精品解析：河北博野中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

数学试题 考试时间：120分钟，分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【详解】画出图像如下图所示. 对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确. 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确. 对于C选项，由于，故结论错误. 对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确. 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 4. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 5. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 6. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 7. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 设点，则，，， 所以，， 则， 当且仅当，时，取最小值. 故选：B. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 当时，求与夹角为 C. 若在方向上的投影向量的模为，则或 D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量垂直的坐标运算求解判断B，根据投影向量的坐标公式列式求解判断C，根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D. 【详解】对于A，向量，且，所以，则，故A错误； 对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确； 对于C，由已知在方向上的投影向量的模为， 所以，解得或，故C正确； 对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线， 所以且，故D错误. 故选：BC 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 13. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围. 【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 则，，所以， 因为，所以，则， 故，即的取值范围是. 14. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 【答案】 【解析】 【分析】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案. 【详解】在中，，，则， 其中 ， 由正弦定理，得， 在中，，，则， 又，则， 又， 在中，由余弦定理，得 ， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 16. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. 【小问3详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 18. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. （1）求函数的解析式; （2）若是函数的一个零点，求的值； （3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，再由三角函数的图象变换，结合三角函数的性质，求得，得到，即可求得的解析式； （2）根据题意，转化为，得到，再由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，化简得到，代入即可求解； （3）令，根据题意，利用正弦函数的性质，转化为方程在上有2个不相等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 可得函数的最小正周期为，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：因为是函数 的一个零点， 即，可得， 由（1）知，所以，即， 又由， 因为，所以. 【小问3详解】 解：由（1）知，因为，可得， 令，当时，有两个解；当或时，有一个解， 若方程在上有4个不相等的实数根， 即为关于的方程在上有2个不相等的实数根， 设，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 19. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正余弦定理的边角关系及向量数量积的定义，结合已知可得，再由三角形的面积公式列方程求各边长； （2）根据是上的点，结合（1）得到，，进而得，最后应用基本不等式的“1”的代换求目标式的最小值. 【小问1详解】 由，则， 所以，故，则，故， 由，则， 综上，； 【小问2详解】 由，且是上的点， 所以，且， 所以，则， 当且仅当，且，即时取等号， 所以的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 考试时间：120分钟，分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 当时，求与夹角为 C. 若在方向上的投影向量的模为，则或 D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 13. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 14. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 16. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. （1）求函数的解析式; （2）若是函数的一个零点，求的值； （3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 19. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $