圆锥曲线中的解析几何中的创新交汇问题 课件-2027届高三数学一轮复习

解析几何中的创新交汇问题 重难解读 　　解析几何中的融合创新问题主要有以下几个方面：（1）圆锥曲线与 平面向量、圆、立体几何、不等式、数列、导数等不同知识内容的交 汇；（2）与圆锥曲线有关的新定义问题. 目录/ CONTENTS 考点一 交汇问题 01 考点二 新定义问题 02 课时跟踪训练 03 01 PART 考点一 交汇问题 目 录 已知双曲线C：4x2－y2＝m，点P1（1，1）在C上.按如下方式构造 点Pn（n≥2）：过点Pn－1作斜率为1的直线与C的左支交于点Qn－1，点Qn －1关于y轴的对称点为Pn，记点Pn的坐标为（xn，yn）. （1）求点P2，P3的坐标； 解：由题意知m＝4－1＝3，所以双曲线C：4x2－y2＝3， 又过点P1（1，1）且斜率为1的直线方程为y＝x， 由双曲线与直线的对称性可知Q1（－1，－1），所以P2（1，－1）， 又过点P2（1，－1）且斜率为1的直线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2， 由 得3x2＋4x－7＝0， 高中总复习·数学 目 录 解得x＝1或x＝－ ， 当x＝－ 时，y＝－ －2＝－ ， 所以Q2（－ ，－ ）， 所以P3（ ，－ ）. 高中总复习·数学 目 录 （2）记an＝2xn－yn，证明：数列{an}为等比数列. 解：证明：设Pn－1（xn－1，yn－1）（n≥2，n∈N*）， 则过点Pn－1（xn－1，yn－1）（n≥2，n∈N*）且斜率为1的直线方程为y－ yn－1＝x－xn－1， 联立 消去y，得3x2＋2（xn－1－yn－1）x－（xn－1 －yn－1）2－3＝0， 由根与系数的关系，并结合题意有－xn＋xn－1＝－ （xn－1－yn－1）， 得3xn＝5xn－1－2yn－1， 由题意知点Qn－1（－xn，yn）在直线y－yn－1＝x－xn－1上， 高中总复习·数学 目 录 所以yn＝yn－1－xn－xn－1， 因为an＝2xn－yn， 则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3， 又a1＝2－1＝1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列. 即有yn－yn－1＝－xn－xn－1， 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　以解析几何为载体常与数列、解三角形、向量及函数（导数）等交 汇命题，突显知识间的内在联系，解决该类问题的关键是以解析几何知 识、方法为主线，巧用交汇知识的解题思想，方法及相应的概念，公式 为工具逐一破解，这是高考一题多点考查的命题特征. 高中总复习·数学 目 录 练1 （2026·湖北黄冈模拟）已知向量 ＝（r cos θ，r sin θ）绕着原点 O沿逆时针方向旋转α角可得到向量 ＝（r cos （θ＋α），r sin （θ＋ α））. （1）求点T（ ，0）绕着原点O沿逆时针方向旋转 得到的点T'的 坐标； 高中总复习·数学 目 录 解：因为T（ ，0），即 绕着原点O沿逆时针方向旋转 得到的点T'（x0，y0）， 则 所以T'（1，1）. 高中总复习·数学 目 录 （2）若曲线E上的所有点绕着原点逆时针方向旋转 得到曲线E'对应的方 程为5x'2＋5y'2－2x'y'＝24，求曲线E的方程. 解：由题意，设Q'（x'，y'）为曲线E上点Q（x，y）旋转后的对应点， 设 则 又因为5x'2＋5y'2－2x'y'＝24， 所以 （x－y）2＋ （x＋y）2－（x2－y2）＝24，整理得 ＋ ＝1. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 新定义问题 目 录 在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax＋by＋c＝0和点P1（x1， y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0， 则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存 在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线. （1）求证：点A（1，2），B（－1，0）被直线x＋y－1＝0分隔； 解：证明：由题得η＝（1＋2－1）（－1＋0－1）＝－4＜0， ∴点A，B被直线x＋y－1＝0分隔. 高中总复习·数学 目 录 （2）若直线y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围. 解：直线y＝kx与曲线x2－4y2＝1有公共点的充要条件是方程组 有解，即｜k｜＜ . ∵y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，故它们没有公共点，即｜k｜≥ ， 当｜k｜≥ 时，对于直线y＝kx，曲线x2－4y2＝1上的点（－1，0）和 （1，0）满足η＝－k2＜0，即点（－1，0）和（1，0）被y＝kx分隔. 故实数k的取值范围是（－∞，－ ］∪［ ，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关 键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线 的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题. 高中总复习·数学 目 录 练2 焦距为2c的椭圆Γ： ＋ ＝1（a＞b＞0）满足a、b、c成等差数 列，称Γ为“等差椭圆”. （1）求Γ的离心率； 解：由题意，2b＝a＋c且a2－b2＝c2，所以5c2＋2ac－3a2＝0， 即5e2＋2e－3＝0， 解得e＝ （e＝－1舍去）. 高中总复习·数学 目 录 （2）过D（0，－a）作直线l与Γ有且只有一个公共点，求此直线的斜率 k的值； 解：显然，斜率k存在，设直线l的方程为y＝kx－a. 联立 化简得（b2＋a2k2）x2－2a3kx＋a2（a2－b2） ＝0，　① 方程①的Δ＝4a6k2－4a2（b2＋a2k2）（a2－b2）， 令Δ＝0，化简得a2k2＝a2－b2， 所以k2＝ ＝（ ）2，由（1）可知，k＝± . 高中总复习·数学 目 录 （3）设点A为椭圆的右顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于 原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与y轴交于M、N两 点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？并说明理由. 解：设P（m，n），Q（－m，－n）. 直线AP的斜率kAP＝ ，直线AP的方程y＝ （x－a）， 令x＝0，解得y＝－ ，即M（0，－ ）. 直线AQ的斜率kAQ＝ ，直线AQ的方程y＝ （x－a）， 令x＝0，解得y＝－ ，即N（0，－ ）. 高中总复习·数学 目 录 设R（x，y）是以线段MN为直径的圆上一点，则 ＝（x，y＋ ）， ＝（x，y＋ ）， · ＝0，代入化简得x2＋y2＋（ ＋ ）y＋ ＝0.　② 因为点P在椭圆上，所以 ＋ ＝1，即b2＝－ ， 于是方程②化为x2＋y2＋（ ＋ ）y－b2＝0， 所以无论m，n取何值，当y＝0时总有x＝±b， 所以以线段MN为直径的圆经过定点（－b，0）和（b，0）. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：62分） 目 录 1. （15分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封 闭曲线称为“盾圆”. （1）设椭圆C1： ＋ ＝1与双曲线C2：9x2－ ＝1有相同的焦点F1， F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1 的方程； 解：由△MF1F2的周长为6得a＋c＝3，椭圆C1与双曲线C2：9x2－ ＝1有相同的焦点，所以c2＝ ＋ ＝1，即c＝1，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，则椭圆C1的方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2＝ 设 “盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x＝3 的距离为d2，求证：d1＋d2为定值. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d2＝｜x－3｜， 当0≤x≤3时，y2＝4x，d1＝ ＝｜x＋1｜， 即d1＋d2＝｜x＋1｜＋｜x－3｜＝（x＋1）＋（3－x）＝4； 当3＜x≤4时，y2＝－12（x－4），d1＝ ＝｜7－x｜， 即d1＋d2＝｜7－x｜＋｜x－3｜＝（7－x）＋（x－3）＝4； 所以d1＋d2＝4为定值. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的 切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长 半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆 C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的蒙日圆方程为x2＋y2＝4，且椭圆的离心率 为 . （1）求椭圆C的方程； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：由题意可得 解得 故椭圆C的方程为 ＋y2＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）过点M作椭圆C的两条切线，两切线斜率之积为 ，求M的轨迹方 程Γ. 解：①当切线斜率不存在或为零时，不满足题意； ②当切线斜率存在且不为零时，设点M（x0，y0）， 设过点M（x0，y0）的切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx＋（y0－ kx0）， 联立 得（3k2＋1）x2＋6k（y0－kx0）x＋3[（y0 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 －kx0）2－1]＝0， 由Δ＝36k2（y0－kx0）2－12（1＋3k2）[（y0－kx0）2－1]＝0，得3k2 ＋1－（y0－kx0）2＝0， 可得出关于k的二次方程（3－ ）k2＋2x0y0k＋（1－ ）＝0， 方程有两个不等根，则 ≠3，且Δ'＝4 －4（3－ ）（1－ ） ＞0， 可得 ＋3 －3＞0， 设过点M的两条切线的斜率分别为k1，k2，可得k1k2＝ ＝ ，整理可 得 －2 ＝1， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 又因为 ＋3 －3＞0且 －2 ＝1，以及3－ ≠0，可得 ＞ 且 ≠3， 即｜x0｜＞ 且｜x0｜≠ ， 所以点M的轨迹方程为Γ：x2－2y2＝1（｜x｜＞ 且｜x｜≠ ）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）（2026·河北沧州模拟）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的横、纵坐标均为整数，则称P（x，y）为格点，若曲线Γ上存在3个 格点构成三角形，则称Γ为“3格曲线”. （1）若椭圆C： ＋ ＝1（1＜b＜2）为“3格曲线”，求C的离心率； 解：由题可知，C的左顶点A1（－2，0），右顶点A2（2，0）是两个格点. 因为1＜b＜2，所以C的上，下顶点不为格点. 又C为“3格曲线”，所以C上至少存在一个异于椭圆C顶点的格点H （m，t）， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 则 所以 由 ＋ ＝1，可得 ＋ ＝1，解得b2＝ ， 则C的离心率e＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若椭圆C： ＋ ＝1（0＜b＜2）上存在n（n≥4）个格点，且从 中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为C的左顶点的概率 为P（n），求P（n）. 解：由（1）可知，当1＜b＜2时，H（m，t）是C上的格点，且 此时C上有（－2，0），（2，0），（1，1），（1，－1），（－1， 1），（－1，－1），共6个格点， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 则P（6）＝ ＝ ； 当b＝1时，易知C上有（－2，0），（2，0），（0，1），（0，－1）， 共4个格点，则P（4）＝ ＝ ； 当0＜b＜1时，易知C上有（－2，0），（2，0），共2个格点，不符合题 意，故P（n）＝ 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （17分）（2026·河南周口模拟）已知点P1（t＋1，t）在抛物线C： x2＝4y上，过点P1作斜率为－1的直线交C于另一个点Q1，设P2与Q1关于 y轴对称，再过P2作斜率为－1的直线交C于另一个点Q2，设P3与Q2关于y 轴对称，以此类推一直作下去，设Pn（xn，yn）（n∈N*）. （1）求t的值； 解：因为点P1（t＋1，t）在抛物线C：x2＝4y上，则（t＋1）2＝4t， 解得t＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）求数列{xn}的通项公式，并求数列 的前n项和Tn的取值 范围； 解：由P1（2，1）可知x1＝2，y1＝1， 因为点Pn（xn，yn）在抛物线C：x2＝4y上，则yn＝ ，且Qn－1（－ xn，yn）， 过Pn－1（xn－1， ），n≥2，且斜率为－1的直线Pn－1Qn－1：y－ ＝－（x－xn－1）， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 联立方程 消去y得（x－xn－1）（x＋xn－1＋ 4）＝0，解得x＝xn－1或x＝－xn－1－4， 因为Qn－1（－xn，yn），故－xn＝－xn－1－4，即xn＝xn－1＋4， 故数列{xn}是首项为2，公差为4的等差数列，所以xn＝2＋4（n－1）＝ 4n－2， 又yn＝ ＝（2n－1）2，所以 ＝ ＝ ＝ （ 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 － ）， 所以Tn＝ （1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ）＝ （1－ ）， 所以Tn＜ ， 又Tn是关于n的递增函数，故Tmin＝T1＝ ，Tn的取值范围是 . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （3）求△PnPn＋1Pn＋2（n∈N*）的面积. 解：由（2）知：Pn（4n－2，（2n－1）2），Pn＋1（4n＋2，（2n ＋1）2），Pn＋2（4n＋6，（2n＋3）2）， 直线PnPn＋2的方程为y－（2n－1）2＝ （x－4n＋ 2）＝（2n＋1）（x－4n＋2）， 即（2n＋1）x－y－4n2－4n＋3＝0， 点Pn＋1（4n＋2，（2n＋1）2）到直线PnPn＋2的距离为d＝ 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 ＝ ， ＝ ＝ ＝8 ， 所以△PnPn＋1Pn＋2（n∈N*）的面积为S＝ ｜PnPn＋2｜d＝16. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $