精品解析：福建省福州市罗源第一中学2026年九年级4月数学适应性练习

福建省福州市罗源第一中学2026年九年级4月数学适应性练习 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人工智能是推动全球数字化发展的重要赋能技术．根据中国信通院发布的最新数据测算，预计年我国人工智能市场规模达到亿元．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 6. 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量约为（ ） A. 800条 B. 1200条 C. 1500条 D. 3000条 7. “曹冲称象”是流传很广的故事，参考他的方法： 第一步先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出； 第二步往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置； 第三步往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置． 已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，根据以上方法可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在上，连接，，过点作的延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 保持不变 D. 一直减小 9. 关于x的一元二次方程ax2+a=0根的情况是( ) A. 有两个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无实数根 10. 已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0<m<b<n，则y1、y2、y3的大小关系是( ) A. y1< y2< y3 B. y1 < y3< y2 C. y3< y1< y2 D. y2< y3< y1 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集为__________． 12. 投掷一枚六个面分别标有、、、、、的质地均匀的正方体骰子，则向上一面是奇数的概率是_________． 13. 如图，在中，，，为斜边的中点，则的度数为______________． 14. 在平面直角坐标系中，若直线与双曲线相交，则实数的值可以是__________．（只需写出一个符合条件的实数） 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，M、N分别为AD、BC的中点，则图中阴影部分的面积为_______． 16. 如图，直角三角形是的内接三角形，在的右侧作矩形，连接．若，，则的最大值为_____． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，分别以B、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线分别交于点O，交、于点E、F．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 为响应全面开展素质教育的号召，班主任林老师在班里随机抽取了四个小组的学生对其生活习惯和学习习惯进行了调研，将调研结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差；将调研结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据下列图形解答问题： （1）林老师调查的同学的人数是　　　　　； （2）D所对应扇形圆心角的大小为　　　　　； （3）养成习惯从日常生活做起，林老师从A类和D类学生中各随机选取一位同学组成互助小组，请用列表或画树形图的方法求出所选两位同学恰好都是女生的概率． 21. 如图，为等边三角形，点D在边上． （1）在内部求作点E，使得是以为底边的等腰直角三角形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接延长交于点F，若，求证：． 22. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： （1）已知实数、满足、，求的值． （2）已知实数、、满足、，且，求的最大值． 23. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点作于点，连接、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度． 24. 综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图1、图2是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为0.45米，点O为中点，，点到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 （1）①在图1中，点O与点N的距离是_______米； ②如图1所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），求小丽身体没被雨水淋湿的部分的长度．（参考数据：） 【问题探究】 （2）如图2所示，，设小丽在保持的前提下将手臂水平前伸了x米（即线段的长度），身体正面没被雨水淋湿部分的长度为y米，求y与x的函数表达式，并直接写出头部（含背面M）不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图3所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出的最小值为__________米． 25. 如图，在中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内，射线交射线于点G，交射线于点P，射线交边于点Q． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，点P在延长线上，若，，求的长； （3）如图3，当时，点P在边上，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州市罗源第一中学2026年九年级4月数学适应性练习 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，以及无理数的大小比较方法即可判断． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故最大的数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键． 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的定义即可直接选出答案． 【详解】解：圆柱的主视图是长方形，故A选项不合题意． 圆锥的主视图是三角形，故B选项合题意； 三棱柱的主视图是长方形（长方形部分有一条纵向的实线），故C选项不符合题意， 球的主视图是圆，故D选项不合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，牢记常见的几何体的三视图是解答本题的关键． 3. 人工智能是推动全球数字化发展的重要赋能技术．根据中国信通院发布的最新数据测算，预计年我国人工智能市场规模达到亿元．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像特点即可得． 【详解】解：在一次函数中，，， 则一次函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像特点是解题关键． 5. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 6. 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量约为（ ） A. 800条 B. 1200条 C. 1500条 D. 3000条 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体、分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 利用标记重捕法的比例关系，标记鱼在总体中的比例等于在样本中的比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设鱼塘中鱼的总数量为条， 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴估计鱼塘中鱼的数量约为1200条． 故选：B． 7. “曹冲称象”是流传很广的故事，参考他的方法： 第一步先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出； 第二步往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置； 第三步往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置． 已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，根据以上方法可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每块条形石的重量是斤，利用题意找出等量关系：块等重的条形石的重量个搬运工的体重块等重的条形石的重量个搬运工的体重，列出方程即可． 【详解】解：设每块条形石的重量是斤， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，利用题意正确找出等量关系是解题的关键． 8. 如图，在中，，点在上，连接，，过点作的延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 保持不变 D. 一直减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理．根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理，三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取一点，连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 因此的大小不变， 故选：C． 9. 关于x的一元二次方程ax2+a=0根的情况是( ) A. 有两个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据一元二次方程的定义得出，再利用根的判别式计算即可得出答案． 【详解】∵是一元二次方程， ∴． ， ∴方程无实数根． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 10. 已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0<m<b<n，则y1、y2、y3的大小关系是( ) A. y1< y2< y3 B. y1 < y3< y2 C. y3< y1< y2 D. y2< y3< y1 【答案】B 【解析】 【分析】先确定二次函数图象的对称轴，然后运用二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵y=x2－2ax +1 ∴对称轴为x=a 点A、B的情况：n>m，故点B比点A离对称轴远，故y2>y1； 点A、C的情况：m<b，故点C比点离对称轴远，故y3>y1； 点B，C的情况：b<n，故点B比点C离对称轴远，故y2 >y3； ∴故y1<y3<y2. 故答案为B. 【点睛】本题的关键是二次函数的对称性和增减性,根据二次函数解析式确定函数图像的对称轴是解答本题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 12. 投掷一枚六个面分别标有、、、、、的质地均匀的正方体骰子，则向上一面是奇数的概率是_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵投掷一枚六个面分别标有、、、、、的质地均匀的正方体骰子，奇数有3个， ∴则向上一面是奇数的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 13. 如图，在中，，，为斜边的中点，则的度数为______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵在中，，为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，若直线与双曲线相交，则实数的值可以是__________．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知其图象在一、三象限，即可求解． 【详解】解： ∵，经过一、三象限，直线与双曲线相交， ∴双曲线，在一、三象限， 即， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，M、N分别为AD、BC的中点，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆与正方形具有对称性的特点可得S2=S3，S1=S3，即S阴=S矩形MNCD-S半圆DC则可得答案． 【详解】解：如图： ∵M、N分别为AD、BC的中点， ∴根据圆与正方形具有对称性的特点可得S2=S3，S1=S3， ∴阴影部分的面积为=S1+S2=S1+S3 ∴S阴=S矩形MNCD-S半圆DC =2×1- =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形和圆的特点，根据题意得出S阴=S矩形MNCD-S半圆DC是解题关键． 16. 如图，直角三角形是的内接三角形，在的右侧作矩形，连接．若，，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，并在垂线上截取点，使得，连接、、，结合矩形的性质可得到，，可证明，且相似比为，根据题意可得，，，且为等腰直角三角形，得到，则的运动轨迹是为圆心，2为半径的圆，当、、三点共线时最大，即可求解． 【详解】解：过点作，并在垂线上截取点，使得，连接、、， ，， 四边形是矩形，， ，， ，， ，且相似比为， ∵， ∴，，，且为等腰直角三角形， ， 点的运动轨迹是为圆心，2为半径的圆． 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最大，最大为． 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆的相关性质，矩形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数值和计算负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，分别以B、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线分别交于点O，交、于点E、F．求证：． 【答案】 证明：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ． 【解析】 【分析】根据作图可知：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，最后根据线段的和差即可得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再代入即可得解。 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 20. 为响应全面开展素质教育的号召，班主任林老师在班里随机抽取了四个小组的学生对其生活习惯和学习习惯进行了调研，将调研结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差；将调研结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据下列图形解答问题： （1）林老师调查的同学的人数是　　　　　； （2）D所对应扇形圆心角的大小为　　　　　； （3）养成习惯从日常生活做起，林老师从A类和D类学生中各随机选取一位同学组成互助小组，请用列表或画树形图的方法求出所选两位同学恰好都是女生的概率． 【答案】（1）20 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用B类学生总数除以所占的比例求出调查的总人数； （2）用乘以D类学生所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 由图可知，A类和D类共有2名男生，3名女生，列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3 女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2 共20种等可能的结果，其中两名女生的情况有6种， ∴． 21. 如图，为等边三角形，点D在边上． （1）在内部求作点E，使得是以为底边的等腰直角三角形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接延长交于点F，若，求证：． 【答案】（1） 即为所求： （2） 证明：如图， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线，再以的中点为圆心，以长为半径作圆，则圆与的垂直平分线相交，在内部的交点E即为所求； （2）由是以为底边的等腰直角三角形得到，由为等边三角形得到，则，进一步求得，则，由得到，则，由等腰三角形的性质即可得到，则，即可得到结论． 【小问1详解】 ∵点E在线段的垂直平分线上， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形，满足要求； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的作图、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，正确作图是解题的关键． 22. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： （1）已知实数、满足、，求的值． （2）已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】（1）或 （2）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，若是一元二次方程的两根时，则． （1）当时， 、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，代入计算解题； （2）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，求出c的取值范围即可解题． 【小问1详解】 解：当时， ∵实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴原式， 当， 则原式； 综上所述，原式的值为或； 【小问2详解】 解：， ∴将、看作是方程 的两实数根， ，而 ， ， ， 即， ∴的最大值为． 23. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点作于点，连接、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度． 【答案】（1） 证明：连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）， 【解析】 【分析】（1）连接， 可得，，由直径性质，得，可得，即得直线是的切线； （2）证明，得，得，可得，证明，得，，由，得； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或. 24. 综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图1、图2是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为0.45米，点O为中点，，点到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 （1）①在图1中，点O与点N的距离是_______米； ②如图1所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），求小丽身体没被雨水淋湿的部分的长度．（参考数据：） 【问题探究】 （2）如图2所示，，设小丽在保持的前提下将手臂水平前伸了x米（即线段的长度），身体正面没被雨水淋湿部分的长度为y米，求y与x的函数表达式，并直接写出头部（含背面M）不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图3所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出的最小值为__________米． 【答案】（1）①；②米 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，求出，由矩形的性质得出，再根据求解即可； ②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再解直角三角形即可求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【小问1详解】 解：①由题意知，米，米， 米， ∵是矩形， ∴米， ∴米． ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， 由（1）①可得米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， ∴， 解得，又， ∴； ； 【小问3详解】 解：设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图，延长交于点，过作交于，延长交于，过作交于， 则，，， ， ∴在中，，， 在中，， ∴， 在中，， 又， ∴此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 25. 如图，在中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内，射线交射线于点G，交射线于点P，射线交边于点Q． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，点P在延长线上，若，，求的长； （3）如图3，当时，点P在边上，若，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再证明，结合，即可得证； （2）先证明，得出，，再证明，得出，，证明，由相似三角形的性质求出，即可得出结果； （3）延长，交于点，设，则，则，由平行四边形的性质可得，，，，证明，求出，，再证明，，求出，，最后再证明，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点， ∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $