第10章 二元一次方程组单元试卷（基础巩固试卷）2025-2026学年人教版数学七年级下学期

**基本信息** 人教版初中数学第10章二元一次方程组基础卷，以现实情境与分层设计为特色，覆盖方程组定义、解法及应用，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程组定义（题1）、解的意义（题2）|结合新运算（题9）考查抽象能力| |填空题|6/18|参数方程组（题12）、实际问题建模（题15）|创新设计“偶合数”（题16）渗透推理意识| |解答题|8/72|乡村振兴补贴（题23）、数字天平游戏（题24）|突出整体思想（题21）与跨情境应用|

第10章 二元一次方程组单元测试卷·基础卷 【新教材人教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 2．已知是方程的解，则a的值是（　　） A．4 B． C．2 D． 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A．①② B．①② C．①② D．①② 4．已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 5．已知关于u，v的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 6．如图，约定：上方从左至右相邻两数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若的值为5，则的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则的值为10． A．Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ，Ⅱ均对 7．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 9．对于有理数x，y定义一种新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知二元一次方程，若用关于的代数式表示，则______． 12．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 13．若是关于，的二元一次方程的解，则代数式的值是______． 14．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是______． 15．小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；时看到里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的6倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组____________ 16．若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位数为“偶合数”．按照这个规定，最小的“偶合数”是__________    ，对于“偶合数”，记，，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的M的最小数为__________． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）解下列方程组： (1)； (2)． 18．（本题6分）已知二元一次方程组的解满足，求的值． 19．（本题8分）对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 20．（本题8分）李师傅在某花卉批发市场购买A，B两种花卉若干次（每次A，B都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，A，B两种花卉同时打折，三次购买A，B两种花卉的数量和费用如表所示： 购买A花卉的数量/棵 购买B花卉的数量/棵 购买两种花卉总费用/元 第一次 6 5 1000 第二次 3 8 940 第三次 7 6 944 (1)求A，B两种花卉的标价各多少元？ (2)若李师傅第三次购买时，A，B两种花卉的折扣相同，则市场是打几折出售两种花卉？ (3)若李师傅第四次购买时，是按第三次购买时的折扣价格购买的A，B两种花卉共花去1040元，则李师傅购买花卉的方案可能有哪几种？ 21．（本题10分）【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 22．（本题10分）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)无论a取什么数，的值始终不变，直接写出这个值． 23．（本题12分） 为助力乡村振兴，金华市永康市农业农村局出台特色种植补贴政策： 素材一 A类蔬菜每亩补贴100元，B类中药材每亩补贴200元，C类果树每亩补贴300元． 素材二 一户5人家庭可申领总限额：亩，亩，亩． (1)任务一：若该家庭使用A类补贴3亩、B类补贴4亩、C类补贴5亩，则总补贴___________元． (2)任务二：若该家庭使用A类、B类、C类补贴共12亩，其中A类用了4亩，且总补贴恰好为2400元．求B类、C类补贴各使用多少亩． (3)任务三：若该家庭只申请A类和C类两类补贴，总补贴仍为2400元，且亩数均为正整数、不超限额．请求出所有符合条件的种植方案． 24．（本题12分）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组单元测试卷·基础卷 【新教材人教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：只有未知数x，所以A不是二元一次方程组 ； B：，不是二元一次方程，所以B不是二元一次方程组； C：两个方程中，含有三个未知数，所以C不是二元一次方程组； D：两个方程中含有，，该方程组含有两个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，所以D是二元一次方程组． 2．已知是方程的解，则a的值是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A．①② B．①② C．①② D．①② 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，只需计算每个选项操作后的结果，判断是否消去一个未知数，即可得到正确答案． 【详解】解：A．，可得，整理得，未消去未知数，该选项错误； B．，可得，整理得，未消去未知数，该选项错误； C．，可得，整理得，已消去未知数，符合消元要求，该选项正确； D．，可得，整理得，未消去未知数，该选项错误． 4．已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入消元法，用含a的代数式分别表示b和c，再代入各选项验证，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴将代入，得 整理得，即，故B错误， A、，故A正确 C、，故C错误； D、， ∵的取值不确定， ∴不一定大于0， 无法得出，故D错误． 5．已知关于u，v的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，进而得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于u，v的二元一次方程组的解为， ∴， 解得． 6．如图，约定：上方从左至右相邻两数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若的值为5，则的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则的值为10． A．Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ，Ⅱ均对 【答案】B 【分析】根据题意可知，，，，对于结论Ⅰ，求出的值，再根据和的两个关系式求解即可；对于结论Ⅱ，利用，将等式作差即可得到结果；对于结论Ⅲ，利用Ⅱ中的关系式，容易计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 对于结论Ⅰ：当时，， ∴， 解得，故Ⅰ错误； 对于结论Ⅱ：∵， ∴， 整理，得为定值，故Ⅱ正确； 对于结论Ⅲ：由Ⅱ可知，， ∴， 解得， 当时，，即； 当时，，即； ∴Ⅲ错误． 7．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组，二元一次方程组的解满足，可得，该方程组的解即为二元一次方程组的解． 【详解】因为二元一次方程组的解满足， 所以该方程组的解同时满足和，可得 解方程组，得 所以二元一次方程组的解为． 将代入，得 ． 解得 ． 8．已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，二元一次方程组的错解问题，根据题意可甲的解满足（2），乙的解满足（1），据此可求出a、b的值，再求出的值后即可根据平方根的定义得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴的平方根为1和， 故选：A． 9．对于有理数x，y定义一种新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴． 10．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查立方根的性质，二元一次方程组的解，参数求解与换元法解方程组，逐一判断每个说法即可得到结果. 【详解】解：逐一判断各说法： ① ∴， 整理得， 联立， 解得，即. 故①错误； ② 解方程组， 两式相加得， ∴， 代入得：， ∵是整数，均为整数， ∴是和的公约数，即， 解得， 所有满足条件的的值的和为， 故②正确； ③ 令， 由已知原方程组的解为， 可得， 解得，与题目给出的解不符， 故③错误； ④ 解方程组， 解得， 若互为相反数，则，即，等式不成立. 故无论取何值，和都不可能互为相反数， 故④正确； 综上，正确的说法有个， 故选：B. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知二元一次方程，若用关于的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】将看作已知数，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：， 方程移项，得， 系数化为，得． 12．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 【答案】81 【分析】先根据两个方程组的解相同重新组成方程组，并求出解，再将解代入求出a，b的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵方程组与方程组同解， ∴， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． ∵两个方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 13．若是关于，的二元一次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】6 【分析】将代入得到，然后将化简后整体代入求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解 ∴ ∴ ． 14．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程 ∴， ∴， ∴． 15．小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；时看到里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的6倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组____________ 【答案】 【分析】设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则得到，再根据速度不变得到，即可得到方程组． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，． 16．若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位数为“偶合数”．按照这个规定，最小的“偶合数”是__________    ，对于“偶合数”，记，，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的M的最小数为__________． 【答案】 1432 8521 【分析】根据新定义，得到最小的偶合数为千位数字为1，根据百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的和为偶数，得到个位数字为2，百位数字为4，进而确定十位数字为3，即可得出结果；根据为完全平方数，推出的值可能为、、， 分3种情况进行讨论，结合，能被9整除，进行求解即可. 【详解】解：要使“偶合数”最小，则， 由于，且为偶数，各个数位数字互不相等且均不为零， 故要使尽可能小， 则，， ， 故最小的“偶合数”是； ∵， ∴，， ∵为完全平方数， 故， ∵为偶数，且、不相等，故为个位数字为偶数的两位数， ∴的值可能为、、， 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵能被9整除，故，是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 此时，不满足题意要求； 若，则，，， 是9的倍数； 此时为； 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，， ∴，， ∵， 故，， ∴， ∵是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则或， 若，则，（舍去）或，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，或（舍去），， 是9的倍数； 此时为； 故满足条件的M的最小数为. 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入法计算即可； （2）运用加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为． 18．（本题6分）已知二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解满足， ∴ 解得． 19．（本题8分）对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)的值为，的值为； (2)的值为． 【分析】（）根据题意联立二元一次方程组，解出，的值即可； （）把代入运算中得，再根据新运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得：， ∴的值为，的值为； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴的值为． 20．（本题8分）李师傅在某花卉批发市场购买A，B两种花卉若干次（每次A，B都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，A，B两种花卉同时打折，三次购买A，B两种花卉的数量和费用如表所示： 购买A花卉的数量/棵 购买B花卉的数量/棵 购买两种花卉总费用/元 第一次 6 5 1000 第二次 3 8 940 第三次 7 6 944 (1)求A，B两种花卉的标价各多少元？ (2)若李师傅第三次购买时，A，B两种花卉的折扣相同，则市场是打几折出售两种花卉？ (3)若李师傅第四次购买时，是按第三次购买时的折扣价格购买的A，B两种花卉共花去1040元，则李师傅购买花卉的方案可能有哪几种？ 【答案】(1)A，B两种花卉的标价分别为100元，80元 (2)市场是打八折出售的两种花卉 (3)共有三种购买方案：方案一：购买A种花卉9棵，B种花卉5棵；方案二：购买A种花卉5棵，B种花卉10棵；方案三：购买A种花卉1棵，B种花卉15棵 【分析】（1）设A，B两种花卉的标价分别为x元，y元，根据前两次的购买情况列出方程组求解； （2）用第三次购买两种花卉打折后的总费用除以打折前的总费用即可求解； （3）设第四次购买时，A，B两种花卉分别购买m，n棵，根据“共花去1040元”列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种花卉的标价分别为x元，y元， 根据题意，得 解得 所以A，B两种花卉的标价分别为100元，80元； （2）解： 所以市场是打八折出售的两种花卉； （3）解：设第四次购买时，A，B两种花卉分别购买m，n棵， 根据题意，得， 整理得． 因为m，n都是正整数， 所以共有三种购买方案：方案一：购买A种花卉9棵，B种花卉5棵；方案二：购买A种花卉5棵，B种花卉10棵；方案三：购买A种花卉1棵，B种花卉15棵． 21．（本题10分）【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 【答案】(1)①；② (2)详见解析 (3)27 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，整体代入是解题的关键． （1）①根据整体代入法即可求解； ②根据已知条件，将代入代数式，可得，再将代入代数式，可得，再根据即可求解； （2）根据加减消元法，即可求解； （3）通过对已知的两个方程进行适当的乘法运算后相减，构造出与相关的式子，进而求解． 【详解】（1）解：①将整体代入，可得，解得， 将代入，可得， ∴方程组的解为； ②将代入代数式，可得， ∴， 将代入代数式，可得， ∵， ∴； （2）解：， 可，得， ∴无论取何值，的值均不变． （3）解：设：⑨，⑩， 给，得， 给，得， ， ， ， ． 22．（本题10分）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)无论a取什么数，的值始终不变，直接写出这个值． 【答案】(1)原方程组的解为 (2) (3)这个值为3 【分析】（1）把代入方程组，运用加减消元法解答即可； （2）解方程组，用含的代数式分别表示方程组的解，再根据方程组的解x，y的值互为相反数列方程求出的值即可； （3）把方程组的解代入可得结论． 【详解】（1）解：当，方程组变形为 ， 得，， 解得：， 把代入①中得：， 所以，原方程组的解为； （2）解：解原方程组得， 因为x，y的值互为相反数， 所以， 即， 解得：； （3）解：∵， ∴， 无论a取什么数，的值始终不变. 这个值为3． 23．（本题12分） 为助力乡村振兴，金华市永康市农业农村局出台特色种植补贴政策： 素材一 A类蔬菜每亩补贴100元，B类中药材每亩补贴200元，C类果树每亩补贴300元． 素材二 一户5人家庭可申领总限额：亩，亩，亩． (1)任务一：若该家庭使用A类补贴3亩、B类补贴4亩、C类补贴5亩，则总补贴___________元． (2)任务二：若该家庭使用A类、B类、C类补贴共12亩，其中A类用了4亩，且总补贴恰好为2400元．求B类、C类补贴各使用多少亩． (3)任务三：若该家庭只申请A类和C类两类补贴，总补贴仍为2400元，且亩数均为正整数、不超限额．请求出所有符合条件的种植方案． 【答案】(1) (2) B类补贴使用亩，C类补贴使用亩 (3) 符合条件的种植方案为：种植A类蔬菜亩，种植C类果树亩 【分析】（1）根据总补贴等于A类补贴加上B类补贴，再加上C类补贴之和； （2）设B类补贴使用x亩，C类补贴使用y亩，根据题意列出二元一次方程组，求出解； （3）设A类补贴使用m亩，C类补贴使用n亩，根据题意列出二元一次方程，再根据范围讨论取值即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以总补贴为2600元； （2）解：设B类补贴使用x亩，C类补贴使用y亩，根据题意，得 ， 解得， 答：B类使用补贴4亩，C类补贴使用4亩； （3）解：设A类补贴使用m亩，C类补贴使用n亩，根据题意，得 ， 整理，得． ∵m，n均为正整数，且，， ∴当时，（不合题意，舍去）； 当时，（不合题意，舍去）； 当时，； 答：符合条件的种植方案为：种植A类蔬菜9亩，种植C类果树5亩． 24．（本题12分）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【分析】本题考查有理数的加减运算，解三元一次方程组，代数式求值，理解题意正确的列式是关键． （1）根据题中定义和题干解答即可． （2）记，，，则．由外三角形三边和为，可得，，，三式相加得，即．同理，内三角形 三边和为，可得，，，三式相加得，即，三式联立求出，即可解答． （3）若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3，根据（2）中结论求出，，求出，，，据此填图即可． 【详解】（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $