精品解析：甘肃平凉市第七中学教育集团2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

平凉七中教育集团2025-2026学年度第二学期 八年级期中质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，3，5 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 4. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 25 B. 35 C. 40 D. 11 6. 如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（ ） A. 2cm B. 1.5cm C. 1.2cm D. 1cm 7. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ） A. B. C. -2．2 D. 9. 如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ 　 ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 13. 已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为__________. 14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 15. 小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小亮用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、、均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为________． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于E，若，求的度数． 20. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 22. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）的周长； （2）请判断是否是直角三角形，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，某校有一块四边形空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，求这块空地的面积． 24. 如图，在菱形中的对角线、相交于点O，，．求证：四边形是矩形． 25. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 26. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 27. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明： ①； ②直接写出的大小为________度． （2）如图②，取的中点O，连结，线段长度为________，线段长度的最小值为________． （3）【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点E在边上，点F在边上，且始终保持，连结，过点C作交直线于点Q，线段的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉七中教育集团2025-2026学年度第二学期 八年级期中质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，不是二次根式，不符合题意； B．不是二次根式，不符合题意； C．对任意实数，都有，一定是二次根式，符合题意； D．当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：、与不是同类二次根式，无法直接合并，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算正确，符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，3，5 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：∵， ∴无法构造三角形，故A错误； 对于选项B：∵， ∴无法构造直角三角形，故B错误； 对于选项C：∵， ∴无法构造直角三角形，故C错误； 对于选项D：∵， ∴能构成直角三角形，故D正确． 4. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 25 B. 35 C. 40 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 根据勾股定理分别求出正方形F、正方形G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可． 【详解】解：∵正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3， ∴正方形F的面积，正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， 故选：B． 6. 如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（ ） A. 2cm B. 1.5cm C. 1.2cm D. 1cm 【答案】B 【解析】 【分析】三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；本题利用定理计算即可． 【详解】由BC的长为3cm，DE是△ABC的中位线， 得． 故选B． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理，熟记定理是解题的关键． 7. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 8. 如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ） A. B. C. -2．2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图方法可得， ∵点A在点B左侧，点B为原点， ∴点A表示的实数是， 故选：A． 9. 如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正八边形内角和， 则每个内角的度数． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ 　 ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，先整理，再比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 13. 已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可．本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为3和5， ∴斜边长为， 故答案为：． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 【答案】AB=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）． 还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 15. 小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小亮用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、、均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】容易证明，则，由勾股定理可得，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质先计算乘除部分，再化简合并同类二次根式即可； （）利用完全平方公式和平方差公式展开原式，再合并同类项得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于E，若，求的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线．熟练掌握平行四边形对角相等，邻角互补是解题的关键． 由平行四边形，是的平分线，可得，，， 计算求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，是的平分线， ∴，，， ∴，， ∴，． 20. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 21. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． 【小问2详解】 解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 22. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）的周长； （2）请判断是否是直角三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不是直角三角形．理由：由（1）可知， ，，，， ，即， ∴不是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得的三条边长后，再求该三角形的周长； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理知，，，， 故的周长； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，某校有一块四边形空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理的应用，连接，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和，进行求解即可，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形． 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形面积 ， ∴这块空地的面积为． 24. 如图，在菱形中的对角线、相交于点O，，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，先根据，，得出四边形是平行四边形，证明，根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形，根据，即可证明结论． 【详解】略 25. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据平行的性质判断出，再根据角平分线的性质进而判断出，得出，从而得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 【答案】 （1）BD=CD． 理由如下：依题意得AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD（三线合一）， ∴∠ADB=90°， ∴▱AFBD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC． 【详解】（1）略 （2）略 27. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明： ①； ②直接写出的大小为________度． （2）如图②，取的中点O，连结，线段长度为________，线段长度的最小值为________． （3）【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点E在边上，点F在边上，且始终保持，连结，过点C作交直线于点Q，线段的最小值为________． 【答案】（1）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； ② 90 （2）4， （3） 【解析】 【分析】（1）①利用证明，即可得出结论；②根据，，可得，进而可得； （2）斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据进行求解即可； （3）设和交于点O，取的中点P，连接，过点P作，证明，得到，根据斜边上的中线得出，勾股定理得出的长，根据即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， O为的中点， ， 在中，， ， ，当O，C，P三点共线时等号成立， 线段长度的最小值为； 【小问3详解】 解：设和交于点O，取的中点P，连接，过点P作， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，P为的中点， ， ，， ， ， ， ， ，当D，Q，P三点共线时等号成立， 线段长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $