2026年中考数学三轮冲刺03：统计与概率专项（全国通用）

中考数学三轮冲刺03：统计与概率专项 中考全国考情分析 1、整体定位与分值占比 统计与概率是中考数学基础必考、稳分拿分模块，全国统一命题趋势下，分值稳定在10～18 分（满分 120 分卷），占比约8%～15%。 选择填空：2～3 题，6～10 分（基础概念 + 简单计算） 解答题：1 题（中档），6～8 分（统计图表综合 + 概率计算） 难度梯度：90% 基础题 + 10% 中档题，无压轴难题，是冲刺阶段 “零失误” 核心板块。 2、 核心考点分布（全国高频） （1）统计部分（占比约 60%） 数据收集：全面调查 vs 抽样调查、总体 / 个体 / 样本 / 样本容量（选择填空必考）。 统计量计算：集中趋势：平均数（含加权）、中位数、众数（每年 1～2 题）；波动程度：方差（数据稳定性分析，高频易错）。 统计图表：条形图、扇形图、折线图：信息提取、补全图表、百分比计算（解答题必考）；频数分布直方图：频数 / 频率计算、组距分析。 统计推断：用样本估计总体（结合实际情境，如民意调查、质量检测）。 （2）概率部分（占比约 40%） 事件分类：必然事件、不可能事件、随机事件（选择填空基础题）。 概率计算：一步概率：古典概型（摸球、掷骰子），公式P(A)=；两步概率：列表法、树状图法（放回 / 不放回，解答题核心）。频率估计概率：大量重复试验，频率≈概率（结合统计图表）。 概率应用：游戏公平性判断、方案设计（中档解答题）。 3、全国命题趋势（2024～2026） 情境化：结合生活热点（环保、体育、传统文化、科技），弱化纯计算，强化数据分析素养。 综合化：统计图表 + 概率计算融合（如扇形图求频率→估计概率→树状图计算）。 基础化：核心概念（中位数、方差、树状图）重复考查，易错点集中（排序、放回 / 不放回区分）。 稳分导向：全国卷难度统一，杜绝偏题怪题，冲刺目标：满分拿下。 核心题型及具体解决方法 一、统计核心题型（5 类，选择 / 填空 / 解答） 题型一、统计量计算（平均数、中位数、众数、方差） 高频考法：给定一组数据，求中位数 / 众数 / 方差；结合表格 / 条形图计算加权平均数。 解题步骤： 1、中位数：先排序（从小到大）→奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均值。 2、众数：找出现次数最多的数（可多个）。 3、平均数：算术平均=；加权平均（f为权重）。 4、方差：（方差越小，数据越稳定）。 易错警示：中位数必须先排序；方差计算勿漏平方、勿忘除以 n。 （2026·浙江杭州·一模）学校的“开心农场”种植了一批番薯，现大队委组织各班同学开展挖番薯活动．为了解整体的收成情况，大队委员小玲随机抽取了6个班，记录了每个班番薯的质量，并将收集到的数据整理成如下统计表和统计图．例题 6个班的番薯质量统计表（单位：千克） 班级 A班 B班 C班 D班 E班 F班 番薯质量 61 63 71 a 63 78 6个班的番薯质量扇形统计图 请根据以上信息回答问题： (1)求统计表中的值． (2)求这6个班番薯质量的众数和中位数． (3)若该校共有36个班级，请你估算这次活动挖到的番薯总质量． 题型二、统计图表信息提取与补全（条形 + 扇形 + 折线） 高频考法：结合条形图与扇形图，求总人数、补全条形图、计算百分比、估计总体数量。 解题步骤： 1、定总量：从扇形图找已知部分百分比 + 对应条形图数量，总量 = 部分量 ÷ 对应百分比。 2、补全图表：计算未知组数量（总量−已知组和），绘制条形图；计算未知组百分比（1−已知百分比和），补全扇形图。 3、求统计量：从图表中提取数据，计算平均数、中位数、众数。 4、估计总体：总体数量 × 样本中对应百分比。 示例：扇形图 “阅读” 占 30%，条形图 “阅读” 有 15 人→总人数 = 15÷30%=50 人。 （2026·辽宁丹东·一模）为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．例题 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 (1)抽取的学生共有________人，________，________； (2)从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； (3)若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 题型三、调查方式与样本概念（选择 / 填空） 核心判断： 1、全面调查（普查）：范围小、易操作、重要数据（如人口普查、零件质量检测）。 2、抽样调查：范围大、破坏性、费时费力（如灯泡寿命、民意调查）。 3、样本相关：总体（考察对象全体）、个体（每个考察对象）、样本（抽取的部分）、样本容量（样本中个体数目，无单位）。 易错警示：样本容量无单位；区分 “个体”（对象）与 “样本”（集合）。 （2026·重庆綦江·二模）下列调查中，调查方式不正确的是（    ）例题 A．为了解我市全部初中学生的近视情况，选择抽样调查 B．为了解巴川河的水质情况，选择抽样调查 C．为了解生产的500枚高超音速导弹的命中率，选择抽样调查 D．为了解一批袋装牛奶（总体）的细菌超标情况，选择普查 题型四、频数分布直方图（中档） 核心公式： 1、频数：每组数据个数；频率 = 频数 ÷ 总数；各组频率和 = 1。 2、组距：每组区间长度；组数 =（最大值−最小值）÷ 组距（取整）。 解题步骤：求总数→算未知频数 / 频率→补全直方图→分析数据分布。 （2025·山西太原·二模）“学校安全教育平台”系统地、科学地从家居安全、交通安全、火灾、水灾、户外活动、社会恶性事件、校园安全等方面对安全教育所涵盖的主要内容做了全面、详尽、科学、完备的阐述，这不仅能够培养孩子的自我保护能力，教会孩子如何远离危险，而且能让孩子拥有良好的应急心态．某校政教处从全体学生中随机抽取了部分学生“学校安全教育平台”中消防安全知识的分数（满分为100分）进行了统计，以下是根据抽取学生的分数制作的不完整的频率分布表和频数分布直方图例题 组别 分组 频数 复率 1      9 0.18 2      m b 3      21 0.42 4      0.06 5      2 n 请根据图表，解答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____． (2)若小勇同学的测试成绩是所抽取学生成绩的中位数，那么小勇同学的测试成绩在什么范围内？ (3)规定：得分在的为“优秀”，如果小勇同学所在学校共有2000名学生，那么估计得分为“优秀”的学生共有多少名？ 题型五、统计综合应用（解答题第一题） 考法：图表分析 + 统计量计算 + 总体估计，结合生活情境（如成绩分析、销量统计）。 解题关键：分步得分、规范书写，每一步标注公式（如 “中位数为：…”“估计总体人数：…”）。 （2026·安徽淮南·一模）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：例题 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 二、概率核心题型（4 类，选择 / 填空 / 解答） 题型一、事件分类与一步概率（基础） 事件判断： 1、必然事件：一定发生（如 “太阳东升”），概率P=1。 2、不可能事件：一定不发生（如 “掷骰子得 7 点”），概率P=0。 3、随机事件：可能发生也可能不发生，概率0<P<1。 一步概率计算：P=， （2026·江苏无锡·一模）宜兴气象台发布的天气预报显示，明天宜兴某地下雨的可能性是，则“明天宜兴某地下雨”这一事件是（   ）例题 A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 题型二、两步概率（列表法 / 树状图法，解答题必考） 核心区分： 1、放回试验：第一次结果可重复，两次结果总数相同（如两次摸球，放回）。 2、不放回试验：第一次结果不可重复，第二次总数减 1（如两次摸球，不放回）。 解题步骤： 1、列表法（两步、结果少）：横向 / 纵向列第一次、第二次结果，不重不漏。 2、树状图法（两步 / 三步、结果多）：第一层列第一次结果，第二层分支列第二次结果，数总路径数与符合条件路径数。 3、计算概率：符合条件路径数总路径数。 易错警示：不放回需剔除重复结果；树状图画完数清总结果数，避免漏数 / 重数。 （2026·江苏南通·模拟预测）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　）例题 A． B． C． D． 题型三、频率估计概率（统计 + 概率综合） 核心逻辑：大量重复试验中，频率稳定于概率，可用频率≈概率。 解题步骤： 1、计算频率：频率 = 频数 ÷ 试验次数。 2、估计概率：试验次数越多，频率越接近真实概率。 3、求数量：总数 × 概率≈对应数量。 （2026·江苏徐州·一模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ）例题 A．10 B．0.3 C．3 D．7 题型四：概率应用（游戏公平性 / 方案设计） 游戏公平性判断：计算双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平。 方案设计：调整规则（如增减球数、修改得分），使双方概率相等。 解题关键：先算概率，再下结论，书写规范（如 “∵甲乙，∴游戏公平”）。 （2026·江苏连云港·模拟预测）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动．例题 (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； (2)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 经典模拟题 1．（2026·山东临沂·一模）《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·二模）好好同学把如图的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·一模）某射手在一次射击训练中共射击10次，成绩如下表： 环数 7环 8环 9环 10环 次数 1 4 3 2 则本次射击训练成绩的中位数是（    ） A．8环 B．8.5环 C．9环 D．9.5环 4．（2026·山东济南·二模）为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）下列调查中不适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查某班学生体考成绩 B．调查某架新飞机零件是否合格 C．调查西葫芦村村民的总人数 D．调查某厂生产100枚炮弹的杀伤半径 6．（2026·广东梅州·一模）从1，2，3，4，5这5个自然数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东临沂·一模）小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下：       根据上述三个统计图，请解答： (1)6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________； (2)11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？ (3)若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可） 8．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后测试成绩由小到大记录，部分如下：， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 【数据处理和应用】 (1)任务1：测试成绩大于或等于80为优良，则心理健康课前测试成绩的优良率为 ； (2)任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 ，E组对应扇形的圆心角是 ；（结合整理1和整理2回答） (3)任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 9．（2026·广东肇庆·一模）第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其他”，并将调查情况绘制成如下两幅统计图．    根据调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了___名学生，的值为____； (2)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ (3)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）某茯砖茶加工厂拟增购一台分装机以提高分装效率，将在商家提供试用的A、B两款机型中进行选择．试用时，从A，B两台分装机已分装好的产品中各随机抽取10袋，测得每袋的实际质量（单位：g）．设定每袋的标准质量为，将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一： 信息二：A，B两台分装机分装的茯砖茶每袋的实际质量统计表 型号 统计量 平均数 中位数 方差 A型 500.1 a B型 b 500.5 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表中a的值是_______，b的值是________，______（填“>”“<”或“=”）； (2)综合以上信息，你认为哪种型号分装机分装茯砖茶的情况较好？请说明理由； (3)若本次试用中A分装机一共分装了1200袋茯砖茶，B分装机一共分装了900袋茯砖茶，则估计A，B两台分装机分装的茯砖茶中符合标准质量的总袋数． 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分，60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（   ） A．60分 B．59分 C．58分 D．57分 2．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·中考真题）某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（    ） A．18 B．20 C．22 D．23 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（   ） A．3000 B．4000 C．6000 D．60000 5．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 6．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 8．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 9．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 10．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考数学三轮冲刺03：统计与概率专项 中考全国考情分析 1、整体定位与分值占比 统计与概率是中考数学基础必考、稳分拿分模块，全国统一命题趋势下，分值稳定在10～18 分（满分 120 分卷），占比约8%～15%。 选择填空：2～3 题，6～10 分（基础概念 + 简单计算） 解答题：1 题（中档），6～8 分（统计图表综合 + 概率计算） 难度梯度：90% 基础题 + 10% 中档题，无压轴难题，是冲刺阶段 “零失误” 核心板块。 2、 核心考点分布（全国高频） （1）统计部分（占比约 60%） 数据收集：全面调查 vs 抽样调查、总体 / 个体 / 样本 / 样本容量（选择填空必考）。 统计量计算：集中趋势：平均数（含加权）、中位数、众数（每年 1～2 题）；波动程度：方差（数据稳定性分析，高频易错）。 统计图表：条形图、扇形图、折线图：信息提取、补全图表、百分比计算（解答题必考）；频数分布直方图：频数 / 频率计算、组距分析。 统计推断：用样本估计总体（结合实际情境，如民意调查、质量检测）。 （2）概率部分（占比约 40%） 事件分类：必然事件、不可能事件、随机事件（选择填空基础题）。 概率计算：一步概率：古典概型（摸球、掷骰子），公式P(A)=；两步概率：列表法、树状图法（放回 / 不放回，解答题核心）。频率估计概率：大量重复试验，频率≈概率（结合统计图表）。 概率应用：游戏公平性判断、方案设计（中档解答题）。 3、全国命题趋势（2024～2026） 情境化：结合生活热点（环保、体育、传统文化、科技），弱化纯计算，强化数据分析素养。 综合化：统计图表 + 概率计算融合（如扇形图求频率→估计概率→树状图计算）。 基础化：核心概念（中位数、方差、树状图）重复考查，易错点集中（排序、放回 / 不放回区分）。 稳分导向：全国卷难度统一，杜绝偏题怪题，冲刺目标：满分拿下。 核心题型及具体解决方法 一、统计核心题型（5 类，选择 / 填空 / 解答） 题型一、统计量计算（平均数、中位数、众数、方差） 高频考法：给定一组数据，求中位数 / 众数 / 方差；结合表格 / 条形图计算加权平均数。 解题步骤： 1、中位数：先排序（从小到大）→奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均值。 2、众数：找出现次数最多的数（可多个）。 3、平均数：算术平均=；加权平均（f为权重）。 4、方差：（方差越小，数据越稳定）。 易错警示：中位数必须先排序；方差计算勿漏平方、勿忘除以 n。 （2026·浙江杭州·一模）学校的“开心农场”种植了一批番薯，现大队委组织各班同学开展挖番薯活动．为了解整体的收成情况，大队委员小玲随机抽取了6个班，记录了每个班番薯的质量，并将收集到的数据整理成如下统计表和统计图．例题 6个班的番薯质量统计表（单位：千克） 班级 A班 B班 C班 D班 E班 F班 番薯质量 61 63 71 a 63 78 6个班的番薯质量扇形统计图 请根据以上信息回答问题： (1)求统计表中的值． (2)求这6个班番薯质量的众数和中位数． (3)若该校共有36个班级，请你估算这次活动挖到的番薯总质量． 【答案】(1) (2)众数为千克，中位数为千克 (3)这次活动挖到的番薯总质量约为千克 【详解】（1）解：6个班的番薯总质量为（千克）， ； （2）解：6个班的番薯质量从小到大排序为， ∴中位数为千克，众数为千克； （3）解：（千克）， 答：这次活动挖到的番薯总质量约为千克． 题型二、统计图表信息提取与补全（条形 + 扇形 + 折线） 高频考法：结合条形图与扇形图，求总人数、补全条形图、计算百分比、估计总体数量。 解题步骤： 1、定总量：从扇形图找已知部分百分比 + 对应条形图数量，总量 = 部分量 ÷ 对应百分比。 2、补全图表：计算未知组数量（总量−已知组和），绘制条形图；计算未知组百分比（1−已知百分比和），补全扇形图。 3、求统计量：从图表中提取数据，计算平均数、中位数、众数。 4、估计总体：总体数量 × 样本中对应百分比。 示例：扇形图 “阅读” 占 30%，条形图 “阅读” 有 15 人→总人数 = 15÷30%=50 人。 （2026·辽宁丹东·一模）为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．例题 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 (1)抽取的学生共有________人，________，________； (2)从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； (3)若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【答案】(1)200，40，20 (2)177 (3)全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人 【详解】（1）解：抽取的学生共有：（人） ， 则， 故答案为：200；40，20． （2）解：将184，172，180，179，175，176，178，172 从小到大排列为：172，172，175，176，178，179，180，184， 则中位数为：． （3）解：（人） 答：全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人． 题型三、调查方式与样本概念（选择 / 填空） 核心判断： 1、全面调查（普查）：范围小、易操作、重要数据（如人口普查、零件质量检测）。 2、抽样调查：范围大、破坏性、费时费力（如灯泡寿命、民意调查）。 3、样本相关：总体（考察对象全体）、个体（每个考察对象）、样本（抽取的部分）、样本容量（样本中个体数目，无单位）。 易错警示：样本容量无单位；区分 “个体”（对象）与 “样本”（集合）。 （2026·重庆綦江·二模）下列调查中，调查方式不正确的是（    ）例题 A．为了解我市全部初中学生的近视情况，选择抽样调查 B．为了解巴川河的水质情况，选择抽样调查 C．为了解生产的500枚高超音速导弹的命中率，选择抽样调查 D．为了解一批袋装牛奶（总体）的细菌超标情况，选择普查 【答案】D 【详解】解：A选项中我市初中学生数量多，适合抽样调查，调查方式正确； B选项中巴川河水量大，水质调查无法全面开展，适合抽样调查，调查方式正确； C选项中测试导弹命中率具有破坏性，无法对所有导弹全面测试，适合抽样调查，调查方式正确； D选项中检查袋装牛奶的细菌超标情况，调查具有破坏性且总体数量大，适合抽样调查，不适合普查，因此调查方式不正确． 题型四、频数分布直方图（中档） 核心公式： 1、频数：每组数据个数；频率 = 频数 ÷ 总数；各组频率和 = 1。 2、组距：每组区间长度；组数 =（最大值−最小值）÷ 组距（取整）。 解题步骤：求总数→算未知频数 / 频率→补全直方图→分析数据分布。 （2025·山西太原·二模）“学校安全教育平台”系统地、科学地从家居安全、交通安全、火灾、水灾、户外活动、社会恶性事件、校园安全等方面对安全教育所涵盖的主要内容做了全面、详尽、科学、完备的阐述，这不仅能够培养孩子的自我保护能力，教会孩子如何远离危险，而且能让孩子拥有良好的应急心态．某校政教处从全体学生中随机抽取了部分学生“学校安全教育平台”中消防安全知识的分数（满分为100分）进行了统计，以下是根据抽取学生的分数制作的不完整的频率分布表和频数分布直方图例题 组别 分组 频数 复率 1      9 0.18 2      m b 3      21 0.42 4      0.06 5      2 n 请根据图表，解答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____． (2)若小勇同学的测试成绩是所抽取学生成绩的中位数，那么小勇同学的测试成绩在什么范围内？ (3)规定：得分在的为“优秀”，如果小勇同学所在学校共有2000名学生，那么估计得分为“优秀”的学生共有多少名？ 【答案】(1)3，0.3，15； (2)小勇的测试成绩在范围内； (3)名 【详解】（1）解：（人． ，，． （2）解：抽取的学生共有50名，中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据在第3组，所以小勇的测试成绩在范围内； （3）解：， 估计得分为“优秀”的学生共有名. 题型五、统计综合应用（解答题第一题） 考法：图表分析 + 统计量计算 + 总体估计，结合生活情境（如成绩分析、销量统计）。 解题关键：分步得分、规范书写，每一步标注公式（如 “中位数为：…”“估计总体人数：…”）。 （2026·安徽淮南·一模）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：例题 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 【答案】(1)50，见解析 (2)72，C (3)598人 【详解】（1）解：抽取的学生的人数是（人）， ∴B组人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是； ∵共有50个数据， ∴中位数是第25个和第26个数据的平均数， ∵A，B组的和为，C组人数为21， ∴第25个数，第26个数都落在C组； （3）解：（人）， 答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人． 二、概率核心题型（4 类，选择 / 填空 / 解答） 题型一、事件分类与一步概率（基础） 事件判断： 1、必然事件：一定发生（如 “太阳东升”），概率P=1。 2、不可能事件：一定不发生（如 “掷骰子得 7 点”），概率P=0。 3、随机事件：可能发生也可能不发生，概率0<P<1。 一步概率计算：P=， （2026·江苏无锡·一模）宜兴气象台发布的天气预报显示，明天宜兴某地下雨的可能性是，则“明天宜兴某地下雨”这一事件是（   ）例题 A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【详解】解：∵明天宜兴某地下雨的可能性为，该事件可能发生，也可能不发生，既不是一定发生，也不是一定不发生， ∴“明天宜兴某地下雨”这一事件是随机事件． 题型二、两步概率（列表法 / 树状图法，解答题必考） 核心区分： 1、放回试验：第一次结果可重复，两次结果总数相同（如两次摸球，放回）。 2、不放回试验：第一次结果不可重复，第二次总数减 1（如两次摸球，不放回）。 解题步骤： 1、列表法（两步、结果少）：横向 / 纵向列第一次、第二次结果，不重不漏。 2、树状图法（两步 / 三步、结果多）：第一层列第一次结果，第二层分支列第二次结果，数总路径数与符合条件路径数。 3、计算概率：符合条件路径数总路径数。 易错警示：不放回需剔除重复结果；树状图画完数清总结果数，避免漏数 / 重数。 （2026·江苏南通·模拟预测）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　）例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知：阿嘉盖住的牌中的数字为2，4，5， 小杨盖住的牌中的数字为1，3，4， 画树状图如图： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种， 所以阿嘉比小杨大的机率为， 故选：B． 题型三、频率估计概率（统计 + 概率综合） 核心逻辑：大量重复试验中，频率稳定于概率，可用频率≈概率。 解题步骤： 1、计算频率：频率 = 频数 ÷ 试验次数。 2、估计概率：试验次数越多，频率越接近真实概率。 3、求数量：总数 × 概率≈对应数量。 （2026·江苏徐州·一模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ）例题 A．10 B．0.3 C．3 D．7 【答案】C 【详解】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右， ∴可估计摸出红球的概率为0.3， ∵袋子中共有10个球， ∴红球个数约为 （个）， 因此袋子中红球的个数最有可能是3个． 题型四：概率应用（游戏公平性 / 方案设计） 游戏公平性判断：计算双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平。 方案设计：调整规则（如增减球数、修改得分），使双方概率相等。 解题关键：先算概率，再下结论，书写规范（如 “∵甲乙，∴游戏公平”）。 （2026·江苏连云港·模拟预测）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动．例题 (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； (2)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见详解 【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共 4 种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， ∴P指针落在红色区域； （2）解：列表如下， 第一次第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有 16 种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种， ∴自由转动转盘两次，P（指针都落在蓝色区域）； ∵自由转动转盘一次，P（指针落在黄色区域）． ∴公平． 经典模拟题 1．（2026·山东临沂·一模）《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用字母A，B，C，D，分别表示抽取到圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带， 列表如下： 第一次第二次 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 如表，共有16个等可能的事件，其中两次抽取的邮票图案名称相同的事件有4个， 故概率为． 2．（2026·安徽合肥·二模）好好同学把如图的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴对角线所分成四个三角形的面积相等，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为平行四边形面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率． 3．（2026·江苏苏州·一模）某射手在一次射击训练中共射击10次，成绩如下表： 环数 7环 8环 9环 10环 次数 1 4 3 2 则本次射击训练成绩的中位数是（    ） A．8环 B．8.5环 C．9环 D．9.5环 【答案】B 【详解】解：∵一共射击10次，10是偶数， ∴中位数为成绩从小到大排序后，第5个数据和第6个数据的平均数， 按从小到大排序成绩，7环1次，8环4次，可得前5个数据中第5个数据为8环，接下来3个9环，因此第6个数据为9环， ∴中位数为环． 4．（2026·山东济南·二模）为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵每名学生从3个运动项目中选一个，各有3种等可能的选择，小明和小亮的选择相互独立， ∴两人选择项目的所有等可能结果总数为， ∵两名同学都选择篮球项目的结果只有1种， ∴所求概率为． 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）下列调查中不适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查某班学生体考成绩 B．调查某架新飞机零件是否合格 C．调查西葫芦村村民的总人数 D．调查某厂生产100枚炮弹的杀伤半径 【答案】D 【详解】解：A 调查某班学生体考成绩，调查范围小，适合全面调查； B 调查新飞机零件是否合格，结果直接影响飞行安全，要求精准，适合全面调查； C 调查一个村庄的村民总人数，范围小，适合全面调查； D 调查炮弹的杀伤半径，调查过程具有破坏性，每一枚炮弹测试后都无法再使用，不适合采用全面调查． 6．（2026·广东梅州·一模）从1，2，3，4，5这5个自然数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，所有等可能结果为 ，共10种， 其中两个数之和能被3整除的结果为 ，共4种符合条件的结果． ∴根据概率公式得 ． 7．（2026·山东临沂·一模）小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下：       根据上述三个统计图，请解答： (1)6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________； (2)11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？ (3)若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可） 【答案】(1)A；234 (2)54台 (3)见解析 【详解】（1）解：由条形图，可知三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是A； 由扇形图可知，11月份A品牌占比，11月份B品牌占比，11月份C品牌占比， 结合折线图中数据可知，11月份A品牌销售270台，B品牌销售234台，C品牌销售275台； （2）解：由（1）可知，11月份共销售（台）， 由扇形图可知，11月份其它品牌共销售， ∴其它品牌共销售（台）， （台）， ∴11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖54台； （3）解：理由：C品牌的销量从6月到11月一直十分稳定，且销量较高（答案不唯一）． 8．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后测试成绩由小到大记录，部分如下：， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 【数据处理和应用】 (1)任务1：测试成绩大于或等于80为优良，则心理健康课前测试成绩的优良率为 ； (2)任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 ，E组对应扇形的圆心角是 ；（结合整理1和整理2回答） (3)任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】(1) (2)80.5，72 (3)达到“效果显著” 【详解】（1）解：； （2）解：E组的人数为， 将数据从大到小排序，第25和第26个数据分别为81和80， ∴中位数为； ； （3）解：心理健康课前测试成绩的平均分为： ，     ， ∴达到“效果显著”． 9．（2026·广东肇庆·一模）第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其他”，并将调查情况绘制成如下两幅统计图．    根据调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了___名学生，的值为____； (2)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ (3)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】(1)50，30 (2)该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名； (3)见解析 【详解】（1）解：这次调查的学生人数为（人）； D类的人数为（人）． ， ∴， 故答案为：50；30； （2）解：， 答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名； （3）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）某茯砖茶加工厂拟增购一台分装机以提高分装效率，将在商家提供试用的A、B两款机型中进行选择．试用时，从A，B两台分装机已分装好的产品中各随机抽取10袋，测得每袋的实际质量（单位：g）．设定每袋的标准质量为，将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一： 信息二：A，B两台分装机分装的茯砖茶每袋的实际质量统计表 型号 统计量 平均数 中位数 方差 A型 500.1 a B型 b 500.5 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表中a的值是_______，b的值是________，______（填“>”“<”或“=”）； (2)综合以上信息，你认为哪种型号分装机分装茯砖茶的情况较好？请说明理由； (3)若本次试用中A分装机一共分装了1200袋茯砖茶，B分装机一共分装了900袋茯砖茶，则估计A，B两台分装机分装的茯砖茶中符合标准质量的总袋数． 【答案】(1)，， (2)B型分装机表现更优，理由如下：方差更小（），说明质量波动小，稳定性高； (3) 【详解】（1）解：A型号中的数据排列为：， 故中位数； B型号分装机包装的茯砖茶每袋的实际质量的平均数为； 从统计图可以看出，B型号分装机包装的茯砖茶每袋实际质量波动小于A型号包装机，则B型号分装机包装的茯砖茶每袋质量更稳定，方差小，即． （2）解：B型分装机表现更优，理由如下：方差更小（），说明质量波动小，稳定性高； （3）解：A型样本中符合标准（）的有2袋，占比为，总体袋中估计符合数为 袋； B型样本中符合标准的有袋，占比为，总体袋中估计符合数为 袋； 总计符合标准袋数为 袋． 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分，60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（   ） A．60分 B．59分 C．58分 D．57分 【答案】A 【详解】解：∵57分出现1次，58分出现1次，59分出现1次，60分出现3次， ∴ 60分出现次数最多， ∴该组成绩的众数是60分． 2．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 3．（2025·四川·中考真题）某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（    ） A．18 B．20 C．22 D．23 【答案】C 【详解】解：根据中位数的定义，将数据按从小到大排列：18，20，22，23，24；   数据个数为5（奇数），中间位置为第个，第3个数据为22，故这组数据的中位数是22．   故选：C． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（   ） A．3000 B．4000 C．6000 D．60000 【答案】A 【详解】解：（条）； 故选：A． 5．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 6．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【答案】(1)该班此次调查的学生人； (2)，见解析； (3)恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为： 【详解】（1）解：（人）， 答：该班此次调查的学生人； （2）解：∵， ∴， 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人）， 补全条形图如下： （3）解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 【答案】(1)105；110 (2)图象见解析 (3)480 【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数； 中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110， 故答案为：105，110； （2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本， 由（1），可知这一组共有15个样本， 由题意可知，样本总量为50， 故这一组共有个样本， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次， ∴（人） 故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480． 8．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解 【详解】（1）解：依题意，， 即甲的一般成绩有次， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：乙参加跳远比赛较为合适， 理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少， ∴乙参加跳远比赛较为合适． 9．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 10．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $