精品解析：云南省玉溪第一中学（南校区）2026届高三下学期仿真模拟考考试（二）数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名和考生号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号．回答非选择题时将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合中元素，再由补集定义得结论． 【详解】由已知，所以， 故选：D． 2. 以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 3. 已知是不共线向量，，且A，B，D三点共线，则实数等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理得：，，三点共线，存在唯一的实数使得，为实数），由此能求出实数． 【详解】 ，，三点共线， ，为实数）， ，，， ， ， 解得， ． 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算、共线向量基本定理，考查运算求解能力，属于基础题． 4. 已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设 是椭圆上异于A，B的点，，，把 代入椭圆方程 ， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 5. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球体内切于圆台的两个底面与侧面可知上下底面半径之和为圆台母线长，利用圆台侧面积公式、球体的表面积公式分别求出圆台的侧面积和球体表面积，再作比值即可. 【详解】由已知得球与圆台都是旋转体，则取过轴的任意一个截面来分析均可. 如图，于，则，， 由切线长相等可知，，， 所以， 故圆台侧面积， 再算球的半径，在中由勾股定理求解即可. 设球的半径为，则， 在中，，即， 所以球的表面积， 故该圆台的侧面积与球的表面积之比为． 6. 设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，不相互独立 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据，，的关系，求出，依据独立事件的定义判断即可． 对于B，利用条件概率公式求解即可． 对于C，根据求出，和比较即可．对于D，求出，，利用条件概率公式计算即可． 【详解】对于A，已知，即 ，所以， 因，所以事件，相互独立，A错误． 对于B，根据条件概率公式得，B错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，，． 根据条件概率公式，D正确． 7. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】是奇函数，所以， 即， 且，又，所以， 因为，即， 即，令，得， 即， 即，则关于直线对称， 可得， 可得 则，故函数是周期为4的函数， ， 所以 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解. 【详解】由条件可得，， 而， 作出两个函数的图象，如图： 是与图象的连续相邻的三个交点， 不妨设在轴下方，在轴上方，为的中点，连接， 由对称性可得是以 为顶角的等腰三角形， ． 由，得， 整理得， 又，所以， 则，所以． 要使为锐角三角形，只需即可， 即，所以． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为， 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，若，即，，则，A正确； 对于B，若，即的虚部为0，则 ，B正确； 对于C，若，则，C错误； 对于D，若，设，即， 则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D错误． 10. （多选）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种．已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有 的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第天选择米饭套餐的概率为，则以下论述正确的是（ ） A. 小明同学第二天一定选择面食套餐 B. C. ， D. 前天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为 【答案】BCD 【解析】 【分析】第二天选择面食套餐的可能性为,说明A不正确；根据全概率公式，对第天选择的套餐情况进行分类讨论，可得B正确；根据全概率公式，对第天选择的套餐情况进行分类讨论，可得C正确；设第天小明同学午餐花费为，则，再构造等比数列可求得，可得，再利用等比数列的求和公式可知D正确. 【详解】在A中，第1天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有 的可能选择面食套餐，故A错误； 在B中，依题意 ，，则，故B正确； 在C中，当第天选择米饭套餐时，第天选择米饭套餐的概率为； 当第天选择面食套餐时，第天选择米饭套餐的概率为， 故，故C正确； 在D中，设第天小明同学午餐花费为， 则， 因为， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以前天小明同学午餐花费的总费用数学期望为，故D正确． 11. 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为，则下列选项中正确的是（ ） A. 坐标平面 的方程为： B. 平面 截曲面所得交线是双曲线 C. 平面截曲面所得交线是椭圆 D. 若直线过曲面上一点，且以为方向量，则直线在曲面上 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图像，根据曲线与方程之间的关系来判断，坐标平面 中，，可判断A；根据结合双曲线的标准方程即可判断B；令，得，即可判断C；设是直线过上任意一点，证明出满足方程，即可判断直线在曲面上． 【详解】A．由图可知，坐标平面 中，，故坐标平面 的方程为：，正确，符合题意； B．平面 截曲面得方程中，，故得， 结合双曲线的标准方程可知，平面 截曲面所得交线是双曲线，正确，符合题意； C．平面截曲面所得交线是的方程，故为，交线是圆，选项错误，不符合题意； D．设是直线过上任意一点，故，即， ，，于是到曲面上， 故， 因此在曲面上，故直线在曲面上，选项正确，符合题意； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】将所给式子平方，找到 与的关系. 【详解】平方得 ∴. 【点睛】与的关系：； 13. 的展开式中，的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将乘积展开为，再分别利用二项展开式计算和中含的项，即求得的展开式含的项，即得结果. 【详解】， 其中的展开式通项为，，故 时，得含的项为； 的展开式通项为，，故时，得含的项为. 因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为 . 故答案为： 14. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列和正项等比数列满足，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【小问1详解】 设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得 ，， 故，； 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； （2）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 【答案】（1）17.5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的中位数公式求解即可； （2）先根据频率估计概率得甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，再求对应的取值的概率，列出分布列，求期望即可 【小问1详解】 依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为 【小问2详解】 根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 所以的数学期望 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在轴上方. 【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间为 ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由，求得，结合导数的正负，即可求得函数的单调区间； （2）由函数，得到，根据零点的存在定理，得到在上存在一个，使得，进而利用函数的单调性和极值，证得，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，函数，则 令 ，解得， 当时， ，所以函数 单调递增， 当时， ，所以函数 单调递减， 所以函数 在区间单调递增，在区间 单调递减. （2）由题意，函数，则， 可得函数的递增， 因为， 所以在上存在一个，使得 即， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以， 所以的图象在轴的上方. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 18. 在平面直角坐标系中，位于轴右侧的动点到点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知不重合的两点，均在上， ①若线段的中点在直线上，且，求直线的方程； ②若直线与轴正半轴相交，且与圆相切，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）设 ，根据抛物线的定义即可求解； （2）①由题意设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出韦达定理，根据中点及，代入计算可得；②先设直线再联立应用与圆相切得出，再表示出的面积，再利用导数求出面积的最小值. 【小问1详解】 设， 因为位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大1， 所以动点到的距离与它到直线的距离相等． 由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式， 而，所以 ，， 所以点的轨迹的方程为：． 【小问2详解】 ①若直线的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线 上， 所以，联立， 解得坐标分别为，所以，不合题意； 若直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设， 联立，化为， ，解得． 所以，， 因为若线段AB的中点在直线上，且 ， 可得， 所以或， 所以直线的方程为：或； ②设直线：，， 联立 ， ， ，， 因为直线AB与圆D相切，即，所以， 直线与x轴的交点为， 则的面积 ， 设，，故， 即在上单调递增， 所以在处取得最小值，即， 故面积的最小值为. 19. 已知三棱柱中， ，， ， ， ，且D、E、F分别为、、的中点． （1）求证： 平面； （2）求的取值范围； （3）已知，若点I是四边形所在平面上的一个动点，且 ．求取最小值时三棱锥 的体积． 【答案】（1）证明如下： 连接， 因为为平行四边形，且点为的中点，可知点为的中点， 又因为点为的中点，则 ， 且 平面， 平面，所以 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得 ，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）设，以为基底向量，结合向量的数量积运算可得 ，结合函数单调性分析求解； （3）分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质可得取最小值时，再利用转化顶点法求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， ，设，则 ， ， 则， ， ， 又因为，，， 则 ， ， 则 ， 令 ，，则 ， 可知在内单调递增，且， ， 则 ，可得， 则， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 因为，即， 且，则， 在平面内，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设， 因为 ，则，整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则， 因为， 则 ， 即，则， 由（2）可知 在内单调递增，则的最小值点为， 当时，取到最小值，此时， ，， ， 设点在底面的投影为，， 则， 可得， 即，解得，则， 可得 ， 即 ，所以三棱锥 的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名和考生号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号．回答非选择题时将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（ ） A. B. C. D. 3. 已知是不共线向量，，且A，B，D三点共线，则实数等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，不相互独立 B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为， 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 10. （多选）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种．已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有 的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第天选择米饭套餐的概率为，则以下论述正确的是（ ） A. 小明同学第二天一定选择面食套餐 B. C. ， D. 前天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为 11. 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为，则下列选项中正确的是（ ） A. 坐标平面 的方程为： B. 平面 截曲面所得交线是双曲线 C. 平面截曲面所得交线是椭圆 D. 若直线过曲面上一点，且以为方向量，则直线在曲面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 _____. 13. 的展开式中，的系数为___________. 14. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列和正项等比数列满足，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； （2）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在轴上方. 18. 在平面直角坐标系中，位于轴右侧的动点到点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知不重合的两点，均在上， ①若线段的中点在直线上，且，求直线的方程； ②若直线与轴正半轴相交，且与圆相切，求面积的最小值． 19. 已知三棱柱中， ，， ， ， ，且D、E、F分别为、、的中点． （1）求证： 平面； （2）求的取值范围； （3）已知，若点I是四边形所在平面上的一个动点，且 ．求取最小值时三棱锥 的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $