2026年中考数学临考冲刺卷03（全国通用）

2026年中考数学临考冲刺卷（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 2．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 3．如图，下面几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从上面看到一个长方形，凹槽口的两条棱能看得到，应画为实线； 凹槽底的两条棱被顶面遮挡，应画为虚线． 故选：C． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 6．如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 7．某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 【答案】C 【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， 故选：C． 8．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 9．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：轴于点M，轴于直N，， 四边形是矩形， 四边形的面积为2， ， 反比例函数在第一、三象限， ， 故选：A． 10．如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 12．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：. 13．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 【答案】 【详解】解：共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”三种窗格， 故选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 15．如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 16．已知的面积是1． （1）如图1，若D，E分别是边和的中点，与相交于点F，则四边形的面积为__________． （2）如图2，若M，N分别是边和上距离C点最近的6等分点，与相交于点G，则四边形的面积为__________． 【答案】 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵D，E分别是边和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是1， ∴； ∵D是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， ∵M，N分别是边和上距离C点最近的6等分点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴； ∵的面积是1， ∴； ∵M是靠近点C的六等分点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 19．（8分）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 20．（8分）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为. （3）解：（人． 估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同学被选到的概率为． 21．（10分）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 22．（10分）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53； (2) 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（12分）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学临考冲刺卷（全国通用) 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 8 9 10 B B B A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.x23 12.（-5,-1 13.43 15.72° 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 【详解】解：22-4sin30°+（π+1）°-√4 =4-4×+1-2…(4分) =4-2+1-2 =1.…(6分) 18.(6分) 【详解】解：原式=a+。a2- a(a+1 a =0+1 …(2分) a（a+1(a-1 、1 -:…(4分) 当a=√2+1时， 1=1-2 原武21方号6分) 19.(8分) 【详解】(1)证明：：⊙0的半径为OD,OB,OC,OA, :0A=0B=0D=0C,·(1分) 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0C=0C,BC=CD, △B0C≌△D0C(SSS);·(4分) (2)解：：0C=0B, ∠0CB=∠ABC=65°， ∠C0B=180°-65°×2=50°，·(5分) :△B0C≌△D0C, ∠D0C=∠C0B=50°，·(6分) .∠D0B=100°， :0D=0B, △DOB是等腰三角形，·(7分) ∠ABD=∠0DB=180°-∠D0B=40°..(8分) 2 20.(8分) 【详解】(1)解：调查的学生人数为84÷35%=240（人）， ·选择A课程的人数为240×25%=60（人）， 选择C课程的人数为240-60-84-24=72（人）. 补全条形统计图如图所示 调查结果的条形统计图 个人数 96 84 84… 72 72 60 60 …(2分) 36 24 12 4 ABCD课程 (2)解：扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为360°× 24 =36°.…(4分) 240 (3)解：1000×240 72 300(人).·(5分) 估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为300人，·(6分) (4)解：画树状图如下： 开始 丙 ·(7分) 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， :怡好甲和丁同学被选气的瓶丰为弓- .…(8分) 21.(10分) 【详解】(1)解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正 方形，3个长方形，…(1分) 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，··(2分) x+2y=200 根据题意，得 4x+3y=400’…(3分) x=40 得 …(4分) y=80 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.·(5分) (2)解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片.··(6分) 则w=2m+(100-m)=100+m. 由k=1>0,知w随m的增大而增大， 当m最小时，w有最小值 求据题意，得m≥0-，…7分) 解得m≥100 …8分) 3 其中最小整数解为34.·(9分) 即当m=34时，w=100+34=134. 答：至少需要134张正方形硬纸片.·(10分) 22.(10分) 【答案】(1)64；53；…(2分) (2)解：过点D作DH⊥CN,过点E作EG⊥DH,如图所示： D --N …(3分) B 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形EGHN为矩形，…(4分) 同理得：四边形CAMN为矩形， .MN=AC=AB+BC=12+26=38cm,·(5分) :EM为50cm, .GH=EN=EM-MN=50-38=12cm,·(6分) :GE∥CN∥AF, .GE∥1， DG11, :DE为30cm,∠2=53°， .∠EDG=90°-53°=37°， DG=DE.cos∠EDG=24cm,·(7分) .DH=DG+GH=24+12=36cm,·(8分) :∠1=64°， .∠CDH=90°-64°=26°， DH ∴.DC= =40cm.·(10分) cos∠CDH 23.(12分) 【详解】(1)①证明：过点P作PG⊥BC、PH⊥CD,如图所示： D (P) …(1分) BE G C 则∠PGE=∠PHF=90 :四边形ABCD是正方形 ∠BCD=90° ·四边形PGCH是矩形 ∠PCH=45° 在Rt△PCH中，∠CPH=90°-45°=45 .PH CH :四边形PGCH是正方形·(2分) 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .PG=PH,∠GPF+∠HPF=90 :∠GPF+∠EPG=90° .∠FPH=∠EPG △PFH≌△PEG·(3分) .PE=PF;·(4分) ②过点P作PG⊥BC、PH⊥CD,如图所示： D O(P)..H B E G C 由①可知四边形PGCH是正方形 .PG=PH、∠PGC=∠PHC=∠BCD=90 :aPFH≌aPEG .S.PFH =S.PEG .SI边形PECr=S,PEG+SI边形PGCr=S,PFH+S唇边形pGCr=SE方形PGCH AP 1 1 PC 2 PC_2 AC 3 :PH∥AD △CPH∽△CAD S.PCH= S.ACD SE边形ECE_SE方形cCL 2S,-4 S正方形ABCD S正方形ABCD 2SACD 9 故 为定值，该定雀为号；…(7分) S正方形ABCD (2)解：过点P作PG⊥BC、PH⊥AB,连接EF,如图所示： 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D …(8分) H EG ∠PGE=∠PHF=90° :四边形ABCD是正方形 :LABC=90° ·∠ACB=∠CAB=450 :射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F ∠EPF=90° .∠EPG=∠FPH .aPFH∽aPEG PF PH AP PE PG PC 水 :PE a .PF=ak ∠BPE=45°、∠BCP=45° :∠BPF=∠BCP=45° :∠PBE=∠CBP △PBE∽△CBP .PB2=BE·BC 同理可得PB2=BF·AB AB=BC :BE=BF △BEF是等腰直角三角形 在Rt△PEF中， 5 F-aa-r…(9分) 由勾股定理得EF2=PE2+PF2=a2+(ka2=(1+k2）a2 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 e-EF-f--1d…(0分) 2 21 4 恐Sea+母a土HK+ 2 4 答：四边形PEBF的面积为k+ a2.…(12分) 4 24.(12分) 【详解】(1)解：y=2x+2中， 令x=0,则y=2, C(0,2), 令y=0,则0=2x+2, x=-1, .A-1,0),…(1分) :抛物线y=ar2+3x+ca≠0)经过A,B,C三点， 2 「3 \a2 c=0 c=2 「c=2 1, a=-2 抛物线的解析式为y=-×++2.·…(2分) 2 令=0，则0=-r+x x+2, 2 2 x=-1,或x=4, .B4,0. x+3x+2=-x-3+25 3 :y=- 2 x- 22+8 顶点D325) (28:…(3分) (2)A-1,0,B4,0,C0,2, .OA=1,OB=4,OC=2, 7/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AB=5,AC=V0A2+0C2=V5,BC=V0B2+0C2=2V5,…(4分) AC2+BC2=5+20=25=AB2, .∠ACB=90°， AC⊥BC, 延长BC至点B,使B'C=BC=2√5，连接B'D,交直线y=2x+2于点P,如图， ⊙ 则B,B关于直线y=2x+2对称，此时△BDP的周长最小，·(5分) 过点作B'E⊥x轴于点E, :B'E⊥x轴，OC⊥x轴， .OC∥B'E, B'C=BC, ∴.OC为△BBE的中位线， .OE=OB=4,B'E=20C=4, .B(-4,4), 设直线B'D的解析式为y=+b, [-4k+b=4 26+b=25, .了 8 、7 k=44 37 b= 011 ·直线BD的解析式为y=-7x 37 44x+1I 7,37 y=- x+ 44”11,·(6分) y=2x+2 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12 x= 19 2 y=19 :p/1262 …(7分) (19’19 (3)在ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边上)，此时矩形在AB边 上的顶点的坐标为(0小，20)安30 ①如图，顶点E,F,G,H在ABC各边上，设EF与OC交于点K, 设EF=m, :四边形EFGH为矩形，KO⊥AB, .四边形EHOK,FGOK为矩形，EF∥AB, .OK =EH EF∥AB, .△CEFn△CAB, EF CF AB OC 2-E 52 ·EH=10-2m .矩形EFGH的面积=EF·EH =m.10-2m 5 、2 m2+2m 5 -月 525 20, :a=- 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三。时，矩形EFGH的面积取得最大值 :EH=10-2m=1, 5 EH //OC,EH=OC ∴H为OA的中点， 0 同理，点G为OB的中点， .G(2,0).…(9分) ②如图，顶点E,F,G,H在ABC各边上，H与点C重合， 设GF=m, :四边形EFGH为矩形， .FG∥AC, .△BFGm△BAC, :FG、BG ·ACBC :m=25-GH V52√5 GH=-25-2m, ∴.矩形EFGH的面积=FGGH =m(2V5-2m） m-5 =-2m- 2 + .m=-2<0, 10/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :当m=5时，矩形EFGH的面积取得最大值为 GH=25-2m=5, .点G为BC的中点， :FG∥AC, .FG为ABC的中位线， ·OF=OB-FB=3 …(11分) 综上，在ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边上)，此时矩形在AB边 上的顶点的坐标为0,2,0或(30…(12分) 11/11 2026年中考数学临考冲刺卷（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 2．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图，下面几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．函数的图象为(    ) A． B． C． D． 6．如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 8．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 9．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（    ）    A．2 B． C．1 D． 10．如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 13．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 14．窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 15．如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 16．已知的面积是1． （1）如图1，若D，E分别是边和的中点，与相交于点F，则四边形的面积为__________． （2）如图2，若M，N分别是边和上距离C点最近的6等分点，与相交于点G，则四边形的面积为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18． （6分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 20．（8分）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 21．（10分）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 22．（10分）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 23．（12分）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $