精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年下学期高三仿真考（一）数学试题

玉溪一中2025—2026学年下学期高三仿真考（一） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集、补集运算可知，再结合并集运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算，即可求得答案. 【详解】由， 得， 故选：A 3. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将 人按分组，分甲单独一组、甲和他人一组两类，分别用组合排列算出对应方法数，结合甲不参加围棋苑的限制排除不合情况，两类相加得到总方法数为. 【详解】五名同学参加四个社团，每个社团至少一人，必为分组，分两类讨论： ①甲单独一组：从其余人中选人成组，有种. 甲不参加围棋苑，有种选择，剩余组全排列. 方法数为. ②甲与另一人成组：选同伴有种，四组分到四社团，排除甲组去围棋苑. 方法数为. 总计方法数为. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可. 【详解】由于， 那么， ，则， 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列求和公式结合已知列方程即可求解. 【详解】由题意设等差数列的首项、公差分别为， 因为，所以， 从而. 故选：D. 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球）， 又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支） 过点作，而面， 所以面， 设为中点，则二面角为， 所以不妨设， 所以， 所以，令， 所以， 等号成立当且仅当， 所以当且仅当时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学举行数学史知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：70，85，89，75，96，89，则这组数据的（ ） A. 极差为26 B. 中位数大于平均数 C. 方差为472 D. 下四分位数为75 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由中位数，平均数以及方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】将成绩从小到大排序为：， 极差为，故A正确； 中位数为， 平均数为，故B正确； 方差为 ，故C错误； 下四分位数位置，即下四分位数是第二个数，即，故D正确； 故选：ABD 10. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解角的三角函数值，在同一个三角形中将离心率表示为三角函数值，求出离心率即可判断A，先求出倾斜角的正切值，再利用斜率的几何意义判断B，利用椭圆的定义得到边相等，证明是等腰三角形判断C，求解关键点的坐标，结合两点间距离公式判断D即可. 【详解】对于A，连接，，， ，， ， 在中，， 故有，解得，则， 而在中，，，故A正确， 对于B，而的倾斜角为，而， 则，故B错误. 对于C，由已知得，是等腰三角形，故C正确， 对于D，因为，则，故， 易知的方程为，设， 联立方程组，解得或， 故，又，即， 由两点距离公式得， 而，，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是 C. 的值域为 D. 当时，函数有个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】已知是定义域为的奇函数，由时，利用奇函数性质推出时，判定A正确，对与分别求导得极值点为和，不是，故B错误，分析两段区间函数取值范围得值域为，不是全体实数，故C错误，结合函数值域与单调性，当时方程仅有一个解，对应函数有1个零点，故D正确，综上正确选项为AD. 【详解】选项A：当时，，代入解析式得. 由奇函数性质，得，故A正确. 选项B：时，，求导得. 令，得，时，时，故是的极大值点，无极大值点，故B错误. 选项C： 时， ，求导得 . 令，得 ， 时 ， 时 ， 故 是 时的极小值点. 所以时，在处取极大值，时，时，值域为. 时，在处取极小值，时，时，值域为 由奇函数性质，综上值域为，不是，故C错误. 选项D：函数的零点即的解. 当时，时，无解. 时，无零点. 时值域为，且仅有1个解. 故方程仅有1个解，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】把平方，利用向量的运算法则可得答案. 【详解】由于 ， ，  均为单位向量，故 ， ， . 给定 ，对两边取模的平方得： 代入 ，得： ， 解得： ，. 故答案为： 13. 设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则__________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：的根为函数与函数的交点横坐标，根据函数图像可知要满足有三个交点，需，此时 考点：1.函数与方程的转化；2.三角函数图像及性质 14. 一袋中装有3个红球，5个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作. （1）第二次取出的球是黑球的概率为__________； （2）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率为__________. 【答案】 ①. ##0.625 ②. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式即可解决； （2）计算、等探寻规律即可发现其概率均为. 【详解】记表示第i次取到黑球，则 （1）， 则第二次取出的球是黑球的概率为. （2） ……… 事实上，可以证明：①； ②； ③. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 16. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线EF与BC所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】（1） 证明：在圆台中，由为该圆台的母线，得的延长线交于一点， 所以四点共面， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以.； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）利用圆台的结构特征，结合面面平行的性质推理得证. （2）根据给定条件证得，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求得异面直线夹角. （3）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由直线为圆台的轴，得的延长线交于一点， 由（1）同理得，由，得， 则，而，因此，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ，则，即， 所以异面直线EF与BC所成角为. 【小问3详解】 由（2）得， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 所以，所以圆台的高的长为1. 17. 已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） 由题意，当直线斜率为0时，直线， 当直线斜率不为0时，设直线的方程为，， ， 所以， 直线的方程为：， 所以的方程为， 由对称性可知过的定点一定在轴上， 令 ， 又， 所以， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合之间的平方关系即可求解； （2）设直线的方程为，，联立双曲线方程结合韦达定理得，用以及的坐标表示出点以及的方程，根据对称性可知，只需在的直线方程中，令，证明相应的为定值即可求解. 【小问1详解】 由题意，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略. 18. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【答案】（1）150元 （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求出各可能取值的概率，利用期望公式计算可得； （2）（i）利用独立事件的概率乘法公式和条件概率公式求解可得；（ii）根据相互独立事件的概率乘法公式求出，然后利用全概率公式，结合等比数列求和公式可得. 【小问1详解】 设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为. . 则的分布列为 100 200 300 P 故（元）. 【小问2详解】 （i）， ， 因为， 所以 （ii）第个顾客获得第1份幸运礼品，第个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 因为， 所以第个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 所以第个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为. 19. 已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 【答案】（1）当时，无零点； 当或时，仅有一个零点； 当时，有两个零点； （2）（i）由（1）知，当时，仅有一个零点； 由的唯一零点为，则， 两边取自然对数得：， 即，两式相减得：， 可得， 设，则，因为，所以， 即是在上单调递增， 所以有，即数列是递增数列； （ii）先证明：时，， 构造，求导得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即，所以，即， 又因为，结合上面不等式有， 所以，又因为， 所以有， 即 再由可得：，当且仅当时取等号； 再由，得， 结合上式可得：，整理得：， 当且仅当时取等号， 当时，， 再由，得：， 所以有， 则， 当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用分离参变量，再构造函数求导研究单调性，然后结合取值规律，可得到零点个数的判断； （2）（i）利用递推及放缩思想，可得到，然后再利用函数的单调性可得到数列的单调性； （ii）利用，结合零点的条件进行放缩，，再利用裂项相消求和，从而原不等式可得证. 【小问1详解】 令，可得，设， 因为， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即， 又因为，，， 所以当时，无零点； 当或时，仅有一个零点； 当时，有两个零点； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：（i）利用，再结合赋值相减可得递推关系，然后放缩，可得简化的递推关系，再结合函数的单调即可得证； （ii）关键是两个放缩思想，，,这两个式子都需要借助常用函数不等式来进行证明，最后利用求和思想即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高三仿真考（一） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学举行数学史知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：70，85，89，75，96，89，则这组数据的（ ） A. 极差为26 B. 中位数大于平均数 C. 方差为472 D. 下四分位数为75 10. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是 C. 的值域为 D. 当时，函数有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 13. 设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则__________ 14. 一袋中装有3个红球，5个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作. （1）第二次取出的球是黑球的概率为__________； （2）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 16. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线EF与BC所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 17. 已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 18. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 19. 已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $