专题05 统计和概率问题（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题05 统计和概率问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年数据分析（样本估计总体）：给定10个工件质量数据，先统计合格品个数，再按比例估算200个工件中的总数。2025年· 数据分析：结合折线图、方差等统计量，分析运动员的百米成绩稳定性。 命题趋势：· 一个不变：地位与基础性。总分值稳定在 10分，难度较低，依然是“基础得分版块”。出题套路固定：一道基础概率题（填空/选择）加一道数据分析解答题。 ·强化真实情境。解答题不再单纯算数，而是融入 BMI指数、体育成绩、企业生产 等现实背景。这要求你能读懂图表（如折线图），并理解 平均数、方差 在实际情境中的意义（如“判断成绩稳定性”）。 ·强化决策能力。这是趋势核心！题目不止问你“数据是什么”，更会问你“该选谁”以及“为什么”。你必须能综合运用统计数据，做出合理的判断和决策。 2026年预测：1. 狠抓基础概念：不要钻牛角尖，确保概率公式、方差计算、中位数定义等基本功 100% 熟练。 2. 专练“说理”题：找含 “你认为哪个更合理/稳定，并说明理由” 的题，训练用数据支撑观点的逻辑表达。 3. 适应多样图表：熟悉 扇形图、条形图、折线图、频数分布表 的读图技巧，这通常是解题第一步。 题型01 扇形统计图 析典例·建模型 1．（2025年北京市西城区第三十五中学中考数学零模）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 【答案】(1)50，72 (2)见解析 (3)见解析， 【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人）， 学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50；72； （2）解：由题意可得： 选“B：足球”的学生人数为：（人）， 选“E：乒乓球”的学生人数为：（人） 补全条形统计图如下； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种； ∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为． 研考点·通技法 1. 补全统计图：已知总数和某部分百分比，用乘法算出数量；已知两部分数量，先求和得总数。 2. 求总体数量：用“某部分的具体数量 ÷ 该部分所占百分比”。 3. 求圆心角度数：先用部分除以总数得百分比，再乘以 360°。反过来，已知圆心角也能反推百分比。 4. 估算整体：如果扇形图是样本，就用“样本中某部分百分比 × 总体数量”。 破类题·提能力 2．（2026·北京第五中学·零模）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ (3)根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】(1)98，93，10 (2)450人 (3)男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 【详解】（1）解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98， 98出现最多，则， 根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83， 则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100， 则， 评分分数为A和B的人数和为，都不为0， 评分分数为A和B的人数都是1人， ，即， 故答案为：98，93， （2）解：（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人； （3）解：男生更喜欢《哪吒2》， 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 3．（2025·北京平谷·一模）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______________________，___________ (2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 出现最多，则， 根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为， 则 根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为， ∴评分分数为和的人数都是人 ∴，则 故答案为：，，． （2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下： 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》 （3）（人） 即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人 4．（2025·北京首都师大附中育鸿学校·零模）某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图． a．抽取学生成绩等级人数统计表 等级 A B C D E 人数 m 9 10 4 2 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是． c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 70，71，72，73，74，76，76，77，78，79 根据以上信息，回答下列问题： (1)该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）； (2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ； (3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）． 【答案】(1)30、否 (2)200名 (3)， 【来源】2025年北京市首都师范大学附属中学育鸿学校中考数学零模数学试卷（3月） 【详解】（1）解：该抽样的样本容量为， ， 抽取学生成绩的平均数， 所以抽取学生成绩的平均数可能位于，但不能确定一定位于该组， 故答案为：30、否； （2）解：全校1200名学生中，等级的人数可以估计为（名， 故答案为：200名； （3）列表如下： 70 71 72 73 74 76 6 5 4 3 2 76 6 5 4 3 2 77 7 6 5 4 3 78 8 7 6 5 4 79 9 8 7 6 5 由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有3种结果， 所以他们的分数之差不低于8分的概率为； 甲组数据为75、76、76、77、78、79， 其平均数为， 方差， 乙组数据为70、71、72、73、74、75， 其平均数为， 方差； ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体及方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． 5．（2024·北京八一教育集团&北京十九中·零模）阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下条形和扇形统计图． (1)补全条形图，并写出阅读课外书册数的众数和中位数； (2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数； (3)学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，直接写出最多补查的人数． 【答案】(1)丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5； (2)420人； (3)3人． 【来源】2024年北京市八一教育集团、北京市第十九中学中考零模数学试题 【详解】（1）解：设阅读5册书的人数为，由统计图可知：， ， 条形统计图中丢失的数据是14，阅读课书册数的众数是5，中位数是5； （2）解：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为（人）， 答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人； （3）解：设补查了人， 根据题意得，， ， 最多补查了3人． 题型02 频数分布直方图 析典例·建模型 6．（2024·北京·模拟）甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如表： 平均数 中位数 众数 优秀率 84 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）； (2)根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）； (3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选． 【答案】(1)A (2)乙，理由见解析 (3)88 【来源】2024年北京市中考数学模拟猜题卷01 【详解】（1）解：把甲学校学生成绩从小到大排列后位于第25位，26位分别为， ∴甲学校学生成绩的中位数为， ∵乙学校学生成绩的中位数为84， ∴这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A， 故答案为：A； （2）解：根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为： 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多； 甲校的优秀率为， 与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多； 故答案为：乙与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多； （3）解：， 即50人中取前15名， 故第15名是88分， 所以预估甲学校分数至少达到88分的学生才可以入选， 故答案为：88． 研考点·通技法 1. 准确读取“组距”和“组数” 这是读图的第一步。组距是每组两端点的差值，一般是等距的。被分成了几段就是几组，所有组的宽度（组距）应该相同。 2. 理解“频数”与“频率”关系 · 频数是每个小长方形的高度，代表落在该组的数据个数。 · 频率 = 频数 ÷ 总数。如果纵轴是“频数”，直接看高度；如果纵轴是“频率/组距”，则需要用“频率/组距 × 组距”来计算频率。 · 各组的频率之和恒为1，频数之和恒为总数。这个性质常用来求未知组的频数。 破类题·提能力 7．（2025·北京东城·二模）某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21  23  24  25  26  26  26  27  27  28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为_____； (2)4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； (3)根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 【答案】(1)26； (2)25.8；20； (3)D． 【来源】2025年北京市东城区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：根据排序后的数据可得： （2）解：4月份30天的日平均气温的平均数是， 气温为及以上的天数为(天) （3）解：A、平均数为25，中位数为22， 这组数据为，中位数， 平均数， ∴， 即， ∴， ∴有可能或，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故A选项不符合题意． B．平均数为23，众数为25 设这组数据为，众数是25，则至少有2个25 平均数， ∴， 假设， 即， ∴有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故B选项不符合题意． C．中位数为23，众数为25 设这组数据为，中位数，众数是25，则至少有2个25， 有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故C选项不符合题意． D．平均数为25，方差 设这组数据为， 平均数， ∴ 即， 假设， 则， ∴与 矛盾， ∴这组数据中每个数据都不低于，可以判定入夏，故D选项符合题意． 故选：D 8．（2025·北京石景山·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）： b．A课程成绩在80≤x＜90这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 【答案】(1)82 (2)A (3)①② (4)120 【来源】2025年北京市石景山区中考二模数学试题 【详解】（1）解：∵A课程总人数为20， ∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在80≤x＜90这一组， ∴中位数在80≤x＜90这一组， ∵80≤x＜90这一组的是：80，81，83，84，85，85，85，前三组共个数据， ∴A课程的中位数为 ，即； （2）∵该学生的成绩大于A课程的中位数，而小于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A， 故答案为： A． （3）∵， ∴学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；故①正确； ∵学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，均在相应的中位数之上，所以按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名， 因此②正确； 故选：①② （4）由题意可得，人， 即估计A课程成绩不低于80分的学生有人． 9．（2025·北京朝阳·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； (3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 【答案】(1) (2)不能 (3)①；②二，一 【来源】2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：甲在这30天的送外卖量中，排在第15和16的是27和29， 则中位数； 乙在这30天的送外卖量中，39出现的次数最多，出现了8次， 则众数； （2）解：， 由频数分布直方图可知，平均送单量在“”及“”区间的人数共人，占抽样100人的，即这部分人对应前， 而甲的平均值为35.2，落在“”区间，并不在45以上那一组中， 故估计甲不能进入前400名，得不到奖金； （3）解：甲、乙的30天的日平均送单量都是35.2单/天 ， 则这30天甲、乙的总送单量为（单）， 因而二人总工资 (元)， 所以甲的工资 =乙的工资， ②若甲按“方案二”的总收入为(元)， 大于其在“方案一”下的6780元， 因此甲应选“方案二”， 若乙按“方案二”的总收入为(元)， 小于其在“方案一”下的6780元， 因此乙应选“方案一”． 10．（2025·北京丰台·二模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． (1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79  84  85  85  88  88  88  89  90  93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； (2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 【答案】(1)①88，3；②平均数； (2)94 【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：①教师评分中出现次数最多的数据位88，故众数为88，即：； 由直方图可知，学生评分数据的第25个和第26个数据均位于第三组；故中位数位于第三组； ②学生评分的众数为87，与数据70无关，故众数不变，中位数由第25个数据和第26个数据的平均数变为第25个数据，中位数可能不变，也可能变小，平均数受极端值影响，去掉一个比平均数小的数，平均数会变大，故一定变大的是平均数； （2）；， ， ∵， ∴，解得：， 当时： ，满足题意； 当时： ，满足题意； 当时：，不满足题意； 当时，，不符合题意； 故整数的最大值为94． 题型03 折线统计图 析典例·建模型 11．（2026·北京昌平·一模）2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 【答案】(1)28.5 (2) (3)乙、甲、丁、丙 【来源】北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习 数学试卷 【详解】（1）解：丙区域12个月的月均浓度从小到大排列为：20，21，24，27，28，28，29 ，29，30，31，32，32， ∵第6个和第7个数据分别为28，29， ∴丙区域12个月的月均浓度的中位数； （2）解：根据折线图可以看出，甲区域12个月的月均浓度大约分布于14至31，乙区域12个月的月均浓度大约分布于16至28，可以发现乙区域12个月的月均浓度比甲区域12个月的月均浓度波动较小，更加稳定， 所以乙区域12个月的月均浓度的方差小于甲区域12个月的月均浓度的方差， 故； （3）解：∵甲、乙、丙、丁四个区域12个月的月均浓度的平均数分别为23.6、23.6、27.6、23.6， ∴由平均数比较，甲、乙、丁三个区域的全年月均浓度的平均数尽可能低，丙区域的12个月的月均浓度最高； ∵甲、丁两个区域的方差分别为30.8、30.8，乙区域的方差， ∴乙区域的全年月均浓度的波动幅度小，甲、丁两个区域的全年月均浓度的波动幅度较大， ∵甲区域的全年12个月的月均浓度的中位数为22.5，平均数为23.6，丁的全年12个月的月均浓度的中位数为24.0，平均数为23.6， ∴甲区域的全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份比丁区域的多， ∴四个区域按空气质量从高到低依次为：乙、甲、丁、丙． 研考点·通技法 1. 读清横纵轴，锁定对象 先看图标题、横轴（如时间、次数）和纵轴（数量、百分比）的含义及单位。特别注意图例，区分多条折线各自代表什么。 2. 分析变化趋势（高频考点） · 描述趋势：用“上升”“下降”“波动上升”“持平”等词描述。如问成绩变化，说“整体呈波动上升趋势”比“上升了”更严谨。 · 计算变化量：增减量 = 后点值 – 前点值，年均增长率或变化率常需计算。 3. 计算关键统计量 · 极差 = 最大值 – 最小值。 · 方差/标准差：折线上下波动越大，方差越大，数据越不稳定。若两条折线平均水平相近，选方差小（波动小） 的更稳定。 · 中位数：把所有纵坐标数值排序后取中间值。 4. 比较两幅图（或两条折线） 常要求结合数据说理。需分两步：先比平均水平（平均数/中位数），再比稳定性（方差/极差）。 破类题·提能力 12．（2026·北京西城德胜中学·中考模拟）为了解三款轮胎的最远行驶里程（单位：）情况，某汽车生产企业分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下： ②C款轮胎的最远行驶里程： ③三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如表： 轮胎 A B C 平均数 100 100 中位数 99 99 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)三款轮胎最远行驶里程平均数越大轮胎质量越好；若最远行驶里程平均数相同，则方差越小轮胎的质量越好．三款轮胎中质量最好的是________；若该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有________个． 【答案】(1)； (2)B，． 【来源】北京市西城区德胜中学2025--2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试题 【详解】（1）解：款轮胎的最远行驶里程的平均数：， A款轮胎的最远行驶里程排在中间的两位数是和， ∴中位数：； （2）解：A，B两款轮胎最远行驶里程的平均数相同，且比C款大，所以A，B两款轮胎质量较好，又因为B款轮胎的波动比A款小，即B款轮胎的方差比A款轮胎的方差小， ∴B款轮胎的质量最好； 最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有： （个）． 13．（2026·北京八一教育集团·零模联考）北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为___________，的值为___________； (2)表中___________1.2（填“”“”或“”） (3)大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）； 第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是______同学，该同学的W分是_______分． 【答案】(1)94，94 (2) (3)甲，282 【来源】2026年北京市八一教育集团九年级零模联考试卷 数学学科 【详解】（1）解：甲同学成绩的10个数据排序为92，93，93，94，94，94，94，95，95，96，第5个和第6个数据均为94， 故； ； （2）解：由折线图可知，乙同学成绩的波动性明显高于甲同学成绩的波动性， 故乙同学成绩的稳定性低于甲同学成绩的稳定性，即乙同学的方差大于甲同学， ∴； （3）解：∵四位同学成绩的平均数相同，甲和丁两位同学的方差相同且均比乙和丙两位同学的方差小， ∴甲和丁两位同学进入第三轮， ∵甲同学在10次测试中，出现次数最多的分数是94分，丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分， ∴甲同学的分数的众数为94分，丁同学的分数的众数为93分， 又∵甲同学的分数的中位数为94分，丁同学的分数的中位数为93.5分， ∴（分），（分）， ∵， 故最终当选正式参赛队员的是甲同学，该同学的W分是282分． 14．（2025·北京·中考模拟）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分． 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前． 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图： b．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 88 m 94 90 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲班五个单项得分的中位数为： ； (2)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分 ； (3)甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是 班（填“甲”或“丙”）； (4)若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为 （得分为整数）． 【答案】(1)92 (2)83 (3)丙 (4)95 【来源】专题21 统计与概率（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编 【详解】（1）解：由折线统计图知，甲班得分按由低到高排列为80，83，92，93，98，则中间位置的分数是92，即中位数为92； 故答案为：92； （2）解：在80，84，86，83，82中，去掉最高分86，去掉最低分80， 则； 故答案为：83； （3）解：甲班的团体得分为：， 丙班的团体得分为：， 则丙班更靠前； 故答案为：丙； （4）解：由（3）知，乙的团体得分为446，则， 则可能得分为95分； 故答案为：95． 15．（2025·北京海淀·人大附中零模）根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 (1)表中______，______； (2)从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； (3)该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)应该推荐乙选手，理由见解析 【详解】（1）解：甲得分排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4， ∴中位数为9.1， ∴； ， 故答案为：9.1，9.1； （2）解：由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则选手乙发挥的稳定性更好， ∴， 故答案为：； （3）解：应该推荐乙选手，理由如下： 乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高， ∴应该推荐乙选手． 题型04统计与概率综合 析典例·建模型 16．（2025·北京十一学校·中考模拟）【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 杏树叶的长宽比 【问题解决】填空： (1)上述表格中：___________，___________； (2)这两种树叶从长宽比的角度看，___________树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于___________树的可能性比较大． (3)三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 【答案】(1)； (2)杏；杨 (3) 【详解】（1）解：将杨树叶的长宽比重新排列为、、2、、、、、、、， 所以其中位数， 杏树叶的长宽比的众数， 故答案为：，； （2）解：由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差， 所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小； ， 所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大， 故答案为：杏，杨； （3）解：根据题意画树状图如下： ∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种． ∴恰好小娟小东被选中的概率为． 研考点·通技法 1. 第一步：完整读取数据 通览所有图表（扇形图、条形图、直方图、折线图），找出它们的共同部分。比如，扇形图给出百分比，条形图给出具体人数，用“部分量 = 总量 × 百分比”求出总量后，再补全其他图表。 2. 第二步：回答问题 · 概率题：找准总数和符合条件数，直接用公式。 · 统计题：按需计算平均数、中位数、众数、方差。 · 决策题：必须兼顾“水平”（平均数/中位数）和“稳定性”（方差/极差），两者结合才能下结论。 破类题·提能力 17．（2025·北京人大附中·二模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小志从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． (3)老师又统计了小石所在班级的三名学生这天的脂肪摄入量，见下表．老师从这三名学生中随机选两位，则她们的脂肪摄入量均达标的概率为______． 学生 小静 小华 小畅 脂肪摄入量（克） 54 66 70 【答案】(1)小志喝了2盒牛奶和1盒豆浆 (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析 (3) 【来源】2025年北京市点 中国人民大学附属中学中考数学二模模拟试卷 【详解】（1）解：设小志喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意： ， 解得：， 答：小志喝了2盒牛奶和1盒豆浆； （2）解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）知小志这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆， 则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为， 则这天小志这天共摄入脂肪， ， ∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． （3）解：由表格知，脂肪摄入量均达标的是小华和小畅， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中脂肪摄入量均达标的有2种， ∴她们的脂肪摄入量均达标的概率为． 18．（2025·北京101中·一模）今年我市举行了“交通安全进校园，文明出行护成长”的活动．某校数学课外实践小组为了调研我校学生对交通法规的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解交通法规的有________人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的A，B，C，D四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表法或画树状图法求A和B两名同学同时被选中的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【详解】（1）抽取的学生人数为(人), ∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为 ； 估计全校非常了解交通法规的约有(人)， 故答案为: ，； （2）B．比较了解的人数为(人)， 补全条形统计图如图所示. 学生对交通法规了解情况条形统计图 （3）画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种, ∴和两名同学同时被选中的概率为． 19．（2024·北京东城·二模）已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人； (3)甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【详解】（1）本次抽取的学生有：（人）， 其中选择的学生有：（人）， 补全的条形统计图如右图所示； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：， 该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地的大约有：（人）， （3）树状图如下所示： 由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种， 两校恰好选取同一个基地的概率为． 20．（2025·北京大兴·二模）为了解某校九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行统计，结果如下表，并绘制了如下尚不完整的统计图，已知，两组发言的人数比为：，请结合图表中相关数据回答下列问题： 组别 课堂发言次数 (1)本次抽样的学生人数为______； (2)补全条形统计图； (3)该年级共有学生人，请估计这天全年级发言次数不少于的人数； (4)已知组发言的学生中有位女生，组发言的学生中有位男生，现从组与组中分别抽一位学生写报告，请用树状图或列表法，求所抽到的两位学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3)全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为90人 (4) 【详解】（1）解：由题意得E组人数为10÷5×2=4（人）， ∴本次抽样的学生人数为4÷8%=50人， 故答案为：50； （2）解：C组人数为50×30%=15（人），B组人数所占百分比为10÷50=20%， ∴F组人数所占百分比为1－6%－20%－30%－26%－8%=10%， ∴F组的人数为50×10%=5（人）， 补全直方图如下： （3）解：E、F两组人数所占的百分比的和为8%＋10%=18%， 500×18%=90（人）， 答：全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为90人； （4）解：A组人数为50×6%=3（人），有女生一名，则有男生为3-1=2（人）， ∵E组人数为4人，有男生2人，则E组有女生2名， ∴由题意可画树状图为： ∴由一男一女有6种情况，共有12种情况，于是所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为． （建议用时：30分钟） 刷模拟 1．（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】(1)8 (2)，9 (3)丙，乙 【来源】2026年北京市海淀区九年级一模数学试卷 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【详解】（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 2．（2026·北京石景山·一模）某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 【答案】(1) ， (2) (3) 乙、甲、丙 【来源】北京市石景山区2026年九年级统一练习（一模）数学 【分析】（1）根据折线图读出甲、乙的得分数据，将甲的得分从小到大排列，找出中间两个数的平均数即为中位数；找出乙的得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算乙的平均数，利用方差公式计算乙的方差，或者通过观察数据的波动程度判断方差大小，再与甲的方差进行比较． （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙、丙的综合成绩，若综合成绩相同，则比较实践操作测试成绩的平均数，从而确定排名顺序． 【详解】（1）解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． （2）解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． （3）解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙． 3．（2026·北京顺义·一模）某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中n的值为_____； (2)对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 【答案】(1) (2)乙； 【来源】2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 【分析】（1）根据中位数的定义分析即可求解； （2）比较平均数和方差，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学的得分从小到大排列为：，，， 则中位数； （2）解：依题意，丙在四位同学中排序第三， 乙、丁的平均成绩较大，排前两位，乙、丁平均数相同，而乙的方差较小，则这四位同学中排序最靠前的是乙； 当丙在四位同学中排序第三，则， ∴ 当时，则甲排第三，不合题意； 当时，则则丙排第三，符合题意 4．（2026·北京大兴·一模）为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，； b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：_______，_____； (2)社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）； (3)相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表： 甲组叶绿素含量 乙组叶绿素含量 若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 【答案】(1)， (2) (3)甲 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）计算其余13个数据的平均数，与比较大小，即可求解； （3）分别计算甲、乙两组数据的方差，再根据方差越小数据越稳定的原则进行判断． 【详解】（1）解：中位数是第8个数，；出现最多，众数． （2）解：． （3）解：甲组数据的方差，乙组数据的方差， 因为， 所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 5．（2026·北京三帆中学·零模）在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 【答案】(1)， (2)B (3)C，B，A 【来源】北京市三帆中学2026年中考零模试题 数学 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【详解】（1）解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． （2）解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． （3）解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 6．（2026·北京西城·统一测试）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】(1)，， (2)乙，丁，丙，甲 【来源】2026年北京市西城区九年级统一测试试卷 数学 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 【详解】（1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 7．（25-26九下·北京三帆中学·开学考）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 (1)写出表中m，n的值； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数    ②中位数    ③众数    ④方差 【答案】(1)66，70 (2) (3)③ 【来源】北京市三帆中学2025—2026学年九年级下学期开学考数学试卷 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （3）把甲中的一个60换成70后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． 【详解】（1）解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； （2）解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； （3）解：把甲中的一个60换成70后， 新数据是： 60分，66分，66分，70分，70分，70分，70分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． 8．（2025·北京海淀·人大附中零模）南山区某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分．运动能力测试由位专业测试员打分，每位测试员最高打分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 、、三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的上四分位数 运动能力测试成绩 方差 任务1：________，________； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：综合以上情况，如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：， 任务2：综合成绩最高的是A款机器人 任务3：选择款机器人，理由见解析 【详解】任务1：解：由折线统计图可知款机器人的得分由低到高排列分别为：分、分、分、分、分、分、分、分、分、分， 其中第和第均为分， 款机器人得分的中位数是分； 由扇形统计图可知，款机器人得分的占， 款机器人得分的上四分位数是， 故答案为：，； 任务2：解：款机器人的综合成绩为（分）， 款机器人的综合成绩为（分）， 款机器人的综合成绩为（分）， ， 综合成绩最高的是款机器人； 任务3：解：选择B款机器人，理由如下： 款机器人和款机器人的综合成绩相差不大 但由表可知，， 款机器人的运动能力测试成绩更稳定， 选择款机器人． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 统计和概率问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年数据分析（样本估计总体）：给定10个工件质量数据，先统计合格品个数，再按比例估算200个工件中的总数。2025年· 数据分析：结合折线图、方差等统计量，分析运动员的百米成绩稳定性。 命题趋势：· 一个不变：地位与基础性。总分值稳定在 10分，难度较低，依然是“基础得分版块”。出题套路固定：一道基础概率题（填空/选择）加一道数据分析解答题。 ·强化真实情境。解答题不再单纯算数，而是融入 BMI指数、体育成绩、企业生产 等现实背景。这要求你能读懂图表（如折线图），并理解 平均数、方差 在实际情境中的意义（如“判断成绩稳定性”）。 ·强化决策能力。这是趋势核心！题目不止问你“数据是什么”，更会问你“该选谁”以及“为什么”。你必须能综合运用统计数据，做出合理的判断和决策。 2026年预测：1. 狠抓基础概念：不要钻牛角尖，确保概率公式、方差计算、中位数定义等基本功 100% 熟练。 2. 专练“说理”题：找含 “你认为哪个更合理/稳定，并说明理由” 的题，训练用数据支撑观点的逻辑表达。 3. 适应多样图表：熟悉 扇形图、条形图、折线图、频数分布表 的读图技巧，这通常是解题第一步。 题型01 扇形统计图 析典例·建模型 1．（2025年北京市西城区第三十五中学中考数学零模）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 研考点·通技法 1. 补全统计图：已知总数和某部分百分比，用乘法算出数量；已知两部分数量，先求和得总数。 2. 求总体数量：用“某部分的具体数量 ÷ 该部分所占百分比”。 3. 求圆心角度数：先用部分除以总数得百分比，再乘以 360°。反过来，已知圆心角也能反推百分比。 4. 估算整体：如果扇形图是样本，就用“样本中某部分百分比 × 总体数量”。 破类题·提能力 2．（2026·北京第五中学·零模）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ (3)根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 3．（2025·北京平谷·一模）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______________________，___________ (2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 4．（2025·北京首都师大附中育鸿学校·零模）某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图． a．抽取学生成绩等级人数统计表 等级 A B C D E 人数 m 9 10 4 2 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是． c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 70，71，72，73，74，76，76，77，78，79 根据以上信息，回答下列问题： (1)该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）； (2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ； (3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）． 5．（2024·北京八一教育集团&北京十九中·零模）阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下条形和扇形统计图． (1)补全条形图，并写出阅读课外书册数的众数和中位数； (2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数； (3)学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，直接写出最多补查的人数． 题型02 频数分布直方图 析典例·建模型 6．（2024·北京·模拟）甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如表： 平均数 中位数 众数 优秀率 84 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）； (2)根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）； (3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选． 研考点·通技法 1. 准确读取“组距”和“组数” 这是读图的第一步。组距是每组两端点的差值，一般是等距的。被分成了几段就是几组，所有组的宽度（组距）应该相同。 2. 理解“频数”与“频率”关系 · 频数是每个小长方形的高度，代表落在该组的数据个数。 · 频率 = 频数 ÷ 总数。如果纵轴是“频数”，直接看高度；如果纵轴是“频率/组距”，则需要用“频率/组距 × 组距”来计算频率。 · 各组的频率之和恒为1，频数之和恒为总数。这个性质常用来求未知组的频数。 破类题·提能力 7．（2025·北京东城·二模）某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21  23  24  25  26  26  26  27  27  28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为_____； (2)4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； (3)根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 8．（2025·北京石景山·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）： b．A课程成绩在80≤x＜90这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 9．（2025·北京朝阳·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； (3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 10．（2025·北京丰台·二模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． (1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79  84  85  85  88  88  88  89  90  93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； (2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 题型03 折线统计图 析典例·建模型 11．（2026·北京昌平·一模）2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 研考点·通技法 1. 读清横纵轴，锁定对象 先看图标题、横轴（如时间、次数）和纵轴（数量、百分比）的含义及单位。特别注意图例，区分多条折线各自代表什么。 2. 分析变化趋势（高频考点） · 描述趋势：用“上升”“下降”“波动上升”“持平”等词描述。如问成绩变化，说“整体呈波动上升趋势”比“上升了”更严谨。 · 计算变化量：增减量 = 后点值 – 前点值，年均增长率或变化率常需计算。 3. 计算关键统计量 · 极差 = 最大值 – 最小值。 · 方差/标准差：折线上下波动越大，方差越大，数据越不稳定。若两条折线平均水平相近，选方差小（波动小） 的更稳定。 · 中位数：把所有纵坐标数值排序后取中间值。 4. 比较两幅图（或两条折线） 常要求结合数据说理。需分两步：先比平均水平（平均数/中位数），再比稳定性（方差/极差）。 破类题·提能力 12．（2026·北京西城德胜中学·中考模拟）为了解三款轮胎的最远行驶里程（单位：）情况，某汽车生产企业分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下： ②C款轮胎的最远行驶里程： ③三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如表： 轮胎 A B C 平均数 100 100 中位数 99 99 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)三款轮胎最远行驶里程平均数越大轮胎质量越好；若最远行驶里程平均数相同，则方差越小轮胎的质量越好．三款轮胎中质量最好的是________；若该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有________个． 13．（2026·北京八一教育集团·零模联考）北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为___________，的值为___________； (2)表中___________1.2（填“”“”或“”） (3)大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）； 第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是______同学，该同学的W分是_______分． 14．（2025·北京·中考模拟）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分． 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前． 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图： b．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 88 m 94 90 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲班五个单项得分的中位数为： ； (2)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分 ； (3)甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是 班（填“甲”或“丙”）； (4)若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为 （得分为整数）． 15．（2025·北京海淀·人大附中零模）根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 (1)表中______，______； (2)从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； (3)该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 题型04统计与概率综合 析典例·建模型 16．（2025·北京十一学校·中考模拟）【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 杏树叶的长宽比 【问题解决】填空： (1)上述表格中：___________，___________； (2)这两种树叶从长宽比的角度看，___________树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于___________树的可能性比较大． (3)三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 研考点·通技法 1. 第一步：完整读取数据 通览所有图表（扇形图、条形图、直方图、折线图），找出它们的共同部分。比如，扇形图给出百分比，条形图给出具体人数，用“部分量 = 总量 × 百分比”求出总量后，再补全其他图表。 2. 第二步：回答问题 · 概率题：找准总数和符合条件数，直接用公式。 · 统计题：按需计算平均数、中位数、众数、方差。 · 决策题：必须兼顾“水平”（平均数/中位数）和“稳定性”（方差/极差），两者结合才能下结论。 破类题·提能力 17．（2025·北京人大附中·二模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小志从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． (3)老师又统计了小石所在班级的三名学生这天的脂肪摄入量，见下表．老师从这三名学生中随机选两位，则她们的脂肪摄入量均达标的概率为______． 学生 小静 小华 小畅 脂肪摄入量（克） 54 66 70 18．（2025·北京101中·一模）今年我市举行了“交通安全进校园，文明出行护成长”的活动．某校数学课外实践小组为了调研我校学生对交通法规的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解交通法规的有________人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的A，B，C，D四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表法或画树状图法求A和B两名同学同时被选中的概率． 19．（2024·北京东城·二模）已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人； (3)甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 20．（2025·北京大兴·二模）为了解某校九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行统计，结果如下表，并绘制了如下尚不完整的统计图，已知，两组发言的人数比为：，请结合图表中相关数据回答下列问题： 组别 课堂发言次数 (1)本次抽样的学生人数为______； (2)补全条形统计图； (3)该年级共有学生人，请估计这天全年级发言次数不少于的人数； (4)已知组发言的学生中有位女生，组发言的学生中有位男生，现从组与组中分别抽一位学生写报告，请用树状图或列表法，求所抽到的两位学生恰好是一男一女的概率． （建议用时：30分钟） 刷模拟 1．（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 2．（2026·北京石景山·一模）某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 3．（2026·北京顺义·一模）某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中n的值为_____； (2)对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 4．（2026·北京大兴·一模）为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，； b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：_______，_____； (2)社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）； (3)相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表： 甲组叶绿素含量 乙组叶绿素含量 若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 5．（2026·北京三帆中学·零模）在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 6．（2026·北京西城·统一测试）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 7．（25-26九下·北京三帆中学·开学考）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 (1)写出表中m，n的值； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数    ②中位数    ③众数    ④方差 8．（2025·北京海淀·人大附中零模）南山区某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分．运动能力测试由位专业测试员打分，每位测试员最高打分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 、、三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的上四分位数 运动能力测试成绩 方差 任务1：________，________； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：综合以上情况，如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $