精品解析：河北省博野中学2025-2026学年高一（清北实验班）下学期5月阶段检测数学试题

博野中学2026级清北实验班第一次考试 数学试卷 满分150分 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数定义域为（ ） A. [2，+∞) B. (2，+∞) C. (2，3)∪(3，+∞) D. [2，3)∪(3，+∞) 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 7. 设函数若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是． A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数、满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 三、填空题（每空5分，共15分） 12. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________. 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 14. 函数的值域为______. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）； （3）若，求实数a的取值范围． 16. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若时，恒成立，求实数的取值集合． 17. 回答下列问题 （1）已知，求的取值范围 （2）若，求的最小值 （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围 18. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求时的取值范围； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博野中学2026级清北实验班第一次考试 数学试卷 满分150分 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，则. 故选：C. 2. 函数定义域为（ ） A. [2，+∞) B. (2，+∞) C. (2，3)∪(3，+∞) D. [2，3)∪(3，+∞) 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以的定义域为. 故选：C. 【点睛】具体函数定义域的常见类型： （1）分式型函数，分母不为零； （2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零； （3）对数型函数，真数大于零； （4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上； （5）实际问题中的函数，要具有实际意义. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称的否定是特称，变符号，否定结论可得. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：D 4. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的真假性可得命题为真时，进而根据与的关系即可判断充分不必要条件. 【详解】由，可得对，，又因为，所以， 若，则成立，即，成立； 反之，若，成立，则，不能推出. 所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值，再将其作为自变量代入求出的值. 【详解】已知，此时函数. 把代入可得：.  由上一步得到，那么. 因为，此时函数. 把代入可得：. 故选：C. 7. 设函数若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得，讨论，解方程求，再讨论，解方程可得结论. 【详解】 令，由，得. ①时，，方程无解. ②时，， 或（舍去）， . 时，，则或（舍去）； 时，无解. 综上，. 故选：B. 8. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是． A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，同奇偶，则，由列出满足条件的所有可能情况即可. 【详解】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，所以 可能的取值为 共4个，同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，所以符合要求的共15个，故选B. 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】化简得，再利用集合的关系判断得解. 【详解】，所以. 设,设选项对应的集合为, 因为选项是“”的一个充分不必要条件， 所以是的真子集. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：判断充分必要条件的常用方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断得解. 10. 已知正实数、满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，，∴， 则，当且仅当，时取等，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B正确； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C,得 ，当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 三、填空题（每空5分，共15分） 12. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________. 【答案】④ 【解析】 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 14. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）； （3）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集与并集的运算求解即可； （2）由集合的补集运算与交集运算求解即可； （3）由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可. 【小问1详解】 集合，， 所以，. 【小问2详解】 或，所以. 【小问3详解】 因为集合，， ，则，故， 所以实数a的取值范围. 16. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若时，恒成立，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2）实数的取值集合为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可得的解集为，进而可得，求解即可. 【小问1详解】 设，又，所以，所以， 又，所以， 即，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 若时，恒成立，则的解集为， 即的解集为，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值集合为． 17. 回答下列问题 （1）已知，求的取值范围 （2）若，求的最小值 （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质求解取值范围即可. （2）对原式合理变形，利用基本不等式求最值即可. （3）对原式合理变形，将其变为，再利用基本不等式得到最值，进而求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 得到，则. 【小问2详解】 由题意得， ， 而，由基本不等式得， 当且仅当，此时解得， 则，故，得到的最小值是. 【小问3详解】 因为，所以， 得到，即， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而 此时解得，， 则， 而恒成立，得到. 18. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【答案】（1），其中， （2） 【解析】 【分析】（1）借助侧面与底面的建造成本及成本预算计算即可得； （2）法一：借助基本不等式可将转化为，在解不等式即可得；法二：利用表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由题设， 化简得，且； 【小问2详解】 法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 19. 已知函数. （1）当时，求时的取值范围； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式； 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可. （2）由一元二次不等式恒成立求出的范围. （3）分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，时，则，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 ①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，的解集为，即的解集为， 则有，即，解得. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 不等式， 即，即， 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，得或， ①当，又，得时，即时，有， 则解不等式，得或； ②当，即时有， 解不等式，得， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $