重庆市巴蜀中学校2025-2026学年度高二下学期数学周练七试题

重庆巴蜀中学高2027级高二下数学周考7 一、单选题 1.对于亭件A,B,P)-,PB-石P4u-1,则P(B)-（) 1 C. D 2.己知等比数列{a}满足aa5=2a,且a4, 4,2a,成等差数列，则4a…a.的最大值 为() A.1022 B.1023 C.1024 D.1025 3.已知点M(1,-2),点P在抛物线y2=12x上运动，点9在圆(x-3)2+y2=1上运动，则 |PM+PO的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 4.现有数字1,2,2,3,3,3，若将这六个数字排成一排，则数字2,2恰好相邻的概率 为() B. C. 9 D 5.已知直线y=c+b既是曲线y=nx的切线，也是曲线y=-n(-x)的切线，则() A.k=1,b=0 B.k=1,b=0 e C.k=b=-1 D.k=1,b=-1 e 6.某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布X~N(4,。) (其中儿和σ分别为样本的均值和标准差)，若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有 228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是()名. 附：若随机变量X服从正态分布N(4,o2),则P(u-o<X≤u+σ)≈0.6827， P(u-2o<X≤+2o)≈0.9545，P(u-3o<X≤u+3o)≈0.9937. A.456 B.1587 C.3174 D.8413 7.已知数列{a}的前n项和为Sn，若an+at1=8,且S1=83，则42=() A.2 B.3 C.5 D.7 3.在平面直角坐标系xO中，双曲线C。Q>Q,b>0的石焦点为P,点M,N在 试卷第1页，共4页 C的右支上，且M正=3N,点N关于原点O的对称点为P.若PF上N,则C的离心率为 () A.6 B.6 C. 3 D. √10 2 2 2 二、多选题 9.若(1-2x)°=a+a1x+a2x2+a3+a4x4+ax3+ax6,则下列结论中正确的是() A.4+42+43+a4+4+4=1 B.4+24+343+4a4+54+646=12 C.当x=-4时，(1-2x)°除以8的余数是1 D,展开式中二项式系数最大项为第3项 10.己知a∈R,函数f(x)=m-x+1有两个极值点x,2,则() A.a可能是负数 B.x+x3=0 C.曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x+1 D.f(x)+f(x2)为定值 11.某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字1~6的骰子，规定：若掷得数 字小于或等于4，则前进1步：若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同 学一共前进n步的概率为p,n,则() 4 20 A.p3= 9 B.p3= 27 C.Pn=3pn2-2p(nEN") D.Pin>P2m>p2m-(n,mEN) 三、填空题 12.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮 件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记 为垃圾郎件的概率为？，被标记为垃圾郎件的有。的概率是正常廊作，被标记为正常邮件 的有，。的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件 的概率为 13.Q-2x)0+3x)的展开式中x3的系数为 试卷第2页，共4页 14.把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里，其中编号为1-5号的盒子，每个盒子 至多放1个球，编号为6-7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有」 种 四、解答题 15.某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参 加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100 名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为 75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率卫 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的 人数，估计X=1的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答 案：如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85% 设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为乃，P,判断P与P2的大小 (结论不要求证明) 6已知椭圆P:千+1(a>b>0)的左顶点为M,上项点为V,直线W的斜率为 3 2 坐标原点0到直线MW的距离为2V21 7 (1)求椭圆P的方程： (2)已知正方形ABCD的顶点A、C在椭圆P上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求 该正方形ABCD的面积. 17.已知4=2，点(am,at1)在函数f(x)=x2+2x的图像上，其中n=1,2,3,…. (1)证明数列g(1+an}是等比数列： (2)设Tn=(1+a)1+a2)…(1+am),求及数列{an}的通项； (3)记6，=1+1 G6+2’求数列地，数列的前n项和S,并证明S+3红-1一 18.某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 200,每局比赛，棋手胜加100分：平局不得分；棋手负减100分.当棋手总分为0时，挑战 试卷第3页，共4页 失败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比 赛棋手胜、平、负的概率分别为}、、子，且各局比赛相互独立。 (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记(n≥10)局后比赛终止且棋手获奖1万 元的概率为P(n),求P(m)的最大值. 19.已知函数f()（+a]h+)。 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程. (2)若函数f(x)在(0，+o)单调递增，求a的取值范围. 试卷第4页，共4页《重庆巴蜀中学高2027级高二下数学周考7》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 A C D BC BCD BCD 1.c 【详解】由条件概率公式，可得P(A)=P1)_} P(4)6 故P(AB)=1P(A)= 13-1 6 6510 又因4剧=0+N-P4=1,则P(®1号0} 2.C 【分析】利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组，求出首项和公比，从而得到 a=16x(分=2”，进而aam1=225i-2,由此能求出结果. 【详解】：等比数列@m满足a-2,且a,各，2如成等差数列， 494q=2aq 5, 44+2a4q=2 解得4=16，g=2 .4=16×(=2， .aaa5a1=221+5=2号0， -n2+9n ∴.当n=4或n=5时， a1a2a…m取最大值，且最大值为210=1024. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考 查函数与方程思想、化归与转化思想，是中等题， 3.B 【分析】先判断M(1,-2)在抛物线y2=12x里面，然后PQ的最小值为PC2-1,过点P作抛 物线准线x=-3的垂线垂足为R,PM+PO的最小值等于求PM+P-1的最小值， 【详解】把x=1代入y2-12x,得y2=12>(-2)2, 所以点M(1,-2)在抛物线y2=12x里面， 答案第1页，共15页 圆(x-3)2+y2=1的圆心记为C2（3,0), 因为Pg的最小值为PC,-1,而C,正好是抛物线y2=12x的焦点， 过点P作抛物线准线x=-3的垂线垂足为乃， 则根据抛物线的定义得PC=P, 所以PM+PO的最小值等于求PM+P-1的最小值， 当M,P,R三点共线时PM+P最小，最小值为， 故PM+P-1的最小值为M-1=1-（-3)-1=3, 故选：B 4.D 【分析】方法一：利用有重复元素的排列数公式分别计算总排列数和符合条件的排列数，求 得概率；方法二：只考虑两个2的位置可能情况和相邻的情况种数，得到概率. 【详解】方法一： 给定的数字是1,2,2,3,3,3，其中有一个1，两个2，三个3，总共有6个数字，因此 总排列数为：26 61-720=60 符合条件的排列数（两个2恰好相邻的情况）： 将两个2视为一个整体（即“超级元素”），这样剩下的元素为1,3,3,3和这个“超级元素”， 共5个元素 其中三个3是重复的，因此符合条件的排列数为： 5!_120=20,所以符合条件的排列数除 3!6 以总排列数： 201 6031 方法二： 答案第2页，共15页 考虑两个2的位置组合，共有C%=15种可能的位置组合，其中相邻的位置对数为5种，概 51 率为：153 因此，数字2,2恰好相邻的概率为3 1 故选：D 5.A 【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线y=hx的切点为(x,lnx1)且x>0, 与曲线y=-n(-x)的切点为(x2,-l血(-x2)且x3<0, 又v=血)-y=-明=- 则直线y=c+b与曲线y=nx的切线方程为y-血丐=(-)，即y=1x+n-1, 直线y=x+b与曲线y=-n-)的切线方程为y+h(←x)=-1(k-),即 y=-1x+1-h(←)， 1=-1 则龙x 解得e 2=e·故k==1,b=n为1=0， nx-1=1-h(-x2) xe' 故选：A. 6.B 【分析】根据条件，得到u=65,利用正态分布的对称性得出=11，即可求解 【详解】由题知u=65,Px>87=,228=0.0228,所以 10000 P(65<X<87)=0,5-0.0228=0.4772P(65-2g<X≤65+2o) y 得到u=11,所以P65<X≤70=0.6827=0.34135，得到学生甲的名次大致是 2 10000×1-(0.5+0.34135)月≈1587. 故选：B. 7.C 【分析】由a,+a#1=8,且S21=83可列出关于4的方程，解得a,进而得4，则数列{an}的 答案第3页，共15页 所有项可知 【详解】依题意，S31=4+4+4+…+41=4+(a+4)+…+(0+41)=4+10×8=83, 解得4=3， 又a+42=8,所以4=8-4=5. 而a,+a1=8,A+1+a+2=8, 两式相减可得，4=42，故42=40=…=4=5. 故选：C 8.D 【分析】设双曲线的左焦点为耳，连接PF、P耳、、M,根据对称性及已知条件可 得四边形PF为矩形，设NF=t(t>O),根据双曲线的定义表示出N,M,在△M 中利用勾股定理得到t=a,再在△NF中利用勾股定理得到a、c的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为耳，连接PF、P耳、四、M瓜，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形PF为平行四边形， 又因为PF⊥N,所以四边形PNF为矩形， 设N=t(t>0),因为M=3FN,则M=3t, 由双曲线的定义可得：N=2a+t,M=2a+3t, 又因为△M四为直角三角形， 所以Mw+W=MP,即(4)2+(2a+t)}=(2a+3t),解得t=a, 所以N=3a,|NF=a, 又因为△NFR为直角三角形，F=2c, 答案第4页，共15页 所以wF+W=F,即2+92=4e2, 所以C10,即e=-o =4 a 2 故选：D. 9.BC 【分析】利用赋值法可判断AC,利用导数可判断B,利用二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A,令x=0,可得a=1,令x=1,可得4+4+4+43+a4+4+=1, 所以4+4+4+4+a+,=0,故A错误： 对于B,（1-2x)=a+ax+a2x2+ax3+a4x4+a5x3+a6x6, 两边求导，可得-12(1-2x)=a1+2a2x+3ax2+4a4x3+5ax4+6a6x3, 令x=1,可得4+22+34+444+54+64=12，故B正确； 对于C,当x=-4时，(1+8)°=1+8C+82C++8C,所以(1-2x)°除以8的余数是1， 故C正确： 对于D,展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误. 故选：BC 10.BCD 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD;根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由f(x)=ax3-x+1,则"(x)=3m2-1, 当a≤0时，f(x)<0,则f(x)在R上单调递减，没有极值，故A错误， 当a0时，令四=0.利=日 则，+x=0,故B正确， 当x∈(-0，x)U(x2,+0)时，f'(x)>0,当x∈(x,x2)时，f'(x)<0, 所以∫(x)在(-o,x)和(x2,+o)上单调递增，在区间(3，x)上单调递减， 所以x是f(x)的极大值点，x是(x)的极小值点， 而3a-1=03a-10,周a-写a- 所以-)G-+1a贱名+1写+1写51 答案第5页，共15页 -+5)+2-2为定值，放D正确： 对于C,由f(x)=ax3-x+1,则f(0)=1,而'(0)=-1， 则曲线y=∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x+1,故C正确. 故选：BCD 11.BCD 【分析】首先说明每投掷一次骰子，前进一步的概率为乃=一=。 =。了，前进两步的概率为 42 9=31 -后有显然A=月=子：对于AB,直接由互斥加法、杂立乘法公式验算即可：对于C, 3 (neN),进 由全概率公式验算即可：对于D,先根据C选项结论得到2，=+-3(( 步即可判断 42 21 63,显 【详解】每投掷一次骰子，前进一步的概率为乃=。号，前进两步的概率为B 然4=R号： 对于A,一共前进了2步，可能是第一次前进了两步，或第一次、第二次各前进一步，所以 =1+2×2_7 B3十有×号g,故A错误： 对于B,一共前进了3步，可能是第一次前进了两步且第二次前进了一步， 或第一次前进了一步且第二次前进了两步，或三次各前进一步， 所以n=2×x2+2x2x220 3*3写**号27故B正确： 对于C,一共前进了n+2步，可能是前进n步后继续前进2步，或前进n+l步后，继续前进 1步， 1 .2 所以P23P,+专P,即B=3p2p(aeN),故C正确： 1 2 对于D,因为Da=D+P,所以PaPH=-(PHA, 所以数列A是以县-县行号写为首项，一弓为公比的等比数列， a) 又注意到Pt2+DH=卫aH+3P, 31 31 答案第6页，共15页 所以数列+甘}是常数列，这个数列中的每一项都是A+A了+行1 1 所以a1-a,所以1-)”，解得=子aeN) a 2-1 T. (umeN)故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键在于利用C选项的结论导出卫的表达式，由此即 可顺利得解 12.9 【分】记A-“正常加件，&标记为正节加件，根据题设有八列=子风4列=。 P(AB)= 10 ,再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功 过滤的概率 【详解记A=正常邮件B-标记为正常邮件，则P国-号，P4网-。，P列-。 101 10 所以P(8=1-P国-Pa=1-PA-8 10 故P团=PaB)P(B)+PaA)P西=3+1821 505050 18 所以PB1=PPAA_0、6 P(A) 21-7 50 故答案为： 6 13.90 【分析】根据二项展开式公式求解Q+3x)中x3与x的项，再求解即可. 【详解】1+3x)的通项T,+=3'C,·x', 令r=3,则T4=33Cx3=270x2: 令r=2,则I3=32C号x2=90x2, 答案第7页，共15页 故(1-2x)1+3x)3的展开式中x的系数为270+(-2)×90=90 故答案为：90 14.98 【分析】解法一：利用分类加法计数原理分类计算可求得结论.解法二：用表示k个分配 指标，现考虑符合题意的一种放法：第1、2两个盒子各放1个球，第3、4.5、6盒子不放球， 第7个盒子放3个球，这个放法可用符号表示为Yrrrrrx.进而可得 Q+x).Q+x+x2+x)2,利用展开式中x的系数可求得结论 【详解】解法一：1-5号盒共放0个球，即5个球放入6-7号盒子，有2种放法： 1-5号盒共放1个球，有C·(A3+1)=15种放法： 1-5号盒共放2个球，有C·(A?+A)=40种放法： 1-5号盒共放3个球，有C·(C+1)=30种放法： 1-5号盒共放4个球，有CC=10种放法： 1-5号盒共放5个球，有1种放法，所以共有2+15+40+30+10+1=98种放法. 解法二：用x表示k个分配指标，现考虑符合题意的一种放法： 第1、2两个盒子各放1个球，第3、45、6盒子不放球，第7个盒子放3个球， 这个放法可用符号表示为YYIYITT, 考虑母函数A+x)炉.A+x+x2+x)2 =(x0+x)(x°+x)-(x°+x)(x°+x)(x°+x)(x0+x+x2+x3)(x°+x+x2+x3), 从第一、二个括号中各取x2,从第三、四、五、六个括号中各取x°，从第七个括号中取x, 然后相乘，即得到展开式中的一个xxx°xxxx=x项， 此x项的系数即为满足题意的分配名额的方案数 从上分析可见，满足题意的名额分配的方案与多项式1+x).Q+x+x2+x3)展开式中x3项 正好一一对应， 故多项式Q+x).Q+x+x2+x3)?的展开式中x项的系数即为满足题意的名额分配的方案数. 又1+x)5.1+x+x2+x3)2=1+5x+10x2+10x2+5x4+x3)1+2x+3x2+4x3+3x4+2x3+x), 其中x=12x3+5x3x4+10x2.4x2+10x3.3x2+5x4.2x+x3.1=98x, 所以满足题意的分配方案数为98。 答案第8页，共15页 故答案为：98. 5.0号 (2)0.35,E(X)=1.55 (3)P<P 【分析】(1)用频率估计概率即可求解： (2)利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布 列，从而可求其期望： (3)根据题设可得关于乃，P的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p= 804 100-5 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,P(A)=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35 依题可知，X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列如下表： X 0 1 2 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55 (3)设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故P(D)+-PD=08,即A+-A)=08,故5， 11 同理有，085A+1-)-075,故-名 5 故B<P 16.+y 431 答案第9页，共15页 (2)288 49 【分析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程组，结合d2=b2+c2求出a、b、c即可 求解： (2)联立直线与曲线方程，得到7x2-8x+42-12=0,根据韦达定理、弦长公式及正方 形的面积公式即可得结果 b-5 【详解】(1)由题意，得 ab 2W21 V0+b2 7 a=2 解得 b=5' 即椭圆P的方程为上+y」 431. (2)因为ABCD是正方形，所以对角线AC⊥BD, 设直线AC为y=-x+m,联立 [y=-x+m 3x2+4y2-12=0' 得7x2-81x+42-12=0, 由△>0得-√万<m<√7，设A(x1,),C(2), 则无+玉= 7,32=4m2-12 87L 7 片+y=-(3+5)+2m=6" 7 所以AC的中点M的坐标为 由于正方形的对角线平分，所以点M在直线BD上， 即有7×-7×3+1=0，解得m=-1. 7 所以4C=V+2儿G+尸-4-24 教正方芳AcD的面积为8-4dB-分(-罗 17.(1)证明见解析 (②)7=321；a,=32-1: (3)S=1- 2 3”一1，证明见解析 答案第10页，共15页 【分析】(1)将(a,a+H)代入f(x)=x2+2x,利用等比数列的定义求解即可： (2)由等比数列的通项公式可得1lg1+a)=lg32，即1+a,=32,由此可得{a}的通项， 利用指数幂的运算和等比数列前n项和公式求T,即可： (3)利用裂项相消求和即可 【详解】(1)将(a,amH)代入f(x)=x2+2x得a+1=G+2a, 所以4H+1=G+20n+1=(a.+1)3, 42,所以Qa+>L,两边取对数得g0+8)-2e0+Q,即gL+2 所以{g(1+an)}是公比为2的等比数列， (2)由(1)可得lg1+a)=2-1×1g(1+a)=2-1×1g3=lg32, 所以1+a,=32(*), 所以1n=1+a)0+a)…1+a)=32×32×32x32=32+3+2+2=31, 由(*)式得a=32-1. (3)因为a+1=a+2a.=a(a.+2), m文agg 11-1 因为8安所a在》 限*+后古云言片动君 由(2)得a=32-1,4=2,aH=32-1, 2 所以Sn=1- 32-1' 又.=3，所以3+2 3次-11 18.1) 16 e品 答案第11页，共15页 ⑧9 【分析】(1)分析可知，棋手可能得0分或300分比赛终止，列出两种情况下棋手的胜负情 况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式可求得所求事件的概率： (2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后棋手挑战成功'为事件E,求出P(D)、P(DE) 的值，利用条件概率公式可求得P(ED)的值： (3)分析可知，甲共胜2局，对棋手甲分两种情况讨论：()棋手第n局以0分比赛终止： (ii)棋手第n局以300分比赛终止.计算出n(n≥10)局后比赛终止且棋手获得1万元奖励” 的概率P(m),分析数列{P(n}的单调性，即可得出结论. 【详解】(1)设每局比赛甲胜为事件A,每局比赛甲平为事件B，,每局比赛甲负为事件 C (ieN), 设“两局后比赛终止”为事件M, 因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或300分比赛终止. (i)当棋手得分为0分，则2局均负，即CC2; (i)当棋手得分为300分，则2局先平后胜，即B,A. 因为CC,、BA互斥，所以P(M)=P(CC2+BA)=P(CC2)+P(BA) =P(C)P(C2)+P(B)P(4)- 所以两局后比赛终止的概率为6 （2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后棋手挑战成功”为事件E. 因为P(D)=P(B,B2A+BCC3+C1AA+C1B2C3) P(E)=P(BB4+C144)= 94 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 答案第12页，共15页