精品解析：甘肃省平凉市第七中学集团校2024-2025学年八年级下学期第一次质量检测数学试卷

平凉七中教育集团2024-2025学年度第二学期 八年级期中质量检测数学卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 8，15，17 4. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 5. 已知图中两个正方形的面积分别为和，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 16 C. 36 D. 64 6. 如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（ ） A. 2cm B. 1.5cm C. 1.2cm D. 1cm 7. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（ ） A. B. C. D. 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 13. 对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：※＝，如3※2＝＝.那么8※4＝_____． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 15. 如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，． （1）若，，求和； （2）若，，求和． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于E，若，求的度数． 21. 每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了消防演练．如图，云梯长为10米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据：，，） （1）求云梯顶端与墙角的距离的长； （2）假如云梯顶端下方3米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 22. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）的周长； （2）请判断是否是直角三角形，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 24. 如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： （1）两条小路的长度； （2）菱形花坛的面积． 25. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 26. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 27. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉七中教育集团2024-2025学年度第二学期 八年级期中质量检测数学卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、不能继续化简，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的概念． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 3. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【详解】A. ，故不为直角三角形； B. 62+72≠82，故不为直角三角形； C. 22+32≠42，故不为直角三角形； D. 82+152=172，故为直角三角形． 故选D． 4. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 5. 已知图中两个正方形的面积分别为和，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 16 C. 36 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：依题意得 ∵正方形的面积等于， ． 正方形的面积为， ． 为直角三角形，根据勾股定理得： ，即字母A所代表的正方形的面积为． 故选：C． 6. 如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（ ） A. 2cm B. 1.5cm C. 1.2cm D. 1cm 【答案】B 【解析】 【分析】三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；本题利用定理计算即可． 【详解】由BC的长为3cm，DE是△ABC的中位线， 得． 故选B． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理，熟记定理是解题的关键． 7. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 8. 如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵，，， ， ， 点在数轴上所对应的数是， 故选：B． 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 10. 如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，由得就是的最小值，求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴就是的最小值， ∵正方形的边长为4，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是将转化为． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理， 熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， 故答案为∶13． 13. 对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：※＝，如3※2＝＝.那么8※4＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则进行计算即可得. 【详解】∵※＝， ∴8※4=， 故答案为. 14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 【答案】AB=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）． 还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 15. 如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是关键； （1）把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的除法计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式. 19. 如图，在中，． （1）若，，求和； （2）若，，求和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形和直角三角形的性质，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理和直角三角形的性质，运用方程的思想是解题的关键． （1）由中，，可得，设，则，利用勾股定理列方程即可求解； （2）由中，，可得为等腰直角三角形，可设，利用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，． ∴，． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于E，若，求的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线．熟练掌握平行四边形对角相等，邻角互补是解题的关键． 由平行四边形，是的平分线，可得，，， 计算求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，是的平分线， ∴，，， ∴，， ∴，． 21. 每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了消防演练．如图，云梯长为10米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据：，，） （1）求云梯顶端与墙角的距离的长； （2）假如云梯顶端下方3米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， ∴根据勾股定理，（米）， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为米； 【小问2详解】 （米）， 在中，（米）， （米）， 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离约为米． 22. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）的周长； （2）请判断是否是直角三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不是直角三角形．理由：由（1）可知， ，，，， ，即， ∴不是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得的三条边长后，再求该三角形的周长； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理知，，，， 故的周长； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 24. 如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： （1）两条小路的长度； （2）菱形花坛的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点O，根据菱形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，设与交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，， ∴，则， ∴，则； 【小问2详解】 解：由（1）得． 25. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据平行的性质判断出，再根据角平分线的性质进而判断出，得出，从而得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 【答案】 （1）BD=CD． 理由如下：依题意得AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD（三线合一）， ∴∠ADB=90°， ∴▱AFBD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC． 【详解】（1）略 （2）略 27. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $