广西壮族自治区桂林市十二县联考2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学参考答案 1.D【解析1因为a十2a,十a0=2a4十2a,=4a；=68,所以a:=17,放S,=9Ca十a）-9a: 2 =153. 2.A【解析】由题意可知lim fu+ax)-f）-_imf+）-f-2f(x,） △x+0 2△x △x+0 △x 4,则f'(xo)=8. 3.A【解析】由题意可得4+号-6，解得力=4，所以该抛物线的准线方程为x=一名-一2 么B【解析设a.的公比为q,则g-2中8=子，所以a,十a+as=a,十a,十a,g =8×()》=日 5.D【解析】由题意得f'(x)=e+2f'(0),所以f'(0)=1十2f'(0),即f'(0)=-1. 6.C【解析如图，由△ABC是面积为的等边三角形，可得AB:- 9v3 ,则AB=BC=AC=3,设01为△ABC外接圆的圆心，则A0,= 号×号×3=5.设球0的半径为R,由R-16,得R=-2,所以0 到平面ABC的距离为√4一3=1. 7.A【解析】若用3种不同颜色的灯带，则有两块灯带区域颜色相同，要么A,C灯带区域颜色 相同，要么B,D灯带区域颜色相同，有2种方案，则不同的信号数为2A=12: 若用2种不同颜色的灯带，则A,C灯带区域颜色相同，B,D灯带区域颜色相同，只有1种方 案，则不同的信号数为C号A=6.故不同的信号总数为12十6=18. 8.B【解折】因为g(x)=2x-3x2+3,所以g(x)=6r2-6x,g(x)=12z-6.令g(x) 0,解得x=,而g(号）=1，则g(x)的图象关于点（分，1）对称，所以g(x）+g(1-x)=2, 则g(20a+g(226)+g(2)++g(号8)=g(205)+g(号82)+g(22s）) +s(2器)+…+s(器)+s()+(8) =2×1012+1=2025. 9.ABC【解析】对于A,有可能二次函数的图象为原函数的图象，直线为导函数的图象，原函数 先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B,有可能始终位于x轴上方的曲线为导函数的图象，另一支为原函数的图象，原函数始 终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C,有可能始终位于x轴上方的曲线为导函数的图象，另一支为原函数的图象，原函数始 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D,无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 10.BCD【解析】对于A,设云=1十x++,则1+1+x+1++,+1 n x1十x2十十xm十n=十1，A错误； 2 对于B,这组数据的平均数工=1+1+1+0+2=1，所以方差2 5 1-1)2+1-1)2+(1-1)2+(0-1)+(2-1)2=2 标准雅差=由 55 S名，得组数据的标准差大于方差，B正确 对于C,由一B(9,号)，可知a=0,p=号，所以D()=p(1-p)=9×号×日=2，C 正确； 对于D,由~N(2,62),可知μ=2，所以由对称性可得P(≥4)=P(≥2十2)-P(≤2一 2)=P(5≤0)=0.21，则P(>0)=1一P(≤0)=1-0.21=0.79，D正确 11.BC【解析】设切点为(xo,3x8十2).又y'=9x2,所以y'1z=。=9x6,所以曲线y=3x3十2 在点(x0,3x8+2)处的切线方程为y一(3x8+2)=9x(x-xo),所以-1-(3x8+2)= 9x(-1一x),整理得(x十1)2(2x。一1)=0，解得x,=-1或x。=2,即所求切线方程为 9x-y+8=0或9x-4y+5=0. 展开式的通项T+1=C(x3)7-(-2)r(x)r=C5(-2)x21-r (=0,1…,7),令21-7=0，解得7=6，放常数项为C×(-2=48 1 【g因为数列a满足4a1-片月a,=1,所以4：=节=7a,= a31 3a4=a十1=4 14.(-0,2】【解标】因为存在x>0,使得f(x)=1hx-2ax十1≥0，所以2a<血X中.令 g)血中，其中x>0,则g()=-当0<x<1时g(x)>0,此时g(x)单调 递增，当x>1时，g'(x)<0,此时g(x)单调递减，则g(x)mx=g(1)=1,所以2a≤1，解得 a≤2，即a的取值范围为(-©，2]， 15.【解析】(1)由f(x)=x3+2a.x2+bx十a-1,得f'(x)=3x2+4ax+b,…1分 即4 1-1+2a-b+a-1=0, 依题意可知 …3分 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 解得Q=b=1,… …4分 则f(x)=x3+2x2+x,f'(x)=3x2十4x+1. 由f)=32计红十1=0，得x=-1或x=号 当x<-1时，f'()>0,fx)单调递增，当-1<x<-}时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以当x=一1时，f(x)取得极大值f(一1)=0.故a=b=1.…6分 (2)由(1)得f(x)=x3+2x2+x,f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),…7分 令f(x)=0,得x=-3或x=-1. …8分 当-1<x<-时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当-}<x<1时，f(x)>0,fx)单调递增， …10分 所以当x=一号时，f)。=f(-)=易 …11分 又f(-1)=0,f(1)=4,…12分 所以f(x)在[-1,1门上的最大值为4，最小值为一27 …13分 16.【解析】(1)由a7十2am=4Sm十3，可得a员-1十2am-1=4Sm-1十3，n≥2，…2分 两式相减得(an十am-1)(am一am-1一2)=0，n≥2. …3分 又an>0,所以an-an-1-2=0,即an-a-1=2,n≥2.…4分 由a十2a1=4S1十3，解得a1=3,… …5分 所以{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，… 6分 则am=3+2(n一1)=2n十1. 8分 1 1/11 ②)由D得6，二a,a12m+2m+3)22m+12n3 11分 11 2n+12+3 …12分 -号×（合十3）-32+ …15分 17.【解析】（方法一）(1)证明：取BC的中点E,连接DE. 由四边形ABCD是菱形，∠BAD=∠BCD=60°， 得△BCD是等边三角形.又E是BC的中点，所以DE⊥BC,故 D DE⊥AD: C 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD, M B 而DAC平面ABCD,DEC平面ABCD, D 所以DD1⊥DA,DD1⊥DE,所以DA,DE,DD1两两垂直， 则以D为原点，DA,DE,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如 B 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 图所示的空间直角坐标系，…2分 则D00,0,B1w3,0,E05,0A1(20,1,M(号，1）N1,0.0y,3分 所以D成-（号，），Di=w5,0.A寸=(-1,0，-10.4分 (m.DM=0, 设平面BDM的法向量为m=(x,y,z),则 …5分 m·DB=0, 3 即2x+2y十2=0令x=5,则y=-,之=-5，即m=65,-1,-5).…7分 x+√3y=0, 因为m·A1=(W3,-1,-√3)·(-1,0，-1)=-√3+0+3=0，…8分 所以m⊥A1N.… 9分 又A1N中平面BDM,所以A1N平面BDM.… …10分 (2)由(1)知平面BDM的一个法向量为m=(√3，一1，一√3)， 易知平面A1AN的一个法向量为n=(0,1,0).… …12分 m·n 设平面BDM与平面A1AN所成的角为0，则cos0= -1√7 m n 1X√7 =7,…14分 枚平面BDM与平面A,AN所成角的余弦值为牙。 …15分 (方法二)(1)证明：取BD的中点F,连接NF,FM.·1分 由N,F分别为DA,DB的中点，得NF∥AB,NF= …2分 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M为AB1的中点，则A1M AB,A1M=号AB,…3分 所以A1M/NF,且AM=NF,则四边形A1MFN为平行四边形，A1NMF.·4分 又A1N在平面BDM,MFC平面BDM,所以A1N/平面BDM.…6分 (2)取BC的中点E,连接DE.由四边形ABCD是菱形，∠BAD=∠BCD=60°， 得△BCD是等边三角形.又E是BC的中点，所以DE⊥BC,故DE⊥AD 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD, 而DAC平面ABCD,DEC平面ABCD, 所以DD1⊥DA,DD1⊥DE,所以DA,DE,DD1两两垂直， 以D为原点，DA,DE,DD1所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， …8分 则D00,0,51w5,0,M(35,1), …9分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 所以D-(,,)成=15,0. 10分 m·DM=0, 设平面BDM的法向量为m=(x,y,之)，则 …11分 m·DB=0, 3 29Q令x=g,测y1,即mg,1,.2分 x+√3y=0, 易知平面A1AN的一个法向量为n=(0,1,0).… …13分 设平面BDM与平面A1AN所成的角为0，则cos0= m·n 1-1业_7 m n 1X√7 =7,…14分 故平面BDM与平面A1AN所成角的余弦值为只 7· …15分 18.【解析】(1)因为双曲线C的中心在原点O,C的一个顶点是D(1,0),所以设C的方程为x2 =1(6>0，1分 C的渐近线方程为y=士bx.… 2分 因为y=√2x是C的一条渐近线，所以b=√2， …3分 所以C的方程为2-兰=1.… …4分 （2)依题意，设M,9≥D,则-岁-1，即-1+， …5分 所以PM1=x+(g。-1D2=8-2,+22(w-号)+手 …7分 当-号时，PMn-2此时Mg,》. …8分 连接OM(图略)，则四边形ODMP的面积S=SAw十SaM-号PO1·xw+号1OD1· …9分 -号X1×四+号×1×号-T+,即西边形ODP的面积为T+ 6 …10分 (3)证明：显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=ty一3.…11分 亿3消去x得(2-1y2-12+16=0,12分 由 2x2-y2=2, 当22-1≠0时，A=(12t)2-64(212-1)=16(t2+4)>0恒成立. 16 Az9y,B(c299,则y1+y2222y19=2 …13分 因为DA=(x1-1,y1),DB=(x2-1,y2),…14分 所以DA·DB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(ty1-4)(ty2-4)+y1y2=(t2+1)y1y2- 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 4t(0y1十y2)+16=16(2+1D482 2t2-12t2-1 +16=0, 16分 即DA⊥DB.…17分 19.【解析】(1)证明：若a=1,则f(x)=e2一1一x,f'(x)=e一1.…2分 令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,…3分 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，…4分 则f(x)mn=f(0)=0,故f(x)≥0.…5分 ②不纺设0<则f》》,即f))名，…6分 x号一x2 所以函数g()=f(x)-分x2在0，十∞)上单调递增，… 7分 则g'x)-ae-x日≥0在0，+o)止恒成立. ………8分 令h(x)=g'(x),则h'(x)=ae2-l.…9分 当a<0时，A'<0在0，+∞)上恒成立，又A(-）=ae<0,所以不符合题意 …11分 1 当a>0时，令h'(x)>0,解得x>ln是，令'(x)<0,解得0<x<ln是， …12分 所以h()在(0，ln）上单调递减，在(n是，十∞)上单调递增，…13分 所以Aeom-（a2）=1-1n君合=ha-&+120.…14分 因为F(x)=1nx-1+1是增函数，且F(1)=0,所以F(x)≥0的解集为[1，十o∞)，… …15分 所以由1na-2+1≥0，得a≥1. 16分 综上所述，a的取值范围为[1，十∞). 17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】桂林十二县期中联考高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一、二册。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.设等差数列{an}的前n项和为Sm,已知a2十2a4+ao=68,则Sg= A.272 B.270 C.157 D.153 刘 2.已知函数f(x)在x=x。处可导，且lim f(x+△x)-fx0）=4,则f'(xo)= d+0 2△x A.8 B.-8 C.-2 D.2 封 3.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(4,y0)到焦点的距离是6，则该抛物线的准线方程为 A.x=-2 B.x=2 C.y=-2 D.y=2 4.在等比数列(an}中，a1十a4十a7=32,a3十a6十ag=8,则ag十a12十a15 到 A是 B C或-品 D日或-日 5.已知函数f(x)=e+2f'(0)x+3,则f'(0)= A.e+1 B.e-1 C.1 D.-1 93 线 6.已知△ABC是面积为4 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为 16π，则O到平面ABC的距离为 A.3 B C.1 唱 7.如图，一圆形信号灯分成A,B,C,D四块灯带凶域，现有3种不同颜色的灯 带可供选择，要求在每块灯带区域里选择1种颜色，且相邻的两块灯带区域 0 选择不同的颜色，则不同的信号总数为 A18 B.24 C.30 D.42 【高二数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 8.对于三次函数f(x)=ax3十bz2十cx十d(a≠0)，给出如下定义：设f'(x)是函数y=f(x)》 的导函数，f(x)是f'(x)的导函数，若方程f"(x)=0有实数解xo,则称点(xo,f(x)为函 数y=∫(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的 图象都有对称中心，且“拐点"就是对称中心设函数g()=2x-3x2+,则g(20)十 8(22s)+a(2s)++g(82器) A.2026 B.2025 C.1012 D.1013 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设f'(x)是函数f(x)的导函数，下列将y=f(x)和y=f'(x)的图象放在同一个平面直角 坐标系中，其中可能正确的是 10.下列说法正确的是 A一组样本数据x1,x2,…,xn的平均数等于x1十1，x2十1，…，xm十1的平均数 B.样本数据1,1,1,0,2的标准差大于方差 C.若随机变量~B(9,号)，则D()=2 D.若随机变量~N(2,82),且P(≥4)=0.21，则P(>0)=0.79 11.过点(-1，一1)且与曲线y=3x3+2相切的直线方程可能为 A.8x-y+7=0 B.9x-y+8=0 C.9x-4y+5=0 D.8x-3y+5=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2在( 的展开式中，常数项为▲.（用数字作答） 13.已知数列{a.}满足a+1一。十，且首项a1=1,则a,- 14.已知函数f(x)=lnx-2ax十1，若存在x>0,使得f(x)≥0，则a的取值范围 为▲ 【高二数学弟2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=x3+2ax2十b.x十a一1在x=-1处取得极值0，其中a,b∈R (1)求a,b的值； (2)当x∈[一1,1]时，求f(x)的最大值和最小值. 16.(15分) 已知正项数列{an}的前n项和为S,,且a?+2an=4Sm十3. (1)求{an)的通项公式； (2)若6。=。】求数列6，的前n项和T anan+ 17.(15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2,AA1=1,∠BAD= 60°，M,N分别为A1B1,AD的中点 (1)证明：AN/平面BDM. (2)求平面BDM与平面AA,N夹角的余弦值. D D B 【高二数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 18.(17分) 已知双曲线C的中心在原点O,D(1,0)是C的一个顶点，y=√2x是C的一条渐近线. (1)求C的方程： (2)设P(0,1),M为C的右支上动点，当|PM取得最小值时，求四边形ODMP的面积； (3)若过点（一3,0）的直线与C交于A,B两点（都异于点D),证明：DA⊥DB. 这 19.(17分) 已知函数f(x)=a(e-1)-石(a≠0. (1)若a=1,证明：f(x)≥0. 2)若对推意0.+四1，：(0，+0)01，都有f）f>求a的取日 xi-a2 值范围。 = C 【高二数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF