8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(重点) 2.理解侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(重难点) 3.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题.(重点) 8.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积 新课导入 在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题. 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 包装盒所占空间的大小跟围几何体的体积密切相关. 前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小． 预备知识——平面图形的面积 3 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 棱台 棱柱 棱锥 1.棱柱、棱锥、棱台表面积 例1 如图示，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积. A C B P 练1 已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积． E 练2 已知正四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该正四棱台的表面积_________. 练3 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积. 6 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 l O O' r • • O S l r 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 O' O r' r l • • 例2 将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆 柱(包含上、下底面)的表面积是(　　) A．40π2　　　　　　　　 B．64π2 C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π 练4 若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的(　　) A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 练5 圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________ cm2. 问题1 还记得初中学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？ 追问 对于一般的棱柱（棱锥、棱台）的体积又如何求解呢？ V正方体=a3 或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高) (a正方体的棱长) V长方体=abc (a,b,c分别为长方体长、宽、高) 长方体体积： 正方体体积： 问题2 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变， 观察改变前后的体积是否发生变化？ 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 夹在平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等. 底面积和高都相等的柱体，体积相等。 底面积和高都相等的锥体，体积相等。 V柱体=Sh 课本P114 几何体高的概念 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么， 棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 3.柱体、锥体体积 15 V柱体=Sh 16 问题3 三棱柱分割成三个三棱锥,它们三个的体积相等吗？ 三、棱柱、棱锥、棱台的体积 　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高. 　　如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 　　因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 　　 其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.         4.台体体积 过棱锥的顶点P作两底面的垂线，垂足为O′，O , 设PO′=x， 你能推导棱台的体积公式吗？ 问题4 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 S′=S S′=0 问题5 圆柱、圆锥体、圆台三者的体积公式之间有什么关系？ r’＝r 上底扩大 r’＝0 上底缩小 l O O' r O S l r O' O r' r l S′=S S′=0 例3 (1)已知正四面体棱长为a,求其体积 (2)已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为 ,则该正四棱锥的体积为____ 练6 正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积. 求体积方法1：公式法 求体积方法1：公式法 练9 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是　　　　.  例4 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为__________. 练7 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为_______.  大本P70 跟踪训练2 求体积方法2：等体积法（适用于三棱锥） 28 求体积方法2：等体积法（适用于三棱锥） 练8 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为________. 求体积方法3：割补法 求体积方法3：割补法 求体积方法3：割补法 例5 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米? 5.简单组合体的表面积和体积 练1 如图，一个棱长为4的正方体挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为　　　　.  35 练2 如图所示的组合体的下面是一个直三棱柱，△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2；上面是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，则组合体的表面积为　　　　　 .  36 练3 某广场设置一些石凳供大家休息，这些石凳由正方体截取八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 例2 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米? A' B' C' D' A B C D P 解： 如图示，由题意知 ∴这个漏斗的容积为 典例解析 3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 解： 如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有 B C A' B' C' D' A D E F G ∴这个石凳的体积为 巩固练习 课本P116 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 Lavf58.33.100 Lavf58.33.100 $