属环均可视为质点，忽略空气阻力，求： (1)箭射中木块前瞬间的速度大小； (2)箭射入木块的过程中系统损失的机械能； (3)木块第一次回到最低点时绳子的拉力大小？ 例2．（2026·浙江·二模）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由左端固定的弹簧1，水平直轨道AB、圆心为O1的四分之一圆弧轨道BC、圆心为O2的半圆弧轨道DEF、圆心为O3的四分之一圆弧轨道GH、水平直轨道IJ、KN以及右端固定的弹簧2组成。O1、O2和O3处于同一水平直线，滑板c的上表面、GH最低点的切线和KN处于另一水平直线。凹槽左右两侧壁均装有锁止装置，只要滑板一侧与侧壁碰撞，滑板立刻锁定并静止，而每当滑块经过锁止装置上方滑上滑板即触发开关解锁。已知滑块a质量m1=0.1kg，滑块b质量m2=0.1kg，圆弧半径均为R=0.4m，凹槽长L=1.75m。滑板长l=1.5m，质量m3=0.05kg。b与c之间的动摩擦因数μ=0.4，其余各处摩擦不计。a、b均可视为质点，滑块间、滑块与弹簧间均发生弹性碰撞，圆弧轨道间隙很小仅容滑块通过，各轨道间平滑连接。开始时，b静止在AB上，弹簧1的弹性势能Ep=1.8J，弹簧1把a弹出时，弹性势能全部转化为a的动能，g=10m/s2，求 (1)碰撞后滑块b的速度大小vb； (2)滑块b运动到DEF的最高点E时，受到轨道的作用力大小FN； (3)通过计算判断最终滑板c被锁定在哪一侧； (4)求滑块b最终静止时距滑板c左侧的距离x。 例3．（2026·陕西商洛·二模）如图所示，质量 的滑块A（视为质点）放置在质量为 的长木板左端，木板静止在光滑水平面上；距离木板右端s=1m处的光滑平台与木板上表面等高，平台上质量 的 圆弧形滑块 B从较远处以速度 向左滑行.现给A向右的初速度 当木板与平台刚要碰撞时，A恰好到达木板右端，之后A 又恰好不能从B 上端飞出，B一直在平台上滑动. A与木板间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度取g= 求： (1)木板的长度L； (2)B的圆弧半径R； (3)A从B 底端运动到顶端过程中，B的位移大小x. 变式1．（2026·北京东城·一模）如图所示，把一个质量的小球放在高度的直杆的顶端。一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的水平距离取，求： (1)子弹穿出小球瞬间小球的速度； (2)子弹穿出小球瞬间子弹的速度； (3)子弹和小球相互作用过程中系统损失的机械能。 变式2．（2026·江西·模拟预测）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧体B放在水平平台上，底端与平台相切并与其左端平齐，质量的小物块A（可视为质点）处于圆弧顶端P点正上方1 m处，质量的小车C停在光滑水平面上，小车C紧靠平台左端，车的上表面与平台平齐。A与C、A与平台之间的动摩擦因数均为，B与平台间无摩擦．重力加速度取。开始时B锁定，将A由静止释放，最终A刚好没滑离小车，求： (1)A滑到B底端时对B底端的压力大小； (2)小车C的长度； (3)若B不锁定，A刚好不能滑上小车，求B的质量。 变式3．（25-26高三上·河北衡水·期中）如图，粗细均匀的光滑细直杆水平固定，滑块A套在直杆上，用长为L的细线与质量为m的小球B相连，质量为3m的长木板静止在光滑水平面上，质量为3m的物块C静止在长木板上表面的左端。现将小球B移到合适的高度，细线刚好水平伸直，滑块A、小球B均静止，释放小球B，小球B摆到最低点时，刚好沿水平方向与物块C发生弹性碰撞，碰撞后，物块C刚好不滑离长木板。已知长木板长为，物块C与长木板间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小为g，滑块A、小球B及物块C均可视为质点，，求： (1)小球B与物块C碰撞后一瞬间，物块C的速度的大小； (2)从释放小球B到小球B与物块C碰撞前一瞬间，细线对滑块A做的功W为多少？ 考点二 滑块斜面模型 例1．（25-26高三下·云南昆明·月考）如图所示，圆心角θ=53°的竖直圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆弧AB与水平面相切于圆弧底端B点，圆弧表面光滑。圆弧形槽右侧水平面上有一固定的挡板。将一可视为质点的小球从距A点高为h=0.8m的P点水平向右抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧形槽，滑离圆弧形槽后与挡板发生非弹性碰撞。已知小球的质量m1=0.1kg，圆弧形槽的质量m2=0.2kg，小球进入圆弧形槽时对A点的压力大小FN=10.6N。不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)小球从P点水平抛出时的初速度大小； (2)圆弧形槽的半径R； (3)若小球与挡板碰撞后从A点滑离时其相对圆弧形槽的速度大小为2.5m/s，则此时圆弧形槽的速度大小。 例2．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 例3．（25-26高三下·湖北襄阳·月考）如图所示，质量分布均匀、形状对称的金属块内有一个半径为的光滑圆形槽，金属块放在光滑的水平面上且左边挨着竖直墙壁。一质量为的小球从离金属块左上端处静止下落，小球到达最低点后向右运动从金属块的右端冲出，到达最高点后离圆形槽最低点的高度为。小球可视为质点，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)小球第一次到达最低点的时候，小球对金属块的压力为多大； (2)金属块的质量为多少； (3)金属块的最大速度为多大； 变式1．（2026·河南安阳·三模）如图所示，质量为m的物块a套在固定的光滑水平直杆上，与质量为2m的小球b用长为L的轻绳相连。质量为2m的物块c和质量m的物块d用劲度系数为k的轻弹簧相连并静止在光滑水平面上，弹簧处于原长。现将小球b拉到轻绳处于水平且刚好伸直的位置，a和b同时由静止释放。当小球b运动到最低点时，恰好与物块c发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后运动时间t时，物块d的加速度大小为a0。不计空气阻力，小球和物块均可视为质点，重力加速度为g。求： (1)小球b开始释放时，小球b到物块c的水平距离； (2)小球b与物块c碰撞后，小球b上升的最大高度h； (3)碰撞后时间t内，物块c运动的位移大小x。 变式2．（2026·海南·二模）弹珠是小朋友们喜爱的玩具之一。质量的木槽截面如图所示，四分之一圆弧处表面光滑，圆弧的圆心为O点，半径，圆弧末端切线水平且距水平地面的高度，如图所示。质量的弹珠（可视为质点）从与圆心等高处由静止释放，弹珠始终在竖直面内运动，取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)若木槽固定，弹珠离开木槽前瞬间，木槽对弹珠的支持力大小F； (2)若木槽不固定且地面光滑，弹珠与木槽刚分离时弹珠的速度大小v； (3)在（2）的条件下，弹珠从释放到落地的水平位移大小s。 变式3．（2026·山西吕梁·二模）如图所示，水平面上静置一凹槽，凹槽由两个半径均为R的四分之一光滑圆轨道和一个长度为的平直轨道平滑连接而成。现将一小物块从左侧圆轨道顶端的A点由静止释放，已知物块与平直轨道间的动摩擦因数为，物块与凹槽的质量相等，重力加速度为g。 (1)若凹槽固定，求物块第一次运动到左侧圆轨道底端B点时对轨道的压力大小； (2)若水平面光滑，求从物块释放至其最终停止运动，物块的水平位移大小； (3)若水平面粗糙，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使物块运动过程中凹槽始终保持静止，凹槽与水平面间的动摩擦因数至少多大？ 考点三 滑块弹簧模型 例1．（2026·福建南平·一模）如图甲，在绝缘水平地面上有一带正电的小物块A和不带电的匀质绝缘薄板B，B右端与一水平轻弹簧栓接，弹簧右端固定，空间存在水平向右的匀强电场。开始时弹簧处于原长，B静止且右端位于点，点左侧地面粗糙、右侧地面光滑。已知电场强度大小为，A的质量为2kg、电荷量为，B的质量为6kg、长度为，A、B与点左侧地面间的动摩擦因数均为0.5，弹簧劲度系数为。初始时A与B左端的距离为20m。将A由静止释放，A与B发生弹性碰撞后立即撤去电场，碰撞时间可忽略不计，弹簧始终处于弹性限度内，A可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，取重力加速度大小，求： (1)A、B碰撞前瞬间A的速度大小； (2)A、B碰后0.2s时A与B左端的距离； (3)从碰后B刚好完全进入光滑地面区域开始计时，B运动的图像如图乙所示，图线在、时刻的斜率均为零，求从到的时间内B与地面之间摩擦产生的热量。 例2．（2026·山东日照·二模）如图所示，水平地面与倾角θ=37 °的斜面在P点相连，O点左侧光滑，右侧粗糙。小物块A、B静止在O点左侧，两者之间的轻弹簧被压缩并用细线固定（弹簧与物块不连接），此时弹簧储存的弹性势能Ep＝75 J。滑块C静止在物块B的左侧，其内部是直径（图中虚线）位于竖直方向的半圆形轨道，底部与地面相切，半径R＝0.5 m。现将细线烧断，小物块A、B与弹簧分离后，小物块B冲上滑块C，小物块A经过O点并从P点水平向右抛出。此后小物块A每次与斜面的碰撞前后瞬间其垂直于斜面方向的速度大小不变、方向相反，忽略碰撞过程中重力的冲量和沿斜面方向发生的位移。已知A、B、C的质量分别为mA=1 kg、mB=2 kg、mC=8 kg，A、B均可视为质点，OP段的长度，小物块A离O点的距离x与地面间的动摩擦因数μ1满足μ1=kx（k=0.2 m-1），小物块A与斜面间的动摩擦因数μ2＝0.5，地面与斜面均足够长，空气阻力可以忽略，g＝10 m/s2，sin37°＝0.6。 (1)若滑块C可自由滑动，请通过计算判断小物块B能否滑到滑块C内圆轨道的最高点； (2)若用紧靠滑块C左侧的光滑挡板（足够高）挡住滑块C，求地面对滑块C的最小支持力； (3)小物块A从P点水平抛出后，求第n个落点到P点的距离。 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图甲所示，两个物体用一根劲度系数为的轻弹簧水平连接, 已知弹簧的形变量为 时的弹性势能为 。 (1)A、B的质量分别为 和 ，静止于光滑水平面上，初始时弹簧处于自然长度， 给一个水平初速度 ，求弹簧最短时的压缩量为多少。 (2)如图乙， A、B的质量分别为 和 ，放在足够长的轻质木板上，木板和两物体的动摩擦因数相同均为 ，初始时弹簧压缩量为 ，物体和木板均静止，释放弹簧, 系统开始运动，当弹簧恢复原长时撤去弹簧， 此时木板和一个竖直挡板发生完全非弹性碰撞，求 A、B 以及木板的最终速度。 (3)如图丙，A、B的质量均为 ，放在足够长的水平传送带上。A、B 与传送带间的滑动摩擦力以及最大静摩擦力均为，传送带以匀速运行。初始时弹簧处于原长状态，分别具有等大反向的初速度。对不同大小的，讨论当开始相对传送带向左滑动时，A的速度大小和方向。已知所有惯性参考系中的物理规律都相同。 变式1．（2026·安徽·模拟预测）质量为的滑块a和质量可视为质点的小滑块b放置在光滑水平面上，中间连接有被压缩的弹簧，弹簧和b不栓接。现由静止同时释放两滑块，b被弹开后沿光滑水平面滑行速度；b离开水平面后以平行于滑板c的速度恰好从上端滑上其上表面，滑板c足够长，其质量。斜面的倾角，c与斜面之间的动摩擦因数，b与c之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，重力加速度。 (1)求b刚滑入c的速度大小； (2)求弹簧存储弹性势能； (3)求b、c间摩擦产生的热量Q。 变式2．（2026·山东潍坊·二模）如图所示，质量为0.8kg的木板B静置在光滑的水平地面上，在木板右端上方静置一质量为0.4kg的小球A，木板左侧水平放置一轻质弹簧，弹簧左端固定在竖直墙壁上，右侧与B左端接触（不拴接），初始时，弹簧处于原长。现用力向左推木板，使弹簧处于压缩状态，压缩量。撤去外力的同时释放A，弹簧恢复原长时A与B的上表面恰好接触，发生碰撞，A与B的接触时间。碰后，A运动轨迹的最大高度与初始位置等高。之后A在最高点与固定挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后立即撤去挡板。已知弹簧的劲度系数为，A与B上表面间的动摩擦因数，弹簧弹性势能表达式为（k为劲度系数、x为形变量），弹簧振子的周期表达式为（m为振子的质量、k为劲度系数），g取，A不会从B上滑下，求： (1)初始时，A所处的高度h； (2)A和B第一次碰撞结束时A的速度大小； (3)A和B第一次碰撞结束到B的速度刚达到稳定，所需的总时间t。 变式3．（2026·贵州·模拟预测）如图所示，光滑的台面左侧固定有一根劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧的右侧与质量为的滑块A拴接，质量也为m的滑块B紧靠滑块A一起静止在台面上。台面右侧下方光滑的地面上固定有一圆心角为、半径的光滑圆弧轨道，一表面与圆弧轨道右端相切且质量为的长木板C与圆弧轨道接触但不粘连。现用恒力向左推动滑块B，当滑块A、B加速度为0时，撤去恒力F，此后某时刻，滑块B与滑块A分离，分离后滑块A在台面上做简谐运动，滑块B从平台右侧飞出，恰好从圆弧轨道左端沿切线方向滑入，一段时间后滑上C。若C与B之间的动摩擦因数，重力加速度为；弹簧弹性势能公式，其中k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量。求： (1)撤去恒力F时弹簧的形变量； (2)滑块A做简谐运动的振幅A； (3)若B未从C上滑落，则长木板C的最短长度。 考点四 多过程问题 例1．（2026·辽宁丹东·一模）如图所示，倾角的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，斜面AC长为2L，B为AC中点，物块P、Q分别放于斜面上B、A两点，已知物块P带正电，质量为M，电荷量为q；物块Q不带电，质量为m。斜面上方空间有平行于斜面向上、大小可调的匀强电场。初始时物块P静止在B点，现将物块Q由A点静止释放，下滑后与物块P碰撞，碰撞前后物块P的电荷量保持不变。物块P静止时，匀强电场强度的大小；物块P、Q发生碰撞后运动时匀强电场强度的大小立即变为。两物块P、Q均可视为质点，物块间的碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为g。 (1)求两物块P、Q第一次碰撞前瞬间物块Q的速度大小； (2)若第一次碰撞后物块Q刚好能运动到A、B中点，求（结果可用根式表示）； (3)若，两物块是否会在斜面AC上发生第二次碰撞，如果会，求前后两次碰撞的间隔时间；如果不会，请说明理由。 例2．（2026·江苏徐州·二模）如图，光滑轨道PQO的水平段，轨道在O点与水平地面平滑连接。一质量为m的小物块A从高h处由静止开始沿轨道下滑，在O点与质量为4m的静止小物块B发生碰撞。A、B与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度大小为g。假设A、B间的碰撞为完全弹性碰撞，碰撞时间极短，物块可视为质点，不计空气阻力。求： (1)小物块A第一次到达O点时的速度大小，以及第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小； (2)第一次碰撞后，A沿光滑轨道上升的最大高度，以及B在水平地面滑行至停止的总位移大小； (3)A沿光滑轨道返回O点后向右滑行直至静止，求A、B最终静止时到O点的距离，并计算全过程中系统因摩擦产生的总内能。 例3．（2026·河北邢台·二模）如图所示，长为的细线一端固定于点，另一端系有一质量为可视为质点的小球，初始时小球被锁定在距离点处的装置中。光滑地面上有一质量为的长木板到墙壁距离为，木板左端放有质量为的凹形小木槽，凹形小木槽与长木板间的动摩擦因数为。解除锁定，小球开始运动，小球到达点正下方时细线断裂，小球飞出，之后恰好落入凹形小木槽中与小木槽粘在一起（时间极短）。经过一段时间后长木板与墙壁发生弹性碰撞，凹形小木槽始终未脱离长木板且未与墙壁碰撞，重力加速度取，求： (1)细线断裂时小球的速度大小； (2)长木板与墙壁碰撞时，小木槽与长木板的速度大小； (3)长木板在地面上运动的总路程。 变式1．（2026·浙江台州·二模）如图1所示，倾角θ=37°的倾斜直轨道AB、竖直圆轨道I、水平轨道BC和CE、水平圆管轨道II（俯视图如图2所示）平滑连接。该装置AB段动摩擦因数为μ=0.5，其余各段均光滑，两圆轨道半径分别为R1=0.18m与。质量为m1=0.2kg的滑块a从斜面上某点由静止下滑，恰好能通过竖直圆轨道I的最高点D，从E点沿切线进入管径很小的水平圆管轨道II（进入后立即封闭管道），并与静止在圆管内质量为m2=0.1kg的滑块b发生碰撞，碰撞时间可忽略。滑块a、b均可视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求滑块a滑到斜面底端B处的速度大小及在AB段运动的时间； (2)若滑块a与b发生弹性碰撞，求第一次碰撞后瞬间a、b的速度大小； (3)在（2）情况下，分别求滑块a、b从第一次碰撞后首次回到该碰撞位置的时间； (4)若滑块a与b发生非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的0.5倍，求从第一次碰撞到第n次碰撞所经历的时间。 变式2．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，光滑水平面上有a、b两个固定弹性挡板，光滑四分之一圆弧体，质量为3m、半径为，静止在两挡板间的水平面上，最低点刚好与水平面相切，此时的左侧面离的距离为。将质量为的小球从圆弧面的最高点由静止释放，当小球第一次与挡板相碰时，圆弧体也刚好第一次与挡板碰撞；不计球的大小，球和圆弧体与挡板的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为，求： (1)小球第一次运动到水平面上时的速度大小； (2)a、b两挡板间的距离； (3)当小球再次滚上圆弧体且沿圆弧面向上运动到与连线与竖直方向夹角为时，圆弧体的速度大小。 变式3．（2026·江西萍乡·二模）如图所示，在倾角的斜面上固定一个足够长的圆管，一质量为m的薄圆柱体静止在管口处。一质量为m直径略小于圆管内径的光滑小球以初速度，进入圆管并与圆柱体发生弹性碰撞。圆柱体受到撞击后向下滑动，下滑过程中受到圆管对它的滑动摩擦力大小等于圆柱体重力的0.6倍，圆柱体始终垂直管壁。不计其他阻力，重力加速度，，。求： (1)第一次碰撞后瞬间，小球和圆柱体的速度大小； (2)小球从进入管内到第三次与圆柱体发生碰撞过程中的位移。 2 学科网（北京）股份有限公司 $动量守恒定律的应用：子弹打木块模型、滑块斜面模型、滑块弹簧模型、多过程问题专项训练 动量守恒定律的应用：子弹打木块模型、滑块斜面模型、滑块弹簧模型、多过程问题专项训练 考点目录 子弹打木块模型 滑块斜面模型 滑块弹簧模型 多过程问题 考点一 子弹打木块模型 例1．（2025·福建泉州·模拟预测）某同学受《三国演义》的启发，设计了一个“借箭”游戏模型。如图所示，城堡上装有一根足够长的光滑细杆，杆上套一个质量为的金属环，金属环用长度轻绳悬挂着一个质量为的木块，静止在城墙上方。若士兵以一定角度射出质量为的箭，箭刚好水平射中木块并留在木块中箭与木块的作用时间很短，之后带动金属环运动。已知箭的射出点到木块的水平距离为、竖直高度为，重力加速度，在整个运动过程中，木块整体上升的最大高度小于绳长，箭、木块、金属环均可视为质点，忽略空气阻力，求： (1)箭射中木块前瞬间的速度大小； (2)箭射入木块的过程中系统损失的机械能； (3)木块第一次回到最低点时绳子的拉力大小？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）箭射出后做斜抛运动，设箭射中木块前瞬间的速度大小为，即斜抛运动的水平分速度为，由运动学公式得， 解得 （2）箭射入木块的过程，两者动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 解得 由能量守恒定律可得此过程损失的机械能为 其中， 解得 （3）在木块与圆环一起向右运动再回到最低点过程中，在水平方向上满足动量守恒定律，设木块回到最低点时，木块与圆环的速度分别为、，以向右为正方向，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 其中 联立解得， 设木块第一次回到最低点时绳子的拉力大小为F，根据牛顿第二定律得 解得 例2．（2026·浙江·二模）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由左端固定的弹簧1，水平直轨道AB、圆心为O1的四分之一圆弧轨道BC、圆心为O2的半圆弧轨道DEF、圆心为O3的四分之一圆弧轨道GH、水平直轨道IJ、KN以及右端固定的弹簧2组成。O1、O2和O3处于同一水平直线，滑板c的上表面、GH最低点的切线和KN处于另一水平直线。凹槽左右两侧壁均装有锁止装置，只要滑板一侧与侧壁碰撞，滑板立刻锁定并静止，而每当滑块经过锁止装置上方滑上滑板即触发开关解锁。已知滑块a质量m1=0.1kg，滑块b质量m2=0.1kg，圆弧半径均为R=0.4m，凹槽长L=1.75m。滑板长l=1.5m，质量m3=0.05kg。b与c之间的动摩擦因数μ=0.4，其余各处摩擦不计。a、b均可视为质点，滑块间、滑块与弹簧间均发生弹性碰撞，圆弧轨道间隙很小仅容滑块通过，各轨道间平滑连接。开始时，b静止在AB上，弹簧1的弹性势能Ep=1.8J，弹簧1把a弹出时，弹性势能全部转化为a的动能，g=10m/s2，求 (1)碰撞后滑块b的速度大小vb； (2)滑块b运动到DEF的最高点E时，受到轨道的作用力大小FN； (3)通过计算判断最终滑板c被锁定在哪一侧； (4)求滑块b最终静止时距滑板c左侧的距离x。 【答案】(1)6m/s (2)4N (3)右侧壁 (4) 【详解】（1）弹出后滑块a的速度，由，得 滑块a、b碰撞， 得 （2）a、b碰后，到b运动到最高点E，则 由牛顿第二定律 得 （3）b刚滑上c初速度为 b、c的加速度分别为，， b第1次滑上c的过程中，c运动到侧壁的时间， 当b、c达共速时， 得可知b、c未能达到共速。 当c运动到侧壁时，b运动的位移，b不会从c上滑落。 经判断，b此后也不会从c上滑落。 根据 得 ，则，可知滑板c与凹槽碰撞3次后锁定在右侧壁。 （4）b第三次刚滑上滑板c时的速度，则 可得 b与c相对静止时，在c上的相对位移为，则由， 可得， ，由动能定理 得 距离为 例3．（2026·陕西商洛·二模）如图所示，质量 的滑块A（视为质点）放置在质量为 的长木板左端，木板静止在光滑水平面上；距离木板右端s=1m处的光滑平台与木板上表面等高，平台上质量 的 圆弧形滑块 B从较远处以速度 向左滑行.现给A向右的初速度 当木板与平台刚要碰撞时，A恰好到达木板右端，之后A 又恰好不能从B 上端飞出，B一直在平台上滑动. A与木板间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度取g= 求： (1)木板的长度L； (2)B的圆弧半径R； (3)A从B 底端运动到顶端过程中，B的位移大小x. 【答案】(1)L=3m (2)R=0.15 m (3)x=0.1m 【详解】（1）由牛顿第二定律，对A有 对木板有      由运动学公式有 ，     联立解得t=2s，L=3m （2）A滑上平台时的速度      A滑上B 的过程，规定向右为正方向，根据动量守恒有     根据能量守恒有     解得 v=0，R=0.15 m （3）根据水平方向动量守恒有 又     联立解得x=0.1m 变式1．（2026·北京东城·一模）如图所示，把一个质量的小球放在高度的直杆的顶端。一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的水平距离取，求： (1)子弹穿出小球瞬间小球的速度； (2)子弹穿出小球瞬间子弹的速度； (3)子弹和小球相互作用过程中系统损失的机械能。 【答案】(1)20m/s (2)100m/s (3)1160J 【详解】（1）小球做平抛运动，则有， 代入数据解得 （2）子弹射穿小球过程，根据动量守恒定律有 代入数据解得 （3）系统损失的机械能 代入数据解得 变式2．（2026·江西·模拟预测）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧体B放在水平平台上，底端与平台相切并与其左端平齐，质量的小物块A（可视为质点）处于圆弧顶端P点正上方1 m处，质量的小车C停在光滑水平面上，小车C紧靠平台左端，车的上表面与平台平齐。A与C、A与平台之间的动摩擦因数均为，B与平台间无摩擦．重力加速度取。开始时B锁定，将A由静止释放，最终A刚好没滑离小车，求： (1)A滑到B底端时对B底端的压力大小； (2)小车C的长度； (3)若B不锁定，A刚好不能滑上小车，求B的质量。 【答案】(1)50N (2)3m (3)0.25kg 【详解】（1）A由静止释放到滑到最底端，由动能定理有 解得 由圆周运动向心力公式有 解得F=50 N 据牛顿第三定律可知，A对B底端压力大小为50 N。 （2）地面光滑，A与小车C构成的系统动量守恒，最终共速，有 解得 由能量守恒定律有 解得 （3）若B不锁定，设B的质量为，A由静止释放到滑到B底端这个过程，A与B构成的系统机械能守恒和在水平方向上动量守恒，有， 则有 而 A离开B底端后向左匀减速，运动到平台左端速度恰好为0。由动能定理有 联立解得 变式3．（25-26高三上·河北衡水·期中）如图，粗细均匀的光滑细直杆水平固定，滑块A套在直杆上，用长为L的细线与质量为m的小球B相连，质量为3m的长木板静止在光滑水平面上，质量为3m的物块C静止在长木板上表面的左端。现将小球B移到合适的高度，细线刚好水平伸直，滑块A、小球B均静止，释放小球B，小球B摆到最低点时，刚好沿水平方向与物块C发生弹性碰撞，碰撞后，物块C刚好不滑离长木板。已知长木板长为，物块C与长木板间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小为g，滑块A、小球B及物块C均可视为质点，，求： (1)小球B与物块C碰撞后一瞬间，物块C的速度的大小； (2)从释放小球B到小球B与物块C碰撞前一瞬间，细线对滑块A做的功W为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设物块C与长木板共同速度为v，根据动量守恒定律 根据能量守恒可得 联立解得 （2）设小球B与物块C碰撞前一瞬间，小球B的速度为，碰撞后一瞬间，小球B的速度大小为，根据动量守恒可得 根据机械能守恒可得 解得 设滑块A的质量为M，B与C碰撞前一瞬间，滑块A的速度为，根据水平方向上动量守恒可得 根据机械能守恒可得 联立解得， 根据动能定理可得，细线对滑块A做的功为 考点二 滑块斜面模型 例1．（25-26高三下·云南昆明·月考）如图所示，圆心角θ=53°的竖直圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆弧AB与水平面相切于圆弧底端B点，圆弧表面光滑。圆弧形槽右侧水平面上有一固定的挡板。将一可视为质点的小球从距A点高为h=0.8m的P点水平向右抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧形槽，滑离圆弧形槽后与挡板发生非弹性碰撞。已知小球的质量m1=0.1kg，圆弧形槽的质量m2=0.2kg，小球进入圆弧形槽时对A点的压力大小FN=10.6N。不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)小球从P点水平抛出时的初速度大小； (2)圆弧形槽的半径R； (3)若小球与挡板碰撞后从A点滑离时其相对圆弧形槽的速度大小为2.5m/s，则此时圆弧形槽的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式 得 小球在A点沿切线进入圆弧，速度方向与水平方向夹角为，因此 解得 （2）小球在A点的速度大小 沿半径OA方向，合力提供向心力，由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律得 代入数据解得 （3）设向右为正方向，滑到B点时小球速度为 ​，槽速度为,小球从A滑到B过程，系统（小球+圆弧槽）水平方向动量守恒 系统机械能守恒 联立解得（向右），（向左） 小球与挡板碰撞后速度反向，碰撞后小球速度大小设为（向左） 设滑离A时，槽对地速度大小为，小球对地水平分速度大小为，竖直分速度为，小球相对槽向左上方做圆周运动，相对速度满足 且 碰撞后到滑离A，系统水平动量守恒 系统机械能守恒可得 联立解得 例2．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 【答案】(1) (2) (3)在C点左侧到C点的距离为 【详解】（1）设滑块经过B点时的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 根据滑块和小车组成的系统机械能守恒可得 解得， （2）滑块经过D点时，滑块和小车在水平方向的速度相同，设为，滑块在竖直方向的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 可得 滑块到达D点的过程中，根据能量守恒可得 根据牛顿第二定律可得 解得半圆形轨道对滑块的支持力大小为 根据牛顿第三定律可得，滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小为 （3）设滑块从E点飞出时，滑块的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 滑块从D点到E点的过程中，系统机械能守恒 解得， 滑块飞行过程中，在竖直方向 解得 在水平方向，滑块从E点飞出后落到小车上位置在C点左侧到C点的距离为 例3．（25-26高三下·湖北襄阳·月考）如图所示，质量分布均匀、形状对称的金属块内有一个半径为的光滑圆形槽，金属块放在光滑的水平面上且左边挨着竖直墙壁。一质量为的小球从离金属块左上端处静止下落，小球到达最低点后向右运动从金属块的右端冲出，到达最高点后离圆形槽最低点的高度为。小球可视为质点，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)小球第一次到达最低点的时候，小球对金属块的压力为多大； (2)金属块的质量为多少； (3)金属块的最大速度为多大； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从静止到第一次到达最低点的过程，根据动能定理有 小球刚到最低点时，根据圆周运动和牛顿第二定律的知识有 根据牛顿第三定律可知小球对金属块的压力为 联立解得 （2）小球第一次到达最低点至小球到达最高点过程，小球和金属块水平方向动量守恒，则 根据能量转化和守恒定律有 联立解得 （3）小球第一次到达右侧最高点后，从最高点返回到最低点时，金属块的速度最大。在该过程中，小球和金属块水平方向动量守恒，则 根据机械能守恒定律有 联立解得 变式1．（2026·河南安阳·三模）如图所示，质量为m的物块a套在固定的光滑水平直杆上，与质量为2m的小球b用长为L的轻绳相连。质量为2m的物块c和质量m的物块d用劲度系数为k的轻弹簧相连并静止在光滑水平面上，弹簧处于原长。现将小球b拉到轻绳处于水平且刚好伸直的位置，a和b同时由静止释放。当小球b运动到最低点时，恰好与物块c发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后运动时间t时，物块d的加速度大小为a0。不计空气阻力，小球和物块均可视为质点，重力加速度为g。求： (1)小球b开始释放时，小球b到物块c的水平距离； (2)小球b与物块c碰撞后，小球b上升的最大高度h； (3)碰撞后时间t内，物块c运动的位移大小x。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）对物块a和小球b组成的系统，由静止释放后水平方向动量守恒，则水平方向的位移关系为                  又                                            解得       即小球b开始释放时到物块c的水平距离为 （2）设小球b到最低点时，a、b的速度大小分别为和，由动量守恒定律得                                             根据机械能守恒定律得                         解得， 小球b与物块c发生弹性碰撞，设碰后瞬间速度分别为和，根据动量守恒定律得                            根据机械能守恒定律得                  解得， 此后，物块a和小球b组成的系统水平方向动量守恒，设达到共同速度为v                                              根据机械能守恒定律得             解得小球b上升的最大高度 （3）设物块d的加速度大小为时弹簧的形变量为，则有                                                  c和d运动过程中动量守恒，设某一时刻c、d的速度分别为、，则                                          两边同时对时间微元累加，有 整理可得 则             ①若此时弹簧是压缩的，则有                          解得                                     ②若此时弹簧是伸长的，则有                      解得 变式2．（2026·海南·二模）弹珠是小朋友们喜爱的玩具之一。质量的木槽截面如图所示，四分之一圆弧处表面光滑，圆弧的圆心为O点，半径，圆弧末端切线水平且距水平地面的高度，如图所示。质量的弹珠（可视为质点）从与圆心等高处由静止释放，弹珠始终在竖直面内运动，取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)若木槽固定，弹珠离开木槽前瞬间，木槽对弹珠的支持力大小F； (2)若木槽不固定且地面光滑，弹珠与木槽刚分离时弹珠的速度大小v； (3)在（2）的条件下，弹珠从释放到落地的水平位移大小s。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若木槽固定，设弹珠离开木槽时的速度大小为，由动能定理有 弹珠离开木槽前瞬间，设木槽对弹珠的支持力大小为F，由牛顿第二定律有 解得 （2）若木槽不固定且地面光滑，设弹珠与木槽刚分离时木槽的速度大小为，由能量守恒定律有 对木槽和弹珠组成的系统，在水平方向上，由动量守恒定律有 解得 （3）在（2）过程中，设弹珠、木槽的位移大小为、，有 又 弹珠离开木槽后做平抛运动，设运动时间为t，在竖直方向上有 在水平方向上有 又由几何关系有 解得。 变式3．（2026·山西吕梁·二模）如图所示，水平面上静置一凹槽，凹槽由两个半径均为R的四分之一光滑圆轨道和一个长度为的平直轨道平滑连接而成。现将一小物块从左侧圆轨道顶端的A点由静止释放，已知物块与平直轨道间的动摩擦因数为，物块与凹槽的质量相等，重力加速度为g。 (1)若凹槽固定，求物块第一次运动到左侧圆轨道底端B点时对轨道的压力大小； (2)若水平面光滑，求从物块释放至其最终停止运动，物块的水平位移大小； (3)若水平面粗糙，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使物块运动过程中凹槽始终保持静止，凹槽与水平面间的动摩擦因数至少多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块和凹槽质量均为m，物块第一次通过B点时，物块的速度大小为，由动能定理得                     对物块在B点进行受力分析                 由牛顿第三定律得 （2）系统水平方向动量守恒，故物块与凹槽最终都静止。设物块在平直轨道上滑行的路程为s，物块的水平位移大小为，凹槽的位移大小。由能量守恒定律得                 解得                 设某时刻物块的水平速度大小为，凹槽的速度大小为。系统水平方向动量守恒，可得 即                  而，即物块静止在B点右侧R处。由几何关系，有                      解得 （3）物块第1次在圆弧轨道运动，若凹槽没有移动，则凹槽将始终保持静止。设此过程中，物块运动至某位置，其所受轨道的支持力F与水平方向的夹角为。由机械能守恒定律得             由牛顿第二定律得                 设凹槽受到的静摩擦力大小为，地面对其支持力大小为，在水平方向上有                     在竖直方向上有                 凹槽始终静止需满足     解得                  根据数学知识 当，即时，有最大值，可知。 动摩擦因数至少为0.75。 考点三 滑块弹簧模型 例1．（2026·福建南平·一模）如图甲，在绝缘水平地面上有一带正电的小物块A和不带电的匀质绝缘薄板B，B右端与一水平轻弹簧栓接，弹簧右端固定，空间存在水平向右的匀强电场。开始时弹簧处于原长，B静止且右端位于点，点左侧地面粗糙、右侧地面光滑。已知电场强度大小为，A的质量为2kg、电荷量为，B的质量为6kg、长度为，A、B与点左侧地面间的动摩擦因数均为0.5，弹簧劲度系数为。初始时A与B左端的距离为20m。将A由静止释放，A与B发生弹性碰撞后立即撤去电场，碰撞时间可忽略不计，弹簧始终处于弹性限度内，A可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，取重力加速度大小，求： (1)A、B碰撞前瞬间A的速度大小； (2)A、B碰后0.2s时A与B左端的距离； (3)从碰后B刚好完全进入光滑地面区域开始计时，B运动的图像如图乙所示，图线在、时刻的斜率均为零，求从到的时间内B与地面之间摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A与B左端的距离为，设A、B碰撞前瞬间A的速度大小为，根据动能定理 解得 （2）设碰撞后 A 的速度为​，B 的速度为​A、B 发生弹性碰撞， 根据动量守恒 机械能守恒 解得(向左)，（向右） 以A为研究对象，根据牛顿第二定律 0.2s 内A 向左的位移 解得（向左） 薄板B的长度，当B向右的位移为时，根据牛顿第二定律 解得，B向右为匀变速运动 0.2s 内B 的位移 解得（向右） A、B 左端距离 （3）时刻，B向左运动，加速度为零（斜率为零），合力为零，设B进入光滑区长度为 由受力平衡可得 解得 时刻，B开始向右运动，加速度为零，合力为零，B板全在粗糙区内，设B板右端距离O点距离为 由受力平衡可得 解得 设时刻B板右端距离O点距离为，从碰撞结束到的过程中，应用动能定理 解得 从​到的时间内B与地面之间摩擦产生的热量 解得 例2．（2026·山东日照·二模）如图所示，水平地面与倾角θ=37 °的斜面在P点相连，O点左侧光滑，右侧粗糙。小物块A、B静止在O点左侧，两者之间的轻弹簧被压缩并用细线固定（弹簧与物块不连接），此时弹簧储存的弹性势能Ep＝75 J。滑块C静止在物块B的左侧，其内部是直径（图中虚线）位于竖直方向的半圆形轨道，底部与地面相切，半径R＝0.5 m。现将细线烧断，小物块A、B与弹簧分离后，小物块B冲上滑块C，小物块A经过O点并从P点水平向右抛出。此后小物块A每次与斜面的碰撞前后瞬间其垂直于斜面方向的速度大小不变、方向相反，忽略碰撞过程中重力的冲量和沿斜面方向发生的位移。已知A、B、C的质量分别为mA=1 kg、mB=2 kg、mC=8 kg，A、B均可视为质点，OP段的长度，小物块A离O点的距离x与地面间的动摩擦因数μ1满足μ1=kx（k=0.2 m-1），小物块A与斜面间的动摩擦因数μ2＝0.5，地面与斜面均足够长，空气阻力可以忽略，g＝10 m/s2，sin37°＝0.6。 (1)若滑块C可自由滑动，请通过计算判断小物块B能否滑到滑块C内圆轨道的最高点； (2)若用紧靠滑块C左侧的光滑挡板（足够高）挡住滑块C，求地面对滑块C的最小支持力； (3)小物块A从P点水平抛出后，求第n个落点到P点的距离。 【答案】(1)不能 (2)，方向竖直向上 (3) 【详解】（1）细线烧断时，AB动量守恒有 根据能量守恒有 解得水平向右，水平向左 假设B能上升至滑块C最高点，BC速度分别为， 根据BC动量守恒有 BC能量守恒有 解得， 最高点需要BC相对速度达到，且由重力恰好提供向心力满足 解得 而，BC相对速度为0，故小物块B不能滑到滑块C内圆轨道的最高点。 （2）当用紧靠滑块C左侧的光滑挡板挡住滑块C时，设小物块B运动到与轨道圆心的连线与竖直方向的夹角为时，小物块B对滑块C弹力的竖直向上的分量，且速度大小为，由机械能守恒 由牛顿第二定律 则 当时，小物块B对滑块C弹力的竖直向上的分量最大，台面对滑块C的支持力最小 对滑块C，竖直方向的平衡方程 解得地面对滑块C的最小支持力，方向竖直向上。 （3）设小物块A通过P时速度为，由动能定理有 OP段小物块A物受到摩擦力大小 若绘制成图像，则图像与轴围成面积表示摩擦力做的功 OP段，联立解得通过P时速度 设第次与斜面碰撞后平行斜面方向的分速度为，垂直斜面方向的分速度为，第次与斜面碰撞后平行斜面方向的分速度为，由抛体运动规律可知 第次与斜面碰撞前平行斜面方向的分速度为 第次与斜面碰撞过程，根据动量定理可得， 联立解得 第次碰撞时落点位置 解得 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图甲所示，两个物体用一根劲度系数为的轻弹簧水平连接, 已知弹簧的形变量为 时的弹性势能为 。 (1)A、B的质量分别为 和 ，静止于光滑水平面上，初始时弹簧处于自然长度， 给一个水平初速度 ，求弹簧最短时的压缩量为多少。 (2)如图乙， A、B的质量分别为 和 ，放在足够长的轻质木板上，木板和两物体的动摩擦因数相同均为 ，初始时弹簧压缩量为 ，物体和木板均静止，释放弹簧, 系统开始运动，当弹簧恢复原长时撤去弹簧， 此时木板和一个竖直挡板发生完全非弹性碰撞，求 A、B 以及木板的最终速度。 (3)如图丙，A、B的质量均为 ，放在足够长的水平传送带上。A、B 与传送带间的滑动摩擦力以及最大静摩擦力均为，传送带以匀速运行。初始时弹簧处于原长状态，分别具有等大反向的初速度。对不同大小的，讨论当开始相对传送带向左滑动时，A的速度大小和方向。已知所有惯性参考系中的物理规律都相同。 【答案】(1) (2)都为0 (3)速度大小为v0​，方向水平向左 【详解】（1）弹簧最短时A、B速度相等，水平面光滑，系统动量守恒 解得共速 动能损失转化为弹簧弹性势能，由能量守恒 代入整理得压缩量 （2）初始系统总动量为0，轻质木板质量为0。A对木板的滑动摩擦力向左，大小，B对木板的滑动摩擦力向右，大小，木板合力向左，因此木板随A一起向左运动，碰撞前向左运动。 木板与挡板完全非弹性碰撞后立即静止。撤去弹簧后，A、B在静止木板上滑动，摩擦力持续消耗动能，木板足够长，最终动能全部耗尽，故A、B 以及木板的最终速度都为0。 （3）以向右为正方向，初始总动量 A受向右滑动摩擦力，B受向左滑动摩擦力，AB系统合外力为0，动量守恒，因此任意时刻恒满足 B初始速度，相对传送带向右滑动，向左减速；当时，B开始相对传送带向左滑动，代入得 故A的速度大小为v0​，方向水平向左。 变式1．（2026·安徽·模拟预测）质量为的滑块a和质量可视为质点的小滑块b放置在光滑水平面上，中间连接有被压缩的弹簧，弹簧和b不栓接。现由静止同时释放两滑块，b被弹开后沿光滑水平面滑行速度；b离开水平面后以平行于滑板c的速度恰好从上端滑上其上表面，滑板c足够长，其质量。斜面的倾角，c与斜面之间的动摩擦因数，b与c之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，重力加速度。 (1)求b刚滑入c的速度大小； (2)求弹簧存储弹性势能； (3)求b、c间摩擦产生的热量Q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）水平方向匀速直线运动有 解得 （2）由机械能守恒和动量守恒得， 解得 （3）由于，则c恰好不相对斜面滑动，一直处于静止，对b由牛顿第二定律有 匀减速直到停下 那么bc之间产生的热量 联立解得 变式2．（2026·山东潍坊·二模）如图所示，质量为0.8kg的木板B静置在光滑的水平地面上，在木板右端上方静置一质量为0.4kg的小球A，木板左侧水平放置一轻质弹簧，弹簧左端固定在竖直墙壁上，右侧与B左端接触（不拴接），初始时，弹簧处于原长。现用力向左推木板，使弹簧处于压缩状态，压缩量。撤去外力的同时释放A，弹簧恢复原长时A与B的上表面恰好接触，发生碰撞，A与B的接触时间。碰后，A运动轨迹的最大高度与初始位置等高。之后A在最高点与固定挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后立即撤去挡板。已知弹簧的劲度系数为，A与B上表面间的动摩擦因数，弹簧弹性势能表达式为（k为劲度系数、x为形变量），弹簧振子的周期表达式为（m为振子的质量、k为劲度系数），g取，A不会从B上滑下，求： (1)初始时，A所处的高度h； (2)A和B第一次碰撞结束时A的速度大小； (3)A和B第一次碰撞结束到B的速度刚达到稳定，所需的总时间t。 【答案】(1) (2) (3)1s 【详解】（1）弹簧和木板B组成弹簧振子，设振子周期为 则 从释放到弹簧恢复原长，经历的时间为，则 小球A做自由落体运动，则初始时，A所处的高度为 （2）A第一次与B碰撞前的速度为，根据 可得，方向竖直向下。 碰后，小球A运动轨迹的最大高度与初始位置等高。可知，碰后A的速度 规定向上为正，根据动量定理，对A分析竖直方向 水平方向 其中 联立可得 进行速度合成，可得小球A的速度 （3）A和B第一次碰撞前，木板B的速度为，根据机械能守恒可知 可得 第一次碰撞，规定水平向右为正，根据动量定理，对B分析由动量定理 可得碰后B的速度 第一次碰后，A做斜上抛运动，运动时间 与挡板发生弹性碰撞后，A做平抛运动，运动时间 A与B发生第二次碰撞，接触时间为 第二次碰前，A水平方向速度，B的速度 根据第（2）问分析可知，碰后A水平方向速度，B的速度 碰后A做竖直上抛运动，第二次碰撞结束后，到第三次碰撞前，A运动的时间 A与B发生第三次碰撞，接触时间为 第三次碰前，A水平方向速度，B的速度 根据第（2）问分析可知，碰后A水平方向速度，B的速度，可知此时A、B水平共速，B达到稳定状态。所以从第一次碰撞结束到B的速度刚达到稳定，所需时间 变式3．（2026·贵州·模拟预测）如图所示，光滑的台面左侧固定有一根劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧的右侧与质量为的滑块A拴接，质量也为m的滑块B紧靠滑块A一起静止在台面上。台面右侧下方光滑的地面上固定有一圆心角为、半径的光滑圆弧轨道，一表面与圆弧轨道右端相切且质量为的长木板C与圆弧轨道接触但不粘连。现用恒力向左推动滑块B，当滑块A、B加速度为0时，撤去恒力F，此后某时刻，滑块B与滑块A分离，分离后滑块A在台面上做简谐运动，滑块B从平台右侧飞出，恰好从圆弧轨道左端沿切线方向滑入，一段时间后滑上C。若C与B之间的动摩擦因数，重力加速度为；弹簧弹性势能公式，其中k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量。求： (1)撤去恒力F时弹簧的形变量； (2)滑块A做简谐运动的振幅A； (3)若B未从C上滑落，则长木板C的最短长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）撤去外力时A、B加速度为零，设此时弹簧形变量为x，则 解得 （2）经分析，A、B在弹簧恢复原长时分离，由动能定理有 解得 此后对A由能量守恒有                 解得 （3）设B落到圆弧轨道时速度为，到达圆弧轨道最底端时速度为，由题意有   根据动能定理有 解得 对B、C系统由动量守恒定律有 对B、C系统由能量守恒定律有 解得 考点四 多过程问题 例1．（2026·辽宁丹东·一模）如图所示，倾角的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，斜面AC长为2L，B为AC中点，物块P、Q分别放于斜面上B、A两点，已知物块P带正电，质量为M，电荷量为q；物块Q不带电，质量为m。斜面上方空间有平行于斜面向上、大小可调的匀强电场。初始时物块P静止在B点，现将物块Q由A点静止释放，下滑后与物块P碰撞，碰撞前后物块P的电荷量保持不变。物块P静止时，匀强电场强度的大小；物块P、Q发生碰撞后运动时匀强电场强度的大小立即变为。两物块P、Q均可视为质点，物块间的碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为g。 (1)求两物块P、Q第一次碰撞前瞬间物块Q的速度大小； (2)若第一次碰撞后物块Q刚好能运动到A、B中点，求（结果可用根式表示）； (3)若，两物块是否会在斜面AC上发生第二次碰撞，如果会，求前后两次碰撞的间隔时间；如果不会，请说明理由。 【答案】(1) (2) (3)会， 【详解】（1）Q由A到B过程中mgsinθ=ma 根据 =2aL 解得 （2）设碰撞后P、Q的速度大小分别为v1和v2，碰后Q上升AB中点，则 解得 由P、Q弹性碰撞可知， 解得 （3）设碰撞后P、Q的速度分别为v3和v4，有，        因M=m 所以  ， P有速度后，电场强度 根据牛顿第二定律 解得                           若P、Q二次碰撞，则 解得           此时P的速度                   在此过程中，P的位移                                 P刚好到达最底端。因此能二次碰撞 并且时间间隔为 例2．（2026·江苏徐州·二模）如图，光滑轨道PQO的水平段，轨道在O点与水平地面平滑连接。一质量为m的小物块A从高h处由静止开始沿轨道下滑，在O点与质量为4m的静止小物块B发生碰撞。A、B与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度大小为g。假设A、B间的碰撞为完全弹性碰撞，碰撞时间极短，物块可视为质点，不计空气阻力。求： (1)小物块A第一次到达O点时的速度大小，以及第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小； (2)第一次碰撞后，A沿光滑轨道上升的最大高度，以及B在水平地面滑行至停止的总位移大小； (3)A沿光滑轨道返回O点后向右滑行直至静止，求A、B最终静止时到O点的距离，并计算全过程中系统因摩擦产生的总内能。 【答案】(1)，， (2)， (3)，， 【详解】（1）由机械能守恒 解得第一次到达点的速度 A、B发生完全弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒， 解得碰撞后瞬间A、B的速度大小分别为， （2）A碰撞后沿轨道上升，由机械能守恒 解得A上升的最大高度 B碰撞后在水平地面滑行，由动能定理 解得B第一次滑行的位移 （3）A沿轨道返回O点，速度大小仍为，向右滑行至B的位置，由运动学公式 解得A碰撞前速度 A、B发生第二次完全弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒， 解得碰撞后速度， A碰撞后向左滑行，由动能定理得滑行位移 A最终距点的距离 B碰撞后向右滑行，总位移 全过程系统因摩擦产生的总内能等于初始重力势能 例3．（2026·河北邢台·二模）如图所示，长为的细线一端固定于点，另一端系有一质量为可视为质点的小球，初始时小球被锁定在距离点处的装置中。光滑地面上有一质量为的长木板到墙壁距离为，木板左端放有质量为的凹形小木槽，凹形小木槽与长木板间的动摩擦因数为。解除锁定，小球开始运动，小球到达点正下方时细线断裂，小球飞出，之后恰好落入凹形小木槽中与小木槽粘在一起（时间极短）。经过一段时间后长木板与墙壁发生弹性碰撞，凹形小木槽始终未脱离长木板且未与墙壁碰撞，重力加速度取，求： (1)细线断裂时小球的速度大小； (2)长木板与墙壁碰撞时，小木槽与长木板的速度大小； (3)长木板在地面上运动的总路程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解除锁定小球先做自由落体运动直到细线伸直，此时细线与水平方向夹角为，则 由动能定理可得 细线绷紧瞬间沿绳方向速度变为0，只剩下切向速度，有 之后到最低点，根据机械能守恒有 联立解得 （2）小球恰好落入凹形小木槽中，与小木槽粘在一起，水平方向动量守恒 有 之后小球、小木槽和长木板动量守恒，三者共速有 解得 这个过程对长木板有 且有 联立解得，即小木槽与长木板共速之后长木板才与墙壁碰撞 长木板与墙壁碰撞时小木槽与长木板速度均为 （3）长木板与墙壁间的碰撞为弹性碰撞，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为有 第1次与墙壁碰后 即长木板第2次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为有… 第2次与墙壁碰后 即长木板第3次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为 有 第3次与墙壁碰后 即长木板第4次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为 有…… 第次与墙壁碰后即长木板第次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为 有… 长木板总路程为 联立可得 即 当时有 代入数据解得 变式1．（2026·浙江台州·二模）如图1所示，倾角θ=37°的倾斜直轨道AB、竖直圆轨道I、水平轨道BC和CE、水平圆管轨道II（俯视图如图2所示）平滑连接。该装置AB段动摩擦因数为μ=0.5，其余各段均光滑，两圆轨道半径分别为R1=0.18m与。质量为m1=0.2kg的滑块a从斜面上某点由静止下滑，恰好能通过竖直圆轨道I的最高点D，从E点沿切线进入管径很小的水平圆管轨道II（进入后立即封闭管道），并与静止在圆管内质量为m2=0.1kg的滑块b发生碰撞，碰撞时间可忽略。滑块a、b均可视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求滑块a滑到斜面底端B处的速度大小及在AB段运动的时间； (2)若滑块a与b发生弹性碰撞，求第一次碰撞后瞬间a、b的速度大小； (3)在（2）情况下，分别求滑块a、b从第一次碰撞后首次回到该碰撞位置的时间； (4)若滑块a与b发生非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的0.5倍，求从第一次碰撞到第n次碰撞所经历的时间。 【答案】(1)3m/s； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）滑块a恰过D点，则 得 由机械能守恒可知 得 根据牛顿第二定律 得 根据 得 （2）a与b弹性碰撞，由动量守恒定律和能量关系可知， 得； （3）b转一圈回到该位置 第一次碰撞后经再次相遇； 第二次碰撞，则， 得， 再经回到第一次碰撞位置； 则 （4）根据，而 解得 第一次碰撞到第n次碰撞所经历的时间 变式2．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，光滑水平面上有a、b两个固定弹性挡板，光滑四分之一圆弧体，质量为3m、半径为，静止在两挡板间的水平面上，最低点刚好与水平面相切，此时的左侧面离的距离为。将质量为的小球从圆弧面的最高点由静止释放，当小球第一次与挡板相碰时，圆弧体也刚好第一次与挡板碰撞；不计球的大小，球和圆弧体与挡板的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为，求： (1)小球第一次运动到水平面上时的速度大小； (2)a、b两挡板间的距离； (3)当小球再次滚上圆弧体且沿圆弧面向上运动到与连线与竖直方向夹角为时，圆弧体的速度大小。 【答案】(1) (2)4R (3) 【详解】（1）设小球第一次运动到水平面上时的速度大小为，此时圆弧体的速度大小为，根据水平方向动量守恒 根据机械能守恒 解得 （2）设小球从圆弧面最高点运动到最低点的过程中，小球沿水平方向运动的距离为，圆弧体运动的距离为，则 水平方向动量守恒，则 即 解得， 设两挡板间的距离为，根据题意有 解得 （3）根据对称性可知，当小球刚好要再次滚上圆弧面时，圆弧体到挡板的距离为 此时小球向左运动的速度大小为，圆弧体向右运动的速度大小 当小球沿圆弧面向上运动到与圆心连线与竖直方向夹角为时，圆弧体的速度为，小球速度沿水平方向和竖直方向的分速度大小分别为、， 根据题意 根据能量守恒 根据关联速度有 解得 变式3．（2026·江西萍乡·二模）如图所示，在倾角的斜面上固定一个足够长的圆管，一质量为m的薄圆柱体静止在管口处。一质量为m直径略小于圆管内径的光滑小球以初速度，进入圆管并与圆柱体发生弹性碰撞。圆柱体受到撞击后向下滑动，下滑过程中受到圆管对它的滑动摩擦力大小等于圆柱体重力的0.6倍，圆柱体始终垂直管壁。不计其他阻力，重力加速度，，。求： (1)第一次碰撞后瞬间，小球和圆柱体的速度大小； (2)小球从进入管内到第三次与圆柱体发生碰撞过程中的位移。 【答案】(1)0， (2)25m 【详解】（1）圆柱体与光滑小球发生弹性碰撞时系统动量守恒，有 过程中机械能也守恒，有 可解得第一次碰撞后瞬间，小球的速度为 圆柱体的速度为 （2）根据第1小问计算，圆柱体与小球发生弹性碰撞后，二者速度交换。碰后光滑小球在管中做匀变速直线运动，具有沿斜面向下的加速度， 对圆柱体沿斜面方向上受力分析，有 说明每次碰撞后圆柱体都做匀速直线运动；设第一次碰撞后到第二次碰撞前所用的时间为，圆柱体运动的位移为，有 可解得， 第二次碰撞前小球的速度为 小球与圆柱体第二次发生弹性碰撞后，再次速度交换，小球的速度为 圆柱体的速度为 再经过时间二者第三次碰撞，有 解得 这个过程圆柱体运动的位移为 故小球从进入管内到第三次与圆柱体发生碰撞所位移为 2 学科网（北京）股份有限公司 $