8.5.2 线面平行课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何 8.5.2 直线与平面平行 证明线线平行： ①平行线的传递性 ②三角形的中位线 (找中点) ③平行四边形的对边平行 (先证平行四边形) ④棱柱的侧棱互相平行 ⑤线段成比例 ⑥定义(两直线共面且无公共点) 温故知新 1.线面平行的定义：直线和平面没有公共点. 直线是无限延伸的，平面是无限延展的，怎样判定直线与平面平行呢？ 当门绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗? 此时门转动的一边与墙面有公共点吗? 它们平行吗? 将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边CD转动，在转动的过程中(AB离开桌面)，DC的对边AB与桌面有公共点吗? 它们平行吗? 只要保证平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与平面无公共点，即直线与平面平行. 探究 a b α ②本质：线线平行线面平行 ①符号： (3个条件缺一不可) 2.判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行。 [思考]如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线与平面平行吗？ 提示：不一定，平行或直线在平面内． 新知一：线面平行的判定定理 [例1](P138-2) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点， 证明：BD1//平面AEC. O 线线平行线面平行 考点一：利用线线平行证明线面平行 [提醒]上面的第一步“找”是证题的关键，证线线平行的常用方法：三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等． [方法技巧]应用判定定理证明线面平行的步骤 考点一：利用线线平行证明线面平行 [P137例2]求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. B C A D E F 已知：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点. 求证：EF//平面BCD. 线线平行线面平行 新知一：线面平行的判定定理 [练习1]如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH. 证明：(1)∵E，H分别是AB，DA的中点， ∴EH为△ABD的中位线． ∴EH∥BD. 又∵EH ⊄面BCD，BD⊂面BCD， ∴EH∥面BCD. (2)∵BD∥EH，BD⊄面EFGH，EH⊂面EFGH， ∴BD∥面EFGH. 线线平行线面平行 考点一：利用线线平行证明线面平行 [练习2]三棱柱ABC-A1B1C1中，M, N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN//平面AA1C1C. 线线平行线面平行 考点一：利用线线平行证明线面平行 [练习3]正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BC,CC1,BB1的中点. 求证：EF//平面AD1G. 线线平行线面平行 考点一：利用线线平行证明线面平行 线线平行 ①平行线的传递性 ②三角形的中位线 (连中点) ③平行四边形的对边平行 (先证平行四边形) ④棱柱的侧棱互相平行 ⑤三角形中线段对应成比例 线面平行 a b α (key:找面内线//面外线) 线面平行的判定定理解决了判定线面平行的问题(即充分条件) ; 反之，在直线与平面平行的条件下，会得到什么性质结论（必要条件）？ 总结 [思考]如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？ a b α a与b平行 a b α a与b异面 平行或异面 在什么条件下，平面α内的直线会与直线a平行？如何找出平面α内与直线a平行的直线？ 假设平面α内的直线b与直线a平行， 由两条平行直线可确定一个平面知，过直线a，b有唯一的平面β. ∴b是平面α和平面β 的交线. 若a//α，且过直线a的平面β与平面α的交线为b，则a//b. 探究 3.线面平行的性质定理：若直线a与平面α平行，且过直线a的平面β与平面α的交线为直线b，则直线b与直线a平行. ②本质：线面平行线线平行 ①符号： 关键：找平面，定交线 新知二：线面平行的性质定理 [例2]如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体. 求证：截面MNPQ是平行四边形． 证：∵AB∥面MNPQ，面ABC∩面MNPQ＝MN，且AB⊂面ABC，∴AB∥MN同理PQ∥AB, ∴MN∥PQ.同理MQ∥NP.∴四边形MNPQ是平行四边形 考点二：利用线面平行证明线线平行 [方法技巧]应用线面平行的性质定理解题的步骤 总结 [练习1]空间四边形ABCD中，E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA上的点，EH∥FG. 则EH与BD的位置关系是________． EH∥BD 新知二：线面平行的性质定理 [练习2]如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 解：因为AB∥面α，AB⊂面ABCD，面ABCD∩面α＝MN，所以AB∥MN. 点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5. 5 课后练习 B 课后练习 [练习4]三棱柱中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交△ABC的边BC、AC于点E、F，则 ( ) A．MF∥NE B．四边形MNEF为梯形 C．四边形MNEF为平行四边形 D．A1B1∥NE AM＝2MA1 BN＝2NB1 MN//AB MN//平面ABC MN//EF 性质定理 判定定理 MN≠EF 梯形MNEF B 课后练习 [练习5](选)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，AC∩BD=O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 又AP⊂平面APG，面APG∩面BDM=GH 证明:连接MO，平行四边形ABCD中,O为AC的中点 又∵M为PC的中点，∴MO∥AP. 又AP⊂平面BDM，MO⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM， ∴AP∥GH. 课后练习 [练习6]如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l.求证：直线l∥平面PAC. 证：∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF∥AC.又∵EF⊄面ABC，AC⊂面ABC，∴EF∥平面ABC ∵EF⊂面BEF，且面BEF∩面ABC＝l，∴EF∥l.∵l⊄面PAC，EF⊂面PAC，∴l∥面PAC. 课后练习 [方法技巧] 直线与平面平行的判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，相互转化如下： 线线平行 线面平行判定定理 线面平行 线面平行性质定理 线线平行 课后练习 未完待续…… [练习3]正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2),3)a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交　　　　B．平行　　　　C．垂直　　　　D．不能确定 $