精品解析：河北雄安部分高中2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题

河北雄安部分高中2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 3 D. 3i 【答案】C 【解析】 【分析】根据虚部的概念，即可得答案. 【详解】因为，所以复数z的虚部为3. 2. 已知平面向量，的夹角为，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可. 【详解】因为平面向量，的夹角为，，， ， 所以． 3. 下面几何体的截面一定不是圆面的是（ ） A. 正四面体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 圆台 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的性质，分析即可得答案. 【详解】由题意得，圆柱的截面有可能为圆面，圆锥的截面有可能为圆面，圆台的截面有可能为圆面， 正四面体的截面一定不是圆面. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.若满足条件的三角形有2个，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以. 因为满足条件的三角形有2个，所以，即. 5. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若满足，此时，不为纯虚数， “”不是“复数为纯虚数”的充分条件， ， 若复数为纯虚数，则， ， “”是“复数为纯虚数”的必要条件． “”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B． 6. 已知向量，，，，且.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算及夹角公式列式求解. 【详解】由，，，得，解得，即， 由，，得， 由与的夹角为钝角，得，解得且， 所以实数t的取值范围为. 7. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，可得，由正弦定理边化角，结合两角差的正弦公式，可得，根据角的范围，整理求解，即可得答案. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理，得， 所以，即. 在锐角三角形中，，， 所以，即，所以. 8. 如图，在长方形中，，，以为直径在长方形内作半圆E，以为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为（ ） A. 8 B. C. 32 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】借助数量积公式可得，从而只需求出的最大值即可得解. 【详解】 因为， 所以转化为求的最大值， 因为，故， 当且仅当、、、四点共线，且按顺序排列时，等号成立， 故的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D. 棱台的侧面都是等腰梯形 【答案】BC 【解析】 【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据棱台的定义判断选项D. 【详解】对于A，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱， 而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误； 对于B，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确； 对于C，一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确； 对于D，棱台的侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D错误. 10. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到，据此逐项判断即可． 【详解】解：由复数z满足，得， 所以，故A正确； 复数的共轭复数是，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 复数对应的点为，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为， 所以所得向量对应的复数应为，故C错误； 由是关于x的方程的一个根，得另一个根为， 所以，解得，所以，故D正确． 11. 如图，四边形内接于半径为R的圆O，其中，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 圆O的周长为 C. D. 四边形的面积为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】连接，借助余弦定理及可得，即可得，从而可得A；再借助正弦定理可得B；根据平面向量的数量积定义及运算律求解判断C；借助面积公式计算可得D. 【详解】对于A，连接.在中，； 在中，， ，，解得. ，，故A正确； 对于B，由正弦定理，得， 圆O的周长为，故B正确； 对于C，由题意，故C正确. 对于D，， ， ∴四边形的面积，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为_____． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则在原四边形中，的长为______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据条件可得、的长度，根据斜二测画法的性质，可得原图中各个长度，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】将直观图还原为原图，如图. 在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，所以原四边形的边的长为9. 14. 在中，，D是边上一点，，，且，则边的长为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角差的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，可得CD，根据三角形的性质，可得BD，即可得答案. 【详解】，. ，， ， . 在中，，，. 在中，， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求实数k的值； （2）求的最小值及对应的x的值. 【答案】（1） （2）当时，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出结果即可. （2）根据向量的模的计算和向量的数量积以及二次函数的性质计算即可. 【小问1详解】 由与垂直，得，即 . 因为，，所以，，， 所以 ，解得. 【小问2详解】 因为，，所以，，， 所以. 所以当时，取得最小值，为. 16. 已知复数，（，i为虚数单位）. （1）若为实数，求实数m的值； （2）若的实部大于1，求实数m的取值范围； （3）若在复平面内所对应的点位于直线上，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加法法则，可得，由题意，虚部为0，即可得答案. （2）根据复数的运算法则，可得的实部，根据题意，列出不等式，即可求得答案. （3）根据复数的几何意义，结合题意，可得m值，代入所求，结合求模公式，即可得答案. 【小问1详解】 由复数，， 得， ∵复数z为实数，，解得. 【小问2详解】 ，. 的实部大于1，，解得 即实数m的取值范围是. 【小问3详解】 在复平面内所对应的点位于直线上，，解得. ，. 17. 某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示的四边形.考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形中，将三角形的区域设立成花卉观赏区，三角形的区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. （1）如果烧烤区是一个占地面积为平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（，精确到米）？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】（1）米 （2）应设计观赏步道米 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用余弦定理可求得的长，即为所求； （2）利用三角形的面积公式可知当是直角三角形时，烧烤区的占地面积最大，求出的长，设，，利用正弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变换可化简面积的表达式，根据面积最大求出的值，即可求得、的长，即为所求. 【小问1详解】 ，解得. 因为为钝角，所以. 由余弦定理得 （米）. 【小问2详解】 ，当且仅当时等号成立， 所以当是直角三角形时，烧烤区的占地面积最大，此时. 设，. 在中，由正弦定理得. 则 ， 因为，则， 故当且仅当，即时等号成立，此时， 所以应设计观赏步道米. 18. 如图，在中，E为边的中点，D为边上一点，且.线段与交于点P，直线与直线相交于点F. （1）若，求的值； （2）若，，，求的余弦值； （3）若，H为中线上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合向量的线性运算法则，可得，根据三点共线的性质，即可得答案. （2）根据线性运算法则，结合数量积公式、求模公式、夹角公式，代入计算，即可得答案. （3）根据线性运算法则及数量积公式，结合基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，即. 因为，，所以. 又因为D，E，F三点共线，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得. 因为，所以. 所以 . 因为 ， ， 所以. 【小问3详解】 因为E为边的中点，所以， 则. 由 ， ， ， 得， 即 ，当且仅当 时，等号成立. 所以 ， 即的最小值为. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件及正弦定理，结合两角和的正弦公式、诱导公式等，化简整理，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得的表达式，根据两角差的正弦公式、辅助角公式等，可得化简后的表达式，根据条件，可得角A的范围，根据三角函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 由及正弦定理得. 因为，所以. 所以，即. 所以，即. 因为，所以， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，所以，， 所以. 又 ， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得. 则，所以. 所以，则， 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北雄安部分高中2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 3 D. 3i 2. 已知平面向量，的夹角为，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 下面几何体的截面一定不是圆面的是（ ） A. 正四面体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 圆台 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.若满足条件的三角形有2个，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，，，，且.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，，，以为直径在长方形内作半圆E，以为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为（ ） A. 8 B. C. 32 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D. 棱台的侧面都是等腰梯形 10. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 11. 如图，四边形内接于半径为R的圆O，其中，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 圆O的周长为 C. D. 四边形的面积为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为_____． 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则在原四边形中，的长为______. 14. 在中，，D是边上一点，，，且，则边的长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求实数k的值； （2）求的最小值及对应的x的值. 16. 已知复数，（，i为虚数单位）. （1）若为实数，求实数m的值； （2）若的实部大于1，求实数m的取值范围； （3）若在复平面内所对应的点位于直线上，求. 17. 某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示的四边形.考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形中，将三角形的区域设立成花卉观赏区，三角形的区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. （1）如果烧烤区是一个占地面积为平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（，精确到米）？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 18. 如图，在中，E为边的中点，D为边上一点，且.线段与交于点P，直线与直线相交于点F. （1）若，求的值； （2）若，，，求的余弦值； （3）若，H为中线上的动点，求的最小值. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $