圆锥曲线中的定点与定值问题 课件-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线中定点与定值问题 重难解读 　　定点问题包含直线过定点和曲线过定点；定值问题一般是探索某些 几何量（斜率、距离、线段长度、面积等）与变量无关.或某些代数式的 值（某些量的和、积、商）与变量无关.定点、定值问题在高考题中一般 作为压轴题出现，难度较大. 目录/ CONTENTS 考点一 定点问题 01 考点二 定值问题 02 课时跟踪训练 03 01 PART 考点一 定点问题 目 录 （2023·全国乙卷20题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离 心率为 ，点A（－2，0）在C上. （1）求C的方程； 解：由题意可得 解得 所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交 点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 解：证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ：y＝k（x＋2）＋ 3，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立方程 消去y得（4k2＋9）x2＋8k（2k＋3）x＋ 16（k2＋3k）＝0， 则Δ＝64k2（2k＋3）2－64（4k2＋9）（k2＋3k）＝－1 728k＞0，解得k ＜0， 高中总复习·数学 目 录 故x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 因为A（－2，0），则直线AP：y＝ （x＋2）， 令x＝0，解得y＝ ，即M（0， ）， 同理可得N（0， ）， 则 ＝ ＋ ＝ 高中总复习·数学 目 录 ＝ ＝ ＝ ＝3， 所以线段MN的中点是定点（0，3）. 高中总复习·数学 目 录 已知椭圆C： ＋x2＝1，过点P（ ，0）的直线l交椭圆C于A，B 两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若 不过，请说明理由. 解：当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为（x－ ）2＋y2＝ ， 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 可得两圆交点为Q（－1，0）. 由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q（－1，0）. 下证Q（－1，0）符合题意. 当直线l的斜率存在且不为0时， 高中总复习·数学 目 录 设方程为y＝k（x－ ），代入 ＋x2＝1， 整理得（k2＋2）x2－ k2x＋ k2－2＝0，Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 所以 · ＝（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2 ＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2（x1－ ）（x2－ ） ＝（1＋k2）x1x2＋（1－ k2）（x1＋x2）＋1＋ k2 ＝（1＋k2）· ＋（1－ k2）· ＋1＋ k2＝0， 故 ⊥ ，即Q（－1，0）在以线段AB为直径的圆上. 综上，以线段AB为直径的圆恒过定点（－1，0）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示变化量， 再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；或以曲线上的点为参 数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1） ＝0消参； （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对 称性及特殊（或极端）位置，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不 存在. 高中总复习·数学 目 录 练1 （2026·广东佛山质检）已知双曲线C的渐近线方程为y＝± x，且 过点P（3， ）. （1）求C的方程； 解：因为渐近线方程为y＝± x， 所以可设双曲线C的方程为 － ＝λ（λ≠0）， 将点P（3， ）代入得 － ＝λ，解得λ＝ ， 所以双曲线C的方程为 －y2＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）设Q（1，0），直线x＝t不经过P点且与C相交于A，B两点，若直 线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过x轴上的一定点. 解：证明：显然直线BQ的斜率不为零， 设直线BQ的方程为x＝my＋1，B（x1，y1）， D（x2，y2），A（x1，－y1），联立 整理得（m2－3）y2＋2my－2＝0. 依题意得m2－3≠0且Δ＝4m2＋8（m2－3）＞0， 高中总复习·数学 目 录 即m2＞2且m2≠3，y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ， 直线AD的方程为y＋y1＝ （x－x1）， 令y＝0，得x＝ ＋x1＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3. 所以直线AD过x轴上的定点（3，0）. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 定值问题 目 录 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其焦点为F，O为坐标原点，直 线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.若直线l过焦点 F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证： 为定值. 证明：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）， ∴焦点F的坐标为（ ，0）. 由题意知直线l的斜率存在且不为0， ∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋ （t≠0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）. 高中总复习·数学 目 录 由 得y2－2pty－p2＝0，∴y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0. ∴x1＋x2＝t（y1＋y2）＋p＝2pt2＋p，∴M（pt2＋ ，pt）. ∴MN的方程为y－pt＝－t（x－pt2－ ）. 令y＝0，解得x＝pt2＋ ，即N（pt2＋ ，0），∴｜MN｜2＝p2＋p2t2， ｜FN｜＝pt2＋ － ＝pt2＋p， ∴ ＝ ＝2p，为定值. 高中总复习·数学 目 录 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且过点A （2 ，－1），直线l与曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别 交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，O为坐标原点. （1）求双曲线C的方程； 解：设双曲线C的焦距为2c（c＞0）， 由题意可得 ⇒ 则双曲线C的方程为 －y2＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）求证：△MON的面积为定值，并求出该定值. 解：证明：由于直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），则直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m， 则 消y得（4k2－1）x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， Δ＝64k2m2－4（4k2－1）（4m2＋4）＝0⇒4k2＝m2＋1，　① 设l与x轴交于一点D，｜OD｜＝｜－ ｜， 高中总复习·数学 目 录 S△OMN＝S△MOD＋S△NOD＝ ×｜OD｜×｜yM－yN｜＝ ·｜ ｜·｜ k｜·｜xM－xN｜，双曲线的两条渐近线方程为：y＝± x， 联立 ⇒M（ ， ），联立 ⇒N（ ， ），则S△MON＝ ·｜ ｜·｜k｜· ＝ ·｜ ｜· · ＝ · · · ＝2（定值）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 定值问题的解题思路 （1）引出变量法：解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定 值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值； （2）特例法：从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. 高中总复习·数学 目 录 练2 已知A，B分别为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点， ab＝6 ，M，N均为椭圆C上异于顶点的点，H为椭圆C上的点，直线 HM经过左焦点F1，直线HN经过右焦点F2（1，0）. （1）求椭圆C的标准方程； 解：由椭圆C： ＋ ＝1满足ab＝6 ，且右焦点F2（1，0）， 可得 解得a2＝9，b2＝8，所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2） ＋ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说 明理由. 解：由题意知：椭圆的左、右焦点为F1（－1，0），F2（1，0）， 设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0）， ＝t ， ＝k ，其中t＞1，k＞1， 则 因为M，H均为椭圆上的点， 高中总复习·数学 目 录 故 整理得t＝ ＝1＋ ， 同理可得k＝ ＝1－ ， 则 ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝ ， 所以 ＋ 为定值，定值为 . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：60分） 目 录 1. （15分）（2026·江苏南通模拟）已知双曲线C： － ＝1（b＞0） 一个焦点F到渐近线的距离为 . （1）求双曲线C的方程； 解：由双曲线方程得渐近线方程为bx± y＝0. 设F（c，0），则根据题意知焦点F到渐近线的距离d＝ ＝ ＝b ＝ ， 所以双曲线C的方程为 － ＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）过点（2，0）的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是 否存在点N，使得 · 为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定 值；如果不存在，请说明理由. 解：假设点N存在，设N（t，0）. 依题意，直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋2，－1＜m＜1，与 双曲线方程x2－y2＝2联立并消元得关于y的方程（m2－1）y2＋4my＋2 ＝0，Δ＞0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系知y1＋y2＝－ ， y1y2＝ ， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 所以 · ＝（x1－t）（x2－t）＋y1y2＝（my1＋2－t）（my2＋2－ t）＋y1y2＝（m2＋1）y1y2＋m（2－t）（y1＋y2）＋（2－t）2＝（m2＋ 1） －m（2－t） ＋（2－t）2＝ ＋（2－t）2， 若要上式为定值，则必须有4t－6＝－2，解得t＝1，所以 ＋（2－t）2＝－2＋1＝－1， 故在x轴上存在点N（1，0）满足 · ＝－1，即 · 为定值 －1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与双曲线 － ＝1的渐近 线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为6. （1）求抛物线E的方程； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：设点Q的坐标为（6，y0），因为点Q在第一象限，所以y0＞0， 双曲线 － ＝1的渐近线方程为y＝± x，因为点Q在双曲线的渐 近线上， 所以y0＝4 ， 所以点Q的坐标为（6，4 ），又点Q（6，4 ）在抛物线y2＝2px上， 所以48＝2p×6，所以p＝4， 故抛物线的方程为y2＝8x. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）过点M（－3，0）的直线l与抛物线E相交于A，B两点，B关于x轴 的对称点为B'，证明：直线AB'必过定点. 解：证明：设直线AB的方程为x＝my－3，联立y2＝8x，消x得，y2 －8my＋24＝0， 方程y2－8my＋24＝0的判别式Δ＝64m2－96＞0，即2m2－3＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝8m，y1y2＝24， B关于x轴的对称点为B'（x2，－y2）， 则直线AB'的方程为y＋y2＝ （x－x2）， 根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 令y＝0得：x＝y2· ＋x2＝ ＝ ＝ ＝ ＝3. 所以直线AB'过定点（3，0）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）（2026·福建莆田模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2. 已知双曲线Γ的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF. （1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：依题意，以直线AD为x轴，线段AD的中垂线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图，设双曲线Γ的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0）， 因为在正六边形ABCDEF中，△EOD为正三角形， ∠EOD＝60°，OD＝ED＝2， 所以Γ的渐近线方程为y＝± x，所以 ＝ ， 又焦距2c＝｜AD｜＝4，所以c＝2，又由 ＝ ＝2，则a＝1，从而b＝ ，所以双曲线Γ的方程为x2－ ＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）过A的直线l与Γ交于M，N两点， ＝λ （λ≠－1），若点P满 足 ＝λ ，证明：P在一条定直线上. 解：证明：依题意，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）， 当直线l为x轴时，M（－1，0），N（1，0）， 又由（1）知A（－2，0），故 ＝（1，0）， ＝（3，0）， 所以 ＝ ，从而λ＝ ， 则 ＝ ，即（x0＋1，y0）＝ （1－x0，－y0）， 解得P（－ ，0）； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 当直线l不为x轴时，设l的方程为x＝ty－2（｜t｜≠ ），由λ≠－1可 知t≠0， 联立 消去x，得（3t2－1）y2－12ty＋9＝0， 则Δ＝144t2－4×（3t2－1）×9＞0，y1＋y2＝ ，y1·y2＝ ， 因为 所以 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 消去λ，得y2（y0－y1）＝y1（y2－y0）， 所以y0＝ ＝ ＝ ， 从而x0＝ty0－2＝ －2＝－ ， 又P（－ ，0）也在直线x＝－ 上， 所以点P在定直线x＝－ 上. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）（2026·湖北武汉模拟）已知F为抛物线C：y2＝2px的焦 点，点P在拋物线C上，且点P的纵坐标为3，以线段PF为直径的圆与直 线x＝3相切. （1）求抛物线C的方程； 解：由题意得点P的坐标为（ ，3），焦点F的坐 标为（ ，0）， 根据抛物线的定义得｜PF｜＝ ＋ ＝ ，即以线段 PF为直径的圆的直径为 . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 记线段PF的中点为Q，则点Q的坐标为（ ， ）， 因为以线段PF为直径的圆与直线x＝3相切， 所以有3－ ＝ ， 解得p＝3， 所以抛物线C的方程为y2＝6x. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）直线l交抛物线C于A，B两点，作PD⊥l于点D，若直线PA，PB 的斜率之和为3，是否存在定点R，使得｜DR｜为定值？若存在，求出定 点R的坐标；若不存在，请说明理由. 解：设直线l的方程为x＝ty＋m，易验证t必存在且不为0. 与抛物线方程联立得y2－6ty－6m＝0， 不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则可得y1＋y2＝6t，y1·y2＝－6m， 由（1）得点P的坐标为（ ，3），kPA＋kPB＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝3， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 化简得m＝－ ＋t， 所以直线l的方程为x＝ty－ ＋t＝t（y＋1）－ ， 所以直线l恒过定点T（－ ，－1）.　 因为PD⊥l于点D，所以在直角三角形PDT中， 令R为线段PT的中点，坐标为（ ，1）， 此时｜DR｜＝ ｜PT｜＝ . 故存在定点R（ ，1），使得｜DR｜为定值. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $