机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧连接系统中的应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧连接系统中的应用专项训练 机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧连接系统中的应用专项训练 考点目录 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 机械能守恒定律在弹簧连接系统中的应用 考点一 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 解题思路点拨：先确定系统整体，忽略杆内力做功；利用杆约束下各物体速度关联、高度同步变化，选取零势能面，对系统列重力势能与动能的转化守恒式，代入速度高度关系求解。 例1．（25-26高一下·山东泰安·月考）半径为的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为和的小球A和B。A、B之间用一长为的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，已知重力加速度为g。试求： (1)B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功； (2)B球在圆环右侧区域内达到最高点位置时连线与水平方向的夹角。 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）释放后B到达最低点的过程中，A、B和杆组成的系统机械能守恒，有 又OA⊥OB，AB杆长，故OA、OB与杆间夹角均为，可知，联立解得 对小球A，应用动能定理可得 联立解得 （2）设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为，取圆环的圆心O为零势面，由系统机械能守恒可得 代入数据可得 所以B球在圆环右侧区域内达到最高点位置时OB连线与水平方向的夹角为。 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，左、右两个光滑半圆轨道半径分别为3R和R，它们和足够长的光滑水平直轨道AB、CD平滑相连并竖直放置。穿在轨道上、质量为3m的小环a初始位置如图1所示，已知重力加速度为g，求： (1)给a向右的初速度，求到达B点时a受到轨道施加的弹力F； (2)给a向右的初速度v2，若a在左半圆环上运动时始终受到轨道施加的指向圆心的弹力，求v2的范围； (3)如图2所示，将质量为m的小环b穿在轨道上，用长为3R的轻质杆连接a、b两环。初始时，a、b两环具有一定的初速度，且a环恰能运动到直导轨CD上。求a环在右半圆轨道上运动过程中机械能最大时的速度大小v3。 【答案】(1)18mg，竖直向上 (2)或 (3) 【详解】（1）小环a从初始位置运动到B点，根据机械能守恒定律可得 在B点，根据牛顿第二定律可得 联立解得 方向竖直向上； （2）若小环a的初速度较小，恰好运动到左侧半圆环圆心等高处，根据机械能守恒定律可得 解得 若小环a的初速度较大，恰好运动到左侧半圆环最高点，根据机械能守恒定律可得 在最高点，有 解得 由此可知，若a在左半圆环上运动时始终受到轨道施加的指向圆心的弹力，则小环a初速度v2的范围为或； （3）由题意知，a、b两环的初速度大小相等，a环恰能运动到直导轨CD上，则两环的末速度为0，根据系统机械能守恒定律可得 解得 a、b两环组成的系统机械能守恒，a环在右半圆轨道上运动过程中机械能最大时，b环机械能最小，此时a的速度与杆垂直，b环速度为0，机械能最小，杆过右侧半圆轨道的圆心，根据几何关系可得，a环距离AB轨道的高度为 根据系统机械能守恒可得 联立解得 例3．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图所示，长为3L的轻杆两端分别固定有质量均为m的小铁球1和2，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴。初状态轻杆恰好在水平位置，静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，当杆到达竖直位置时，求： (1)球1的速度大小v1和球2的速度大小，以及在此过程中，轻杆对球1做的功W₁ (2)水平转动轴对轻杆的作用力F的大小。 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）由系统机械能守恒，可得 且有 解得， 对球1根据动能定理 解得 （2）对球1受力分析，由牛顿第二定律可得 对球2受力分析，由牛顿第二定律可得 由牛顿第三定律，球1对轻杆作用力 球2对轻杆作用力 对轻杆分析 变式1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角的光滑倾斜轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为的滑块A和B，用长且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取。现同时静止释放A、B，求： (1)A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量； (2)A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功； (3)A停止运动时的位置与M点的距离。 【答案】(1) (2)J (3) 【详解】（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量为 解得J （2）A从释放运动到P点过程中，根据系统机械能守恒可得 解得A运动到P点时，A、B的速度大小均为 对A根据动能定理可得2 解得轻杆对A做的功为J （3）设A停止运动时的位置与M点的距离为，以A、B为整体，根据动能定理可得 解得 变式2．（24-25高一下·四川巴中·期末）如图所示，一根长为L的轻杆两端分别固定着可视为质点的A、B两个小球，已知A的质量为m，B的质量是A的质量的两倍，B到O的距离是A到O的距离的两倍，轻杆可围绕O点在竖直面内自由转动（忽略空气阻力和各种摩擦阻力），重力加速度大小为g。两球从水平位置由静止释放，当轻杆第一次转动到竖直状态时，求： (1)A、B两球线速度大小之比vA∶vB为多少； (2)此过程中轻杆对B球做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：A、B绕O转动的角速度相同。 则由线速度与角速度的关系可得， 故 （2）由题意可知：A、B绕O转动过程中系统机械能守恒。则有 解得， 设在此过程中，轻杆对B做功为W，对B从水平位置转到竖直最低点这一过程应用动能定理有 解得 故此过程中，轻杆对B球做负功 变式3．（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，两个质量均为m的小球A、B固定在轻杆上，轻杆可绕O点自由转动，OA、AB的距离均为l，现将小球拉到水平位置由静止释放，重力加速度为g。求： (1)当B小球到最低点时杆对B的拉力； (2)从水平释放到杆恰好竖直过程中杆对B做的功。 【答案】(1)3.4mg (2) 【详解】（1）从释放到最低点对系统由机械能守恒定律得 根据可知 在最低点对B球由牛顿第二定律 解得 （2）从释放到最低点，对球由动能定理得 解得 考点二 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 解题思路点拨：以绳相连物体为整体，绳内力不耗机械能；依托绳不可伸长，沿绳分速度大小相等找速度关联，分析各物体升降带来的势能增减，用系统机械能守恒列式求解。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图甲所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮（固定）下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直，A在水平地面上。A的质量为m，B的质量为km，不计一切阻力，重物和滑轮均视为质点，重力加速度为g。 (1)k为何值时，A对地面的压力恰好为零； (2)k=1时，图甲所示位置释放，当B的位移为h时（未落地），求B的速度大小v； (3)如图乙所示，k=2，把A固定在地面上，所有绳子恰好拉直无作用力，B从图示位置静止释放，图中所示绳长L且与水平方向夹角为30°，求B刚运动到最低点时，A与动滑轮间的绳中拉力大小FA。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据平衡条件，对A分析 对B分析 又 联立解得 （2）根据动滑轮特点，可得， 根据系统机械能有 解得 （3）当k=2时，B的质量为2m。刚开始B做自由落体运动，绳绷紧后能量损失，做圆周运动，根据机械能守恒定律有 解得 在绳绷紧瞬间，B沿半径方向的速度突变为0，只有沿切线方向的速度，即 B运动到最低点的过程，根据机械能守恒定律有 解得 B在最低点，根据牛顿第二定律有 解得 又 解得 例2．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，劲度系数为的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为的物体，一轻绳绕过光滑定滑轮后分别与物体、相连，物体质量也为，轻绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住使轻绳刚好伸直且拉力为零，由静止释放物体，不计一切摩擦，物体不会碰到地面，弹簧弹性势能的表达式为，重力加速度，求： (1)释放B的瞬间，弹簧的形变量和物体的加速度大小； (2)物体的最大动能； (3)其他条件不变，将物体改换成物体后，向上运动到最高点时，弹簧恰好恢复原长，求物体的质量。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）释放B的瞬间，弹簧处于压缩状态 解得 设绳子拉力，由牛顿第二定律，对B有 对A有 解得 （2）当A、B物体的加速度为0时，A速度最大，此时A有最大动能，设此时拉力为T，弹簧伸长量为，则由平衡条件，得， 解得 由开始运动到达到最大动能过程，弹性势能不变，由能量守恒定律，得 解得 （3）物块A运动到最高点时速度为零，此时弹簧恢复原长，弹簧弹性势能为零 由能量守恒定律，得 解得 例3．（25-26高一下·山东枣庄·期中）某人站在水平平台上，手握长为L=0.5m的不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量m=1kg的小物块（可看作质点），使物块恰能在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。小物块运动到最低点时距离地面高度h=5m，不计阻力，g=10m/s2。求： (1)小物块经过最高点的速度是多少？ (2)若在其手的正下方0.1m处有一个细钉（图中未画出来），小物块运动到最低点碰到细钉时细绳被拉断，求物块落地时的水平射程x。 【答案】(1) (2)5m 【详解】（1）设物块运动到最高点速度为，有 解得 （2）设物块圆周运动到最低点时速度为，由动能定理 解得 绳子断开后，小物块做平抛运动，有 解得物块落地时的水平射程 变式1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）固定在地面上的两根竖直杆距离为2d，半径不计的轻质定滑轮距两杆距离均为d，质量为m的圆环A和质量为2m的圆环B分别套在两根杆上，并通过轻绳连接。用外力作用在B上，使两物体在图示位置保持静止，某一时刻撤去外力，释放圆环，已知重力加速度为g，不计一切摩擦，求： (1)AB静止时，轻绳拉力的大小； (2)AB等高时，A的动能大小； (3)以定滑轮位置为参考平面，求A的最大机械能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆环A竖直方向由平衡条件有 解得轻绳拉力的大小为 （2）由几何关系知AB间轻绳总长为 AB等高时，根据对称性AB的速度大小相等 由系统机械能守恒有 解得 （3）以定滑轮位置为参考平面，当 A上升到定滑轮上方时，绳拉力对A做负功，所以 A上升到定滑轮等高时，机械能最大 由于两物体沿绳方向的速度相等， A上升到定滑轮等高时，B的速度恰好为零 以定滑轮位置为参考平面，则 A上升到定滑轮等高时，A增加的机械能等于B损失的机械能 原A的机械能为 故A最大的机械能为 变式2．（25-26高三上·天津·期中）如图所示，物块、、的质量分别为、、，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块置于地面，物块与、到地面的距离均是，现将三个物块由静止释放。若与地面、与相碰后速度立即减为零，距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为。求： (1)刚释放时的加速度大小及轻绳对的拉力大小； (2)物块由最初位置上升的最大高度； (3)若改变的质量使系统由静止释放后物块能落地且物块与不相碰，则的质量应满足的条件。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）刚释放时A、B、C的加速度大小为，绳子对A拉力大小为由受力分析可知，对于A有 对于B、C整体有 解得， （2）C落地时的速度为 C落地后A匀速向上运动，B落地后A继续上升的高度为 则物块由最初位置上升的最大高度 （3）若改变A的质量使系统由静止释放后物块C能落地，则的质量需满足 同时使得B与C不相碰，即C落地后B减速下降到地面时速度为0，从释放到落地的过程中运用系统机械能守恒定律 从C落地到B减速到地面速度为0的过程中运用系统机械能守恒定律 解得 系统由静止释放后物块C能落地且物块B与C不相碰，的质量应满足。 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如图所示，质量分别为m和的两个物块用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，其中质量为m的物块穿过固定竖直杆并可沿杆无摩擦地滑动。已知杆与定滑轮间的距离为，A点与定滑轮等高，不计滑轮质量、大小及任何摩擦。轻绳足够长，重力加速度g取。（，） (1)当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角α； (2)将m由A点静止释放，m下降的最大高度； (3)将m由A点静止释放，m获得的最大速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对，由平衡条件有 对，由平衡条件有 联立解得 （2）当到达最低点时速度为零，对和组成的系统由机械能守恒有 解得 （3）在该系统下降的过程中，当m获得最大速度时，即合外力等于零时，可知此时恰好在B位置处，由动能定理有 解得 考点三 机械能守恒定律在弹簧连接系统中的应用 解题思路点拨：把物体和弹簧视作系统，只有重力、弹簧弹力做功，系统机械能守恒；需计入弹簧弹性势能的增减，结合物体动能、重力势能变化，整体列守恒方程求解。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达C点。重力加速度为g。 (1)求弹簧压缩至A点时的弹性势能； (2)求物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）物体从A点到B点，根据能量守恒有 解得 （2）由题知，物体恰好到达C点，根据牛顿第二定律有 解得 物体从A点到B点，根据动能定理有 解得 例2．（25-26高一下·福建福州·期中）如图，质量为的小滑块（视为质点）在半径为R的四分之一光滑圆弧的最高点A，由静止开始释放，它运动到B点时速度为。当滑块经过B后立即将AB段圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为、长的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在 之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取，，，不计空气阻力。 (1)求光滑圆弧的半径； (2)若设置，求弹簧的最大弹性势能； (3)若滑块最终停在D点，求μ的取值范围。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）（1）滑块从A到B过程，根据机械能守恒定律得 代入数据得 （2）已知，滑块的速度为零时弹簧弹性势能最大，由系统机械能守恒定律可知，弹簧最大弹性势能 代入数据得 （3）最终滑块停在D点有两种可能： a、滑块恰好能从C下滑到D，由动能定理得 代入数据解得； b、当滑块恰好能返回C时，由动能定理得 代入数据解得  当滑块恰好静止在斜面上，则有 代入数据解得 综上所述，滑块不会回到BC平面上且最终滑块停在D点， μ的取值范围是或。 例3．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度g。 (1)求小球刚接触弹簧时速度的大小。 (2)求压缩过程中弹簧弹性势能的最大值。 (3)以竖直向下为正方向，从小球从最高点自由下落时开始计时，在图2中定性画出小球从接触弹簧到下落至最低点过程中速度v随时间t变化的图线。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）小球接触弹簧前做自由落体运动，由运动学公式可得 解得 （2）小球下落至最低点时，弹簧弹性势能最大，此时小球的动能为0，根据系统机械能守恒可得 （3）从小球从最高点自由下落时开始计时，自由落体运动过程，根据 解得小球开始接触弹簧的时刻为 小球从接触弹簧到下落至最低点过程中，开始阶段重力大于弹力，合力向下，随着弹力增大，加速度减小，做加速度减小的加速运动；当弹力等于重力，小球速度达到最大；之后弹力大于重力，合力向上，随着弹力增大，加速度增大，小球向下做加速度增大的减速运动；故小球从接触弹簧到下落至最低点过程中速度v随时间t变化的图线如图所示 变式1．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，的倾斜轨道固定在水平滑道的左侧，水平滑道的右侧固定一个竖直挡板，挡板的左侧固定一劲度系数的轻质弹簧，弹簧处于原长时，其自由端位于滑道上的点。水平滑道只有段粗糙，其余部分光滑，段长度。现将一个质量为可视为质点的滑块，从倾斜轨道上距水平轨道高度处的点由静止释放，不计空气阻力和滑块进入水平轨道时的能量损失，滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数，与段间的动摩擦因数，已知弹簧在整个作用过程中未超过弹性限度，弹簧的弹性势能表达式为（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量），重力加速度，，求 (1)弹簧的最大形变量； (2)滑块再次返回时的最大高度； (3)滑块最终停下来的位置。 【答案】(1)0.2m (2) (3)m处（或在P点右侧m处） 【详解】（1）设弹簧的最大形变量为xm，滑块从释放到第一次将弹簧压缩到最短的过程，由能量守恒得 xm=0.2m （2）设滑块再次返回倾斜轨道时的最大高度为h1，滑块从释放到第一次返回倾斜轨道达到最大高度时的过程，由能量守恒得： 解得m （3）滑块再次下滑时，到最终静止全过程应用动能定理 解得 又 所以滑块最终静止的位置在Q点左侧m处（或在P点右侧m处） 变式2．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，长为的水平传送带上端与水平轨道相平，水平轨道右端与半径的半圆轨道在Q点相切，传送带以的速度顺时针转动。劲度系数的轻弹簧右端固定在水平轨道上，左端自由。用手把质量的物块（视为质点）压住弹簧并由静止释放，物块运动到水平轨道左端时弹簧被锁定，物块继续向左运动，随后迅速撤去弹簧及固定装置。弹簧被锁定时压缩量为，物块与传送带间动摩擦因数，其它阻力不计。弹簧始终处于弹性限度内，弹性势能（为弹簧的形变量），重力加速度g取。 (1)若物块恰能到最高点，求物块在最低点Q点时对轨道的压力； (2)若物块恰能到最高点，求弹簧的初始压缩量； (3)求物块进入半圆轨道且不脱离半圆轨道（P点除外）时弹簧初始压缩量应满足的要求。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) (3)或 【详解】（1）若物块恰能到最高点，在点有 解得 从点到点，由机械能守恒可得 解得 在点，由牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知，物块在最低点Q点时对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （2）由于 可知物块在传送带上先向左做减速运动，再向右做加速运动，根据对称性可知，物块从左端滑上传送带时的速度大小为 设弹簧的初始压缩量为，根据能量守恒可得 代入数据解得 （3）为了物块进入半圆轨道且不脱离半圆轨道。 情景一：物块可以经过半圆轨道最高点，则物块从水平轨道左端滑上传送带时的速度大小应满足 设物块在传送带上减速到左端速度刚好减为0，则有 解得 当时，根据能量守恒可得 解得弹簧的初始压缩量为 可知当时，物块从水平轨道左端滑上传送带时的速度大小满足时，物块可以经过半圆轨道最高点； 情景二：物块在半圆轨道圆心等高处速度刚好为0，设物块从水平轨道左端滑上传送带时的速度大小为，物块在传送带上先向左做减速运动，再向右做加速运动，根据对称性可知，物块返回水平轨道左端的速度大小为，根据机械能守恒可得 解得 根据能量守恒可得 解得弹簧的初始压缩量为 可知当时，物块在半圆轨道上滑行时不会越过圆心等高处。 综上分析可知，物块进入半圆轨道且不脱离半圆轨道（P点除外）时弹簧初始压缩量应满足或。 变式3．（25-26高一下·辽宁大连·月考）如图所示，竖直面内光滑圆弧轨道最低点与水平面平滑连接，圆弧轨道半径为，圆心角，水平面上点左侧光滑，右侧粗糙。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到点。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置，由静止释放物块，物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，物块与段间的动摩擦因数为，段的长度也为，重力加速度为，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，物块对轨道的压力； (2)物块最终停下的位置离点的距离； (3)调整弹簧的压缩量，物块由静止释放恰能到达与点等高的高度，则弹簧的最大弹性势能为多大？ 【答案】(1)2mg，方向竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，因此到达D点时速度为0； 从C到D由动能定理 在C点，由牛顿第二定律 得 根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小为2mg，方向竖直向下。 （2）设停下位置离C点距离为，物块与段间的动摩擦因数为，从D到停下过程由动能定理 解得，即物块停在B点，离C点距离为。 （3）设物块运动到D点的速度为vD，压缩弹簧时，弹簧的最大弹性势能为，物块离开D点后做斜抛运动，在D点竖直方向的分速度为 从D点到最高点的过程，有 则得 根据能量守恒定律得 可得 2 学科网（北京）股份有限公司 $机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧连接系统中的应用专项训练 机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧连接系统中的应用专项训练 考点目录 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 机械能守恒定律在弹簧连接系统中的应用 考点一 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 解题思路点拨：先确定系统整体，忽略杆内力做功；利用杆约束下各物体速度关联、高度同步变化，选取零势能面，对系统列重力势能与动能的转化守恒式，代入速度高度关系求解。 例1．（25-26高一下·山东泰安·月考）半径为的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为和的小球A和B。A、B之间用一长为的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，已知重力加速度为g。试求： (1)B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功； (2)B球在圆环右侧区域内达到最高点位置时连线与水平方向的夹角。 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，左、右两个光滑半圆轨道半径分别为3R和R，它们和足够长的光滑水平直轨道AB、CD平滑相连并竖直放置。穿在轨道上、质量为3m的小环a初始位置如图1所示，已知重力加速度为g，求： (1)给a向右的初速度，求到达B点时a受到轨道施加的弹力F； (2)给a向右的初速度v2，若a在左半圆环上运动时始终受到轨道施加的指向圆心的弹力，求v2的范围； (3)如图2所示，将质量为m的小环b穿在轨道上，用长为3R的轻质杆连接a、b两环。初始时，a、b两环具有一定的初速度，且a环恰能运动到直导轨CD上。求a环在右半圆轨道上运动过程中机械能最大时的速度大小v3。 例3．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图所示，长为3L的轻杆两端分别固定有质量均为m的小铁球1和2，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴。初状态轻杆恰好在水平位置，静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，当杆到达竖直位置时，求： (1)球1的速度大小v1和球2的速度大小，以及在此过程中，轻杆对球1做的功W₁ (2)水平转动轴对轻杆的作用力F的大小。 变式1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角的光滑倾斜轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为的滑块A和B，用长且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取。现同时静止释放A、B，求： (1)A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量； (2)A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功； (3)A停止运动时的位置与M点的距离。 变式2．（24-25高一下·四川巴中·期末）如图所示，一根长为L的轻杆两端分别固定着可视为质点的A、B两个小球，已知A的质量为m，B的质量是A的质量的两倍，B到O的距离是A到O的距离的两倍，轻杆可围绕O点在竖直面内自由转动（忽略空气阻力和各种摩擦阻力），重力加速度大小为g。两球从水平位置由静止释放，当轻杆第一次转动到竖直状态时，求： (1)A、B两球线速度大小之比vA∶vB为多少； (2)此过程中轻杆对B球做的功。 变式3．（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，两个质量均为m的小球A、B固定在轻杆上，轻杆可绕O点自由转动，OA、AB的距离均为l，现将小球拉到水平位置由静止释放，重力加速度为g。求： (1)当B小球到最低点时杆对B的拉力； (2)从水平释放到杆恰好竖直过程中杆对B做的功。 考点二 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 解题思路点拨：以绳相连物体为整体，绳内力不耗机械能；依托绳不可伸长，沿绳分速度大小相等找速度关联，分析各物体升降带来的势能增减，用系统机械能守恒列式求解。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图甲所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮（固定）下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直，A在水平地面上。A的质量为m，B的质量为km，不计一切阻力，重物和滑轮均视为质点，重力加速度为g。 (1)k为何值时，A对地面的压力恰好为零； (2)k=1时，图甲所示位置释放，当B的位移为h时（未落地），求B的速度大小v； (3)如图乙所示，k=2，把A固定在地面上，所有绳子恰好拉直无作用力，B从图示位置静止释放，图中所示绳长L且与水平方向夹角为30°，求B刚运动到最低点时，A与动滑轮间的绳中拉力大小FA。 例2．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，劲度系数为的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为的物体，一轻绳绕过光滑定滑轮后分别与物体、相连，物体质量也为，轻绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住使轻绳刚好伸直且拉力为零，由静止释放物体，不计一切摩擦，物体不会碰到地面，弹簧弹性势能的表达式为，重力加速度，求： (1)释放B的瞬间，弹簧的形变量和物体的加速度大小； (2)物体的最大动能； (3)其他条件不变，将物体改换成物体后，向上运动到最高点时，弹簧恰好恢复原长，求物体的质量。 例3．（25-26高一下·山东枣庄·期中）某人站在水平平台上，手握长为L=0.5m的不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量m=1kg的小物块（可看作质点），使物块恰能在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。小物块运动到最低点时距离地面高度h=5m，不计阻力，g=10m/s2。求： (1)小物块经过最高点的速度是多少？ (2)若在其手的正下方0.1m处有一个细钉（图中未画出来），小物块运动到最低点碰到细钉时细绳被拉断，求物块落地时的水平射程x。 变式1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）固定在地面上的两根竖直杆距离为2d，半径不计的轻质定滑轮距两杆距离均为d，质量为m的圆环A和质量为2m的圆环B分别套在两根杆上，并通过轻绳连接。用外力作用在B上，使两物体在图示位置保持静止，某一时刻撤去外力，释放圆环，已知重力加速度为g，不计一切摩擦，求： (1)AB静止时，轻绳拉力的大小； (2)AB等高时，A的动能大小； (3)以定滑轮位置为参考平面，求A的最大机械能。 变式2．（25-26高三上·天津·期中）如图所示，物块、、的质量分别为、、，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块置于地面，物块与、到地面的距离均是，现将三个物块由静止释放。若与地面、与相碰后速度立即减为零，距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为。求： (1)刚释放时的加速度大小及轻绳对的拉力大小； (2)物块由最初位置上升的最大高度； (3)若改变的质量使系统由静止释放后物块能落地且物块与不相碰，则的质量应满足的条件。 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如图所示，质量分别为m和的两个物块用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，其中质量为m的物块穿过固定竖直杆并可沿杆无摩擦地滑动。已知杆与定滑轮间的距离为，A点与定滑轮等高，不计滑轮质量、大小及任何摩擦。轻绳足够长，重力加速度g取。（，） (1)当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角α； (2)将m由A点静止释放，m下降的最大高度； (3)将m由A点静止释放，m获得的最大速度。 考点三 机械能守恒定律在弹簧连接系统中的应用 解题思路点拨：把物体和弹簧视作系统，只有重力、弹簧弹力做功，系统机械能守恒；需计入弹簧弹性势能的增减，结合物体动能、重力势能变化，整体列守恒方程求解。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达C点。重力加速度为g。 (1)求弹簧压缩至A点时的弹性势能； (2)求物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 例2．（25-26高一下·福建福州·期中）如图，质量为的小滑块（视为质点）在半径为R的四分之一光滑圆弧的最高点A，由静止开始释放，它运动到B点时速度为。当滑块经过B后立即将AB段圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为、长的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在 之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取，，，不计空气阻力。 (1)求光滑圆弧的半径； (2)若设置，求弹簧的最大弹性势能； (3)若滑块最终停在D点，求μ的取值范围。 例3．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度g。 (1)求小球刚接触弹簧时速度的大小。 (2)求压缩过程中弹簧弹性势能的最大值。 (3)以竖直向下为正方向，从小球从最高点自由下落时开始计时，在图2中定性画出小球从接触弹簧到下落至最低点过程中速度v随时间t变化的图线。 变式1．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，的倾斜轨道固定在水平滑道的左侧，水平滑道的右侧固定一个竖直挡板，挡板的左侧固定一劲度系数的轻质弹簧，弹簧处于原长时，其自由端位于滑道上的点。水平滑道只有段粗糙，其余部分光滑，段长度。现将一个质量为可视为质点的滑块，从倾斜轨道上距水平轨道高度处的点由静止释放，不计空气阻力和滑块进入水平轨道时的能量损失，滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数，与段间的动摩擦因数，已知弹簧在整个作用过程中未超过弹性限度，弹簧的弹性势能表达式为（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量），重力加速度，，求 (1)弹簧的最大形变量； (2)滑块再次返回时的最大高度； (3)滑块最终停下来的位置。 变式2．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，长为的水平传送带上端与水平轨道相平，水平轨道右端与半径的半圆轨道在Q点相切，传送带以的速度顺时针转动。劲度系数的轻弹簧右端固定在水平轨道上，左端自由。用手把质量的物块（视为质点）压住弹簧并由静止释放，物块运动到水平轨道左端时弹簧被锁定，物块继续向左运动，随后迅速撤去弹簧及固定装置。弹簧被锁定时压缩量为，物块与传送带间动摩擦因数，其它阻力不计。弹簧始终处于弹性限度内，弹性势能（为弹簧的形变量），重力加速度g取。 (1)若物块恰能到最高点，求物块在最低点Q点时对轨道的压力； (2)若物块恰能到最高点，求弹簧的初始压缩量； (3)求物块进入半圆轨道且不脱离半圆轨道（P点除外）时弹簧初始压缩量应满足的要求。 变式3．（25-26高一下·辽宁大连·月考）如图所示，竖直面内光滑圆弧轨道最低点与水平面平滑连接，圆弧轨道半径为，圆心角，水平面上点左侧光滑，右侧粗糙。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到点。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置，由静止释放物块，物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，物块与段间的动摩擦因数为，段的长度也为，重力加速度为，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，物块对轨道的压力； (2)物块最终停下的位置离点的距离； (3)调整弹簧的压缩量，物块由静止释放恰能到达与点等高的高度，则弹簧的最大弹性势能为多大？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $