精品解析：广西贵港市港北区2025-2026学年春季期中教学质量检测八年级数学下册

2026年春季期期中教学质量检测八年级 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项：考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 6. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，且．若平行四边形的周长是16，则的长为（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如果n边形的内角和是它外角和的2倍，则等于 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 9. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为．固定边，向左“推”矩形，使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形对角线的交点，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A. B. 1 C. D. 2 11. 若点与点关于点对称，则的值是多少( ) A. B. C. D. 12. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④ 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 15. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为_________． 16. 已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的对应点．连接． （1）点的坐标为_______，点的坐标为_______，四边形的面积为_______； （2）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，如图： （1）以点为旋转中心，将顺时针转动，得到．在坐标系中画出，写出的坐标； （2）在（1）中，若上有一点，直接写出对应点的坐标； （3）作出关于点O的中心对称图形． 20. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点” （1）点的“短距”为______； （2）点的“短距”为3，求m的值； （3）若两点为“等距点”，其中点C的纵坐标为3，点D在第四象限，求a、b的值． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 23. 综合与实践 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）求的大小，并求出线段长度的最小值． 【方法应用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持.钢丝绳长度的最小值为多少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期期中教学质量检测八年级 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项：考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得，，再根据两直线平行，同旁内角互补可得．解题的关键是掌握：平行四边形的对边互相平行，对角相等． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴，， ∴， 即的度数为． 故选：D． 3. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断点的坐标符号特征（-，+），根据点坐标与象限的特征解题，点的符号（+，+），则点在第一象限，点的符号（-，+），则点在第二象限，点的符号（-，-），则点在第三象限，点的符号（+，-），则点在第四象限，据此解题. 【详解】解： 点的横坐标，点的纵坐标， 在第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查点坐标与象限的特征，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：因为，互相垂直，是的中点， 所以是直角三角形，是的一半，． 5. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 【答案】C 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标一样． 【详解】解：关于y轴对称的点的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查点坐标的对称，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点坐标的特点． 6. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，且．若平行四边形的周长是16，则的长为（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得∠DAE=∠AEB，再由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，从而得到∠BAE=∠AEB，继而得到AB=BE=3，再由平行四边形的周长是16，可得AB+BC=8，从而得到BC=5，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，AD∥BC，CD=AB，AD=BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3， ∵平行四边形的周长是16， ∴AB+BC=8， ∴BC=5， ∴CE=BC-BE=2． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 如果n边形的内角和是它外角和的2倍，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据n边的内角和为 和外角和为360 列方程即可求解． 【详解】解：依题意，列方程得 ＝2360 解得，n=6， 故选：C 【点睛】本题考查了多边形的内角和，外角和，熟记多边形内角和公式和外角和为360是解题的关键． 8. 如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】解：连接AC、BD．AC交FG于L． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵DH=HA，DG=GC， ∴GH∥AC， 同法可得：，EF∥AC， ∴GH=EF，GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同法可证：GF∥BD， ∴∠OLF=∠AOB=90°， ∵AC∥GH， ∴∠HGL=∠OLF=90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选B． 【点睛】题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为．固定边，向左“推”矩形，使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；由矩形的性质得，由题意得，四边形是平行四边形，得，由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，点B的坐标为， ∴， 由题意得：，四边形是平行四边形， ∴，， ∴点C的对应点的坐标为． 故选：D． 10. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形对角线的交点，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，以及正方形的性质，能够利用全等三角形对面积进行转化是解题的关键． 连接，易证，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接, 如图所示: ∵三个边长均为的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点， ，， ， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴两个正方形阴影部分的面积, 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 ， 故选: D． 11. 若点与点关于点对称，则的值是多少( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若两点关于某点对称，则该点是两点连线的中点，利用中点坐标公式求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于点对称 ∴点是线段的中点 根据中点坐标公式可得 ， ， 解得，， ∴ ． 12. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确； ②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确； ③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确； 由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS）， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG＝CD＝AB，故①正确； 连接AE， ∵ABCE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）， 在△BGA和△COD中， ， ∴△BGA≌△COD（SAS）， ∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确； ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△DOG， ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABG＝S△DGE， ∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：∵点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴，， ∴点 N的坐标为． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 15. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键要熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据点C，D分别是、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，从而可求槽宽的长． 【详解】∵把两根钢条、的端点连在一起，点C，D分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：11． 16. 已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的对应点．连接． （1）点的坐标为_______，点的坐标为_______，四边形的面积为_______； （2）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）在轴上存在一点或，使得三角形的面积是三角形面积的倍， 【解析】 【分析】（）根据平移的性质解答即可求解； （）设点的坐标为，则，可得，解方程求出即可求解； 本题考查了点平移，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由平移得，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴四边形的面积， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：在轴上存在一点或，使得三角形的面积是三角形面积的倍，理由如下： 设点的坐标为，则， ∵， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 19. 在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，如图： （1）以点为旋转中心，将顺时针转动，得到．在坐标系中画出，写出的坐标； （2）在（1）中，若上有一点，直接写出对应点的坐标； （3）作出关于点O的中心对称图形． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形和旋转的作图，准确作图是解题的关键． （1）分别作出点、、以点为旋转中心，顺时针转动，得到的对应点，顺次连接即可得到，写出的坐标即可； （2）根据（1）中的作图可知，绕原点顺时针旋转后，点的横坐标和纵坐标数值互换位置，并且纵坐标符号与原来相反，据此写出点的坐标即可； （3）分别作出点、、关于点O的中心对称点，顺次连接即可得到． 【小问1详解】 解：点的坐标是； 【小问2详解】 在（1）中，若上有一点，则对应点的坐标为； 【小问3详解】 略 20. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点” （1）点的“短距”为______； （2）点的“短距”为3，求m的值； （3）若两点为“等距点”，其中点C的纵坐标为3，点D在第四象限，求a、b的值． 【答案】（1）2 （2）或 （3），， 【解析】 【分析】（1）平面直角坐标系中，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此结合“短距”的定义比较出点A的横纵坐标的绝对值的大小即可得到答案； （2）根据“短距”的定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据“短距”的定义和点C的纵坐标可得点C的“短距”为1，且，即，进而得到，结合点D在第四象限得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴点的“短距”为2； 【小问2详解】 解：∵，且点的“短距”为3， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵，点C的纵坐标为3，且， ∴点C的“短距”为1，且，即， ∵两点为“等距点”， ∴点C和点D的“短距”相同， 又∵， ∴， ∵点D在第四象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，作于，于，则， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 23. 综合与实践 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）求的大小，并求出线段长度的最小值． 【方法应用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持.钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴； （2），线段的最小值是； （3） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形得到； （2）利用等腰三角形可得，再将转化成，时有最小值，即可求解； （3）求钢丝绳长度最小值，类比前面构造平行四边形，将转化为，通过找最小值求解．先构造平行四边形，得出相关边和角的关系，再利用直角三角形性质求最小值 ． 【详解】（1）略 （2）解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当最小时，线段也有最小值， 此时， ∴线段的最小值是； （3）解：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，最小，此时最小， 作于点， 在中，， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴线段长度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $