精品解析：辽宁大连市第二十高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025～2026学年度下学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：150分钟 试题分数：150分 卷Ⅰ 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积坐标公式计算得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式以及面积公式计算可得结果. 【详解】易知圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为. 故选：D. 3. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得. 故选：B 4. 已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】由已知， 在方向上的投影向量为. 故选：A． 5. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得. 【详解】由图象知函数周期，所以，所以， 又函数图象过点，，所以， 解得，又，所以，所以. 故选：A 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出及的值，令，按两角和的正弦公式展开求值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，所以，因为， 所以， 所以 ． 故选：B． 7. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将变形可得，从而可知的角平分线与垂直，故.再结合向量数量积的定义及可得，即可判断的形状. 【详解】∵和分别是与和同向的单位向量， ∴表示在的角平分线上的向量. ∵，∴， ∴的角平分线与垂直，∴. 又，∴， ∴为等边三角形. 故选：D. 8. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 化简下式，正确的是（    ） A. = B. = C. D. = 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 10. 已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D. 的单调递增区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设知周期，得的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A、B，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，所以，，故A错误，B正确； 对于C，，的图象向左平移个单位长度后得到 函数的图象，故C正确； 对于D，由，可得， 所以的单调递增区间为，D正确. 故选：BCD. 11. 对于函数（），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上有且只有一个零点 B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦函数的单调性可得A、B正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D正确. 【详解】对于A，当时，， 令，则， 当，为正弦函数的递减区间，此时， 所以有解，且只有一个零点，故A正确； 对于B，， 因为单调递增，所以，解得， 又，所以，故B正确； 对于C，由题可得，所以，故，此时， 令，则， 故，所以，故C错误； 对于D，， 若为偶函数，则，解得， 所以当时，的最小值为2，故D正确； 故选：ABD 卷Ⅱ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为是三角形内角，所以 又因为， 所以， 设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有， 即的外接圆的半径为． 故答案为： 13. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】， 要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 令，解得， 令，又，故函数的单调递增区间为． 故答案为：. 14. 已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简，由即可得出的范围，根据在上只有一个最大值点和零点即可得出关于的不等式，解出的范围即可. 【详解】 ， 由，且，则， 且在区间上只有一个最大值点和一个零点， ，解得， 的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角． （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在单位圆上得到，由三角函数的定义可得，根据诱导公式计算即可； （2）利用诱导公式化简，代入数据计算即可． 【小问1详解】 ∵点在单位圆上，∴， ∵为锐角，则，∴解得． ∴， ∴， ． 【小问2详解】 ． 16. 已知 （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）若，，求的值; （3）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的性质求最小正周期和单调递减区间； （2）利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解； （3）首先设，再转化为与有2个交点，求参数的取值范围. 【小问1详解】 的最小正周期是， 令， 得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 ，得， ， 因为，所以， 所以， 即. 【小问3详解】 ，则， 若函数在区间上有2个零点，即与在区间有2个交点， 如图， 即，得. 17. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【小问1详解】 因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； 【小问2详解】 不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． 【小问3详解】 因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 解得或， 即的取值范围为． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得，利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由得，利用向量求，最后由三角形的面积公式即可求解； （3）由已知有得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由由正弦定理有 ， ∵，，∴，整理得. 又∵，，，∴. 【小问2详解】 由 ∵，，，即 ∴， 解得（舍）或. ∴； 【小问3详解】 由已知有： ， 得，整理得 当且仅当时取到最小值，即取等号. 19. 若的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用两角和差公式结合辅助角公式可得，结合正弦函数即可得结果； （2）利用正弦定理结合两角和差公式可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得面积最大值. 【小问1详解】 因为，， 则， 可得， 则， 又因为，则，可得，则， 且，则， 可得，所以． 【小问2详解】 设，则， 因为，即， 可得，即． 由余弦定理可得，即， 又因为，则，解得， 当且仅当时等号成立， 可得， 所以面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度下学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：150分钟 试题分数：150分 卷Ⅰ 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 8. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 化简下式，正确的是（    ） A. = B. = C. D. = 10. 已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D. 的单调递增区间为 11. 对于函数（），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上有且只有一个零点 B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 卷Ⅱ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 13. 函数的单调递增区间为______． 14. 已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角． （1）求； （2）求的值. 16. 已知 （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）若，，求的值; （3）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围 17. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 19. 若的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $