四川省成都市武侯外国语学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 以中国古代数学文化（如赵爽弦图、《九章算术》）和现实问题为情境，通过基础题（如不等式解集）、中档题（如分式方程）、创新题（如动态几何综合）的梯度设计，考查不等式、分式、几何变换等核心知识，凸显逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|中心对称图形、不等式性质、因式分解|第1题结合杨辉三角等古代数学图形考中心对称，体现文化传承| |填空题|10题40分|分式值为零、坐标平移、新定义运算|第23题以“相关点”新定义考查坐标变换与等腰三角形性质，培养创新意识| |解答题|8题78分|不等式组求解、三角形全等、动态几何|第18题等腰直角三角形动态综合题，融合全等推理与转化思想，提升推理能力|

四川省成都市武侯外国语学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）. 1．（4分）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上有重要影响．在下列四幅图形（杨辉三角、中国七巧板、刘徽割圆术、赵爽弦图）中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）在数轴上表示不等式x﹣1≥0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）已知a＞b，下列不等式中，一定正确的是（　　） A．a﹣8＞b﹣8 B．a﹣3＞b+3 C．﹣6a＞﹣6b D．a2＞b2 4．（4分）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（a﹣1）＝a2﹣a B．a2﹣4＝（a﹣2）2 C． D．a2﹣b2+3＝（a﹣b）（a+b）+3 5．（4分）如图，在△ABC中，BC＝15，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E．若△BCE的周长等于35，则线段AC的长为（　　） A．15 B．17.5 C．20 D．25 6．（4分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b（a＜0）相交于点P（20，25），则根据图象可知关于x的不等式x+5＜ax+b的解集是（　　） A．x＜0 B．0＜x＜20 C．x＜20 D．x＞20 7．（4分）把分式的分子分母中的a，b都扩大到原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 8．（4分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）若分式的值为零，则x＝　 　 ． 10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　 　 ． 11．（4分）已知关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 　 ． 12．（4分）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 　 　 ． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点F，作射线BF交AC于点G．若AC＝8，BC＝6，则AG的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（9分）（1）解不等式：3（x+2）＜x+8； （2）解不等式组：，并写出其整数解． 15．（9分）（1）解方程：； （2）分解因式：xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2． 16．（9分）先化简，再求值：，其中a从﹣1、0、1中选择一个合适的数代入求值． 17．（9分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣2，2），C（﹣5，3）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）； （2）将（1）中的△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A1，B1，C1的对应点分别是A2，B2，C2），请画出△A2B2C2； （3）在（1）（2）条件下，连接AO，A2O，AA2，求△AA2O的面积． 18．（12分）已知，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＞AD，连接BD，CE． （1）如图1，求证：BD＝CE； （2）如图2，点D在△ABC内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作△ADE的高AH，证明：BE＝CE+2AH； （3）如图3，点D在△ABC内，AD平分∠BAC，BD的延长线与CE交于点F，点F恰好为CE中点，若BC＝4，求线段AD的长． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）不等式组的解集为m＜x≤n，则2m+n＝　 　 ． 20．（4分）如图，长、宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为　 　 ． 21．（4分）·关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 　 　 ． 22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝　 　 ． 23．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（7，0），C（7，5），D（2，5）．给出如下定义：若点P关于直线l：x＝t的对称点Q在四边形ABCD的内部或边上，则称该点P为四边形ABCD关于直线l的“相关点”．点P（m，3）是四边形ABCD关于直线l：x＝1的“相关点”，且△ABQ是以AB为腰的等腰三角形，则m的值为 　 　 ；直线yx+b上存在点P，使得点P是四边形ABCD关于直线l：x＝1的“相关点”，则b的取值范围为 　 　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用10.5万元购买A型的台数与用7.5万元购买B型的台数相等． （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标为（3，0），直线AB交y轴于点B，点C为射线AB上一点． （1）如图1，OA＝OB，求直线AB的表达式； （2）在（1）的条件下，点D在x轴上，连接CO，CD，若CO＝CD且∠OCD＝45°，求点C的坐标； （3）如图2，点E是第一象限内一动点，且AE＝1．若AB平分∠OAE，CO＝CE，点M的坐标为（4，1），求MC+AC的最小值． 26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作DF⊥DE交BC点于F，连接EF． （1）如图1，EF与CD相交于点G： ①求证：AE＝CF； ②当AD＝CE，AC＝6时，求DG的长． （2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长． 四川省成都市武侯外国语学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）. 1．（4分）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上有重要影响．在下列四幅图形（杨辉三角、中国七巧板、刘徽割圆术、赵爽弦图）中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；七巧板．版权所有 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2．（4分）在数轴上表示不等式x﹣1≥0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【分析】解不等式x﹣1≥0得：x≥1，即可解答． 【解答】解：x﹣1≥0， 解得x≥1， 在数轴上表示为： 故选：C． 3．（4分）已知a＞b，下列不等式中，一定正确的是（　　） A．a﹣8＞b﹣8 B．a﹣3＞b+3 C．﹣6a＞﹣6b D．a2＞b2 【考点】不等式的性质．版权所有 【分析】根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣8＞b﹣8， ∴选项A正确，符合题意； ∵a＞b， ∴a﹣3＞b﹣3， ∴选项B错误，不符合题意； ∵a＞b， ∴﹣6a＜﹣6b， ∴选项C错误，不符合题意． ∵a＞b， ∴a2＞b2也可能a2＜b2， ∴选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4．（4分）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（a﹣1）＝a2﹣a B．a2﹣4＝（a﹣2）2 C． D．a2﹣b2+3＝（a﹣b）（a+b）+3 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 【解答】解：a（a﹣1）＝a2﹣a，是乘法运算，则A不符合题意； a2﹣4≠（a﹣2）2，则B不符合题意； ，符合因式分解的定义，则C符合题意； a2﹣b2+3＝（a﹣b）（a+b）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，则D不符合题意； 故选：C． 5．（4分）如图，在△ABC中，BC＝15，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E．若△BCE的周长等于35，则线段AC的长为（　　） A．15 B．17.5 C．20 D．25 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据△BCE的周长等于35，BC＝15，即可求出AC的长． 【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AE＝BE． ∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝35． 又∵BC＝15， ∴AC＝35﹣15＝20． 故选：C． 6．（4分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b（a＜0）相交于点P（20，25），则根据图象可知关于x的不等式x+5＜ax+b的解集是（　　） A．x＜0 B．0＜x＜20 C．x＜20 D．x＞20 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．版权所有 【分析】直接根据函数图象即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，当x＜20时，直线y＝x+5在直线y＝ax+b（a＜0）的下方， ∴不等式x+5＜ax+b的解集是x＜20． 故选：C． 7．（4分）把分式的分子分母中的a，b都扩大到原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【考点】分式的基本性质．版权所有 【分析】根据分式的性质逐项判断即可． 【解答】解：把分式的分子分母中的a，b都扩大到原来的4倍后为， 则分式扩大了4倍． 故选：A． 8．（4分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．版权所有 【分析】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间相等可得方程． 【解答】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天， 根据题意，得13． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）若分式的值为零，则x＝　﹣3　 ． 【考点】分式的值为零的条件．版权所有 【分析】根据分式的值为零的条件解答即可． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴x2﹣9＝0且x﹣3≠0， 解得x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　（6，0）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣平移．版权所有 【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【解答】解：∵点A（﹣2，0）的对应点C的坐标为（4，﹣3）， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴B（0，3）的对应点D的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 11．（4分）已知关于x的分式方程有增根，则m的值为 　　 ． 【考点】分式方程的增根．版权所有 【分析】根据分式方程的求解方法求出x＝1﹣m，再由x是方程的增根，得到等式1﹣m，即可求解． 【解答】解：方程两边同时乘以2x﹣1，得x﹣m＝2x﹣1， ∴x＝1﹣m， ∵方程有增根， ∴2x﹣1＝0，即x， ∴1﹣m， ∴m． 故答案为：． 12．（4分）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 　0≤m　 ． 【考点】一元一次不等式的整数解．版权所有 【分析】根据所给定义，得出关于x的不等式，再根据此不等式只有一个正整数解，得出关于m的不等式组，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， x※m＝x+3m， 所以x+3m＜2， 解得x＜﹣3m+2． 因为此不等式有且只有一个正整数解， 所以1＜﹣3m+2≤2， 解得0≤m． 故答案为：0≤m． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点F，作射线BF交AC于点G．若AC＝8，BC＝6，则AG的长为 　5　 ． 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】根据基本作图可判断BG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，再利用角平分线的性质得到GH＝GC，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：过G作GH⊥AB于H， 由作图得：BG平分∠ABC， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6． ∴AB， ∵∠C＝90°， ∴GC⊥BC， 又∵GH⊥AB，BG平分∠ABC， ∴GH＝GC， ∵BG＝BG， ∴Rt△CBG≌Rt△HBG（HL）， ∴BH＝BC＝6， ∴AH＝AB﹣BH＝10﹣6＝4， 设AG＝x． 则AH2+GH2＝AG2，即：42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴AG＝5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（9分）（1）解不等式：3（x+2）＜x+8； （2）解不等式组：，并写出其整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解，并写出整数解即可． 【解答】解：（1）3（x+2）＜x+8， 3x+6＜x+8， 3x﹣x＜8﹣6， 2x＜2， x＜1； （2）解不等式2x+1＞x得，x＞﹣1， 解不等式得，x≤3， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 则不等式组的整数解为0，1，2，3． 15．（9分）（1）解方程：； （2）分解因式：xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2． 【考点】解分式方程；因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】（1）将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后并检验即可； （2）将原式提取公因式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：6x+（x+3）（x﹣3）＝x（x﹣3）， 整理得：6x﹣9＝﹣3x， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+3）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x＝1； （2）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2 ＝x（x﹣y）[y﹣（x﹣y）] ＝x（x﹣y）（y﹣x+y） ＝x（x﹣y）（2y﹣x）． 16．（9分）先化简，再求值：，其中a从﹣1、0、1中选择一个合适的数代入求值． 【考点】分式的化简求值．版权所有 【分析】先将括号里的分式通分，计算分式的加法后，再将除法转化为乘法，约分化简，最后选一个使所给分式有意义的数代入计算． 【解答】解： ， 据题意可知a≠±1，a只能取0． ∴当a＝0时，原式． 17．（9分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣2，2），C（﹣5，3）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）； （2）将（1）中的△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A1，B1，C1的对应点分别是A2，B2，C2），请画出△A2B2C2； （3）在（1）（2）条件下，连接AO，A2O，AA2，求△AA2O的面积． 【考点】作图﹣旋转变换；三角形的面积；作图﹣轴对称变换．版权所有 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）△AA2O的面积为． 18．（12分）已知，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＞AD，连接BD，CE． （1）如图1，求证：BD＝CE； （2）如图2，点D在△ABC内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作△ADE的高AH，证明：BE＝CE+2AH； （3）如图3，点D在△ABC内，AD平分∠BAC，BD的延长线与CE交于点F，点F恰好为CE中点，若BC＝4，求线段AD的长． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE； （2）同理知：BD＝CE，先根据等腰三角形三线合一的性质得DH＝EH，再由直角三角形斜边中线的性质得DE＝2AH，最后由线段的和可得结论； （3）如图3，连接CD，设AM＝x，则AM＝DM＝x，DE＝2x，ADx，由（1）知△ABD≌△ACE，得∠ABD＝∠ACE，证明△ABD≌△ACD（SAS），得CD＝DE＝BD＝CE＝2x，计算CMx，根据B＝AC＝2，列方程可解答． 【解答】（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：如图2，∵AD＝AE，AH⊥DE，∠DAE＝90°， ∴DH＝EH， ∴AH＝DH＝EH， ∴DE＝2AH， 由（1）知：BD＝CE， ∵点D在△ABC内，B，D，E三点在同一直线上， ∴BE＝BD+DE＝CE+2AH； （3）解：如图3，连接CD， ∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠AMD＝90°， ∴AC⊥DE， 设AM＝x，则AM＝DM＝x，DE＝2x，ADx， 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠ANB＝90°，∠ANB＝∠CNF， ∴∠CFN＝∠BAC＝90°， ∴BF⊥CE， ∵F是CE的中点， ∴DE＝CD， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴BD＝CD， ∴CD＝DE＝BD＝CE＝2x， ∴CMx， ∵BC＝4， ∴AB＝AC＝2， ∵AB＝AC＝AM+CM＝2， ∴xx＝2， ∴x， ∴ADx＝22． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）不等式组的解集为m＜x≤n，则2m+n＝　2　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】先求出不等式组上的解集，得出m，n的值，再进行乘方运算即可． 【解答】解：解不等式得，x≤5； 解不等式2x﹣1＞x﹣5得，x＞﹣4， ∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤5， 又m＜x≤n， ∴m＝﹣4，n＝5， ∴2m+n＝2﹣4+5＝2， 故答案为：2． 20．（4分）如图，长、宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为　96　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96， 故答案为：96． 21．（4分）·关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 a≤5且a≠3　 ． 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．版权所有 【分析】根据分式方程的解以及增根的意义即可确定a的取值范围． 【解答】解：关于x的分式方程的两边都乘以x﹣1得， x+2﹣a＝3（x﹣1）， 解得x， 由于关于x的分式方程的解是非负数， ∴0， 即a≤5， 又因为分式方程的增根是x＝1， 当x＝1时，即1， 解得a＝3， ∴a的取值范围是a≤5且a≠3． 故答案为：a≤5且a≠3． 22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝　3　 ． 【考点】含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权所有 【分析】作EH⊥AC于H，由等边三角形的性质，推出△EFH≌△DEB（AAS），FH＝BE，EH＝BD＝6，由直角三角形的性质求出HC＝2，CE＝4，BCAB＝5，即可得到FH＝BE＝BC﹣CE，从而求出CF的长． 【解答】解：作EH⊥AC于H， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF＝60°，DE＝EF， ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝60°， ∵∠BED+∠DEF＝∠C+∠EFH， ∴∠BED＝∠EFH， ∵∠B＝∠EHF＝90°，DE＝EF， ∴△EFH≌△DEB（AAS）， ∴FH＝BE，EH＝BD＝6， ∴HCEH＝2， ∴CE＝2CH＝4， ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴BCAB15＝5， ∴BE＝BC﹣CE， ∴CF＝FH+CH23． 故答案为：3． 23．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（7，0），C（7，5），D（2，5）．给出如下定义：若点P关于直线l：x＝t的对称点Q在四边形ABCD的内部或边上，则称该点P为四边形ABCD关于直线l的“相关点”．点P（m，3）是四边形ABCD关于直线l：x＝1的“相关点”，且△ABQ是以AB为腰的等腰三角形，则m的值为 　﹣4或﹣1　 ；直线yx+b上存在点P，使得点P是四边形ABCD关于直线l：x＝1的“相关点”，则b的取值范围为 　　 ． 【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【分析】先求出P点，关于直线x﹣1的对称点Q（2﹣m，3），根据定义可得2≤2﹣m≤7求出m的取值范围，当△ABQ是以AB为腰的等腰三角形时，分两种情况，求解即可；在直线上任取两点（0，b），（﹣3b，0）关于直线x＝1对称的点为：（2，b），（2+3b，0），利用待定系数法求出两个对称点所在的直线的解析式，当直线经过点（7，5）时，b取最大值，当直线经过点（2，0）时，b取最小值，可得b取值范围． 【解答】解：P（m，3）关于直线x＝1的对称点Q（2﹣m，3），根据题意此点在矩形ABCD的内部或边上， ∵点A（2，0），B（7，0），C（7，5），D（2，5）． ∴2≤2﹣m≤7， 解得：﹣5≤m≤0， 当△ABQ是以AB为腰的等腰三角形时，分两种情况， ∵Q（2﹣m，3），A（2，0），B（7，0）， 当AB＝AQ时， ∴（﹣m）2+32＝52， 解得：m＝﹣4或m＝4（舍）， 当BQ＝AB时， （5+m）2+32＝52， 解得：m＝﹣1或m＝﹣9（舍）， 综上所述m为﹣4或﹣1； 故答案为：﹣4或﹣1； 在直线上任取两点（0，b），（﹣3b，0）关于直线x＝1对称的点为： （2，b），（2+3b，0）， 设直线关于x＝1对称的直线解析式为： y＝kx+m， ∴， 解得：， ∴， 当直线经过点（7，5）时，， 当直线经过点（2，0）时，b＝0， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用10.5万元购买A型的台数与用7.5万元购买B型的台数相等． （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）设A种型号的购进单价是x元，则B种型号的购进单价是（x﹣1000）元，根据用10.5万元购买A型的台数与用7.5万元购买B型的台数相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A型平板电脑m台，则购进B型平板电脑（100﹣m）台，根据购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，列出一元一次不等式，解之得出m的最大值为66，再设总利润为w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设A种型号的购进单价是x元，则B种型号的购进单价是（x﹣1000）元， 由题意得：， 解得：x＝3500， 经检验，x＝3500是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣1000＝2500， 答：A种型号的购进单价是3500元，B种型号的购进单价是2500元； （2）设购进A型平板电脑m台，则购进B型平板电脑（100﹣m）台， 由题意得：m≤2（100﹣m）， 解得：m， ∵m为正整数， ∴m的最大值为66， 设总利润为w元， 由题意得：w＝（4200﹣3500）m+（3000﹣2500）（100﹣m）＝200m+50000， ∵200＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝66时，w有最大值＝200×66+50000＝63200， 此时，100﹣66＝34， 答：购进A型平板电脑66台，B型平板电脑34台，才能使总利润最高，最高是63200元． 25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标为（3，0），直线AB交y轴于点B，点C为射线AB上一点． （1）如图1，OA＝OB，求直线AB的表达式； （2）在（1）的条件下，点D在x轴上，连接CO，CD，若CO＝CD且∠OCD＝45°，求点C的坐标； （3）如图2，点E是第一象限内一动点，且AE＝1．若AB平分∠OAE，CO＝CE，点M的坐标为（4，1），求MC+AC的最小值． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）对于求直线AB的表达式，可先根据已知条件求出点B的坐标，再利用待定系数法求解； （2）证明△BCO≌△ADC（AAS），再由AC＝BO＝3，求解即可； （3）求MC+AC的最小值，利用轴对称的性质，将AC进行转化，再根据两点之间线段最短来求解． 【解答】解：（1）已知点A（3，0），因为OA＝OB，且A在x轴正半轴，所以B（0，3）． 设直线AB的表达式为y＝ kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入可得， ， 解得k＝1． 所以直线AB的表达式为y＝﹣x+3； （2）直线AB的表达式为y＝﹣x+3， 设C（a，﹣a+3）， ∵∠OBC＝∠OAB＝∠OCD＝45°， ∴∠BCO+∠ACD＝∠ACD+∠ADC＝135°， ∴∠BCO＝∠CDA， ∵OC＝CD， ∴△BCO≌△ADC（AAS）， ∴AC＝BO＝3， ∴2（a﹣3）2＝9， 解得a3（舍）或a3， ∴C（3，）； （3）点C在直线AB上，要求MC+AC的最小值，可作点M关于直线AB的对称点M'， 根据对称性质，MC＝M'C， 因此MC+AC＝M'C+AC， 当A、C、M'三点共线时，M'C+AC的值最小，即最小值为M'A的长度， 由（1）知，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，且△AOB是等腰直角三角形（OA＝OB＝3）， 因此∠OAB ＝ 45°， 即直线AB与x轴的夹角为45°， 设M'为M关于AB的对称点，MN⊥AB于N，则N是MM'的中点，且MN＝NM'． 直线AB上的点满足x+y＝3， 设N（a，b）， 则a+b＝3． ∵AB与x轴夹角为45°， ∴垂线MN与x轴夹角也为45°， 即M到N的水平距离等于垂直距离：水平距离：4﹣a，垂直距离：1﹣b（因N在M左上方）， 因此4﹣a＝1﹣b． 联立方程可得： ， 解得， ∵N（3，0）是M（4，1）和M'（x，y）的中点： ∴ 3，0， 解得x＝2，y＝﹣1， 因此，M'（2，﹣1）． A（3，0）与M'（2，﹣1）之间的距离： 水平距离：3﹣2＝1，垂直距离：0﹣（﹣1）＝1， 由勾股定理可得M'A＝ ， 故MC+AC的最小值为． 26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作DF⊥DE交BC点于F，连接EF． （1）如图1，EF与CD相交于点G： ①求证：AE＝CF； ②当AD＝CE，AC＝6时，求DG的长． （2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】（1）①由题可得△ABC是等腰直角三角形，当D是AB边中点时，可以得到∠CDA＝90°，AD＝CD，由∠FDE＝∠CDA＝90°，可得∠FDC＝∠EDA，接着证明△FCD≌△EDA即可； ②由①可得DE＝DF，所以△DEF为等腰直角三角形，所以∠DEG＝∠DCE＝45°，由于∠DGE＝∠DCE+∠GEC＝45°+∠GEC，∠DEC＝45°+∠GEC，所以∠DGE＝∠DEC＝∠CDE，所以ED＝GE，故过E作EQ⊥DG于Q，则DQ＝GQ，在直角△ACD中，利用勾股定理，求出CD和CE的长度，同理，在△CEQ中，求出CQ的长度，得到DQ的长度，即可解决； （2）由CE＝5，AE＝2，得AC＝7，利用勾股定理，得到AD的长度，过E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的长度，由于∠CME＝2∠ADE，延长MB至P，是MP＝ME，可以证明△DNE∽△PCE，设MP＝x，在直角△MCE中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵D是AB的中点， ∴∠CDA＝90°，∠FCD＝∠A＝45°，CD＝AD＝BD， ∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝∠CDA＝90°， ∴∠FDC＝∠EDA， 在△DFC与△DEA中， ， ∴△DFC≌△DEA（ASA）， ∴CF＝AE， 即AE＝CF； ②解：由①可得，△DFC≌△DEA， ∴DF＝DE， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠CED＝∠EDF+∠CEF＝45°+∠CEF， 又∠EGD＝∠DCE+∠CEF＝45°+∠CEF， ∴∠EGD＝∠CED， ∵CE＝AD，AD＝CD， ∴CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠EGD， ∴EG＝DE， 过E作EQ⊥DC于Q，如图1， ∴DQ＝GQ，且∠QCE＝∠QEC＝45°， ∴CQ＝EQ， ∵ACCD， ∴3， 同理，CQ＝QE＝3， ∴DQ＝CD﹣CQ， ∴DG＝2DQ； （2）如图2，过E作EN⊥AD于N， ∴∠DND＝∠ENA＝90°， ∴∠NEA＝∠A＝45°， ∴NE＝NA， ∵AENA， ∴NE＝NA， 同理，AD， ∴， 延长MB至P，使MP＝ME，连接PE， ∴可设∠MPE＝∠MEP＝α， ∴∠EMC＝∠MPE+∠MEP＝2α， ∵∠EMC＝2∠ADE， ∴∠ADE＝∠MPE＝α， 又∠DNE＝∠PCE＝90°， ∴△DNE∽△PCE， ∴， ∴PC， 设MP＝ME＝x，则CM， 在Rt△MCE中，ME2＝CM2+CE2， ∴， ∴x， ∴ME． 解法二：延长FC到N，使得CN＝FC，连接EN． ∵CF＝CN，CE＝CE，∠FCE＝∠NCE＝90°， ∴△FCE≌△NCE（SAS）， 设∠FEC＝∠NEC＝α， ∵∠CME＝2∠ADE＝2α，∠ADE＝∠FEC＝α， ∴∠N＝90°﹣α， ∴∠MEN＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠N＝∠MEN， ∴MN＝ME， ∵AE＝CF＝CN＝2， 设MN＝ME＝x．则MC＝x﹣2， ∵CM2+CE2＝ME2， ∴（x﹣2）2+52＝x2， ∴x， ∴ME． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $