第3章 函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

第三章 函数

第1讲 函数及其表示

【知识梳理】

1.函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域：

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，$A、B$均为非空数集；

（2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系；

（3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据.由此有些数学书上称定义域和对应关系，为函数的两要素.

2.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法.
3.分段函数
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；
（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
4.求函数定义域的类型及方法
（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；
（2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；
（3）若已知的定义域为，则的定义域可由求出；若已知的定义域为，则的定义域为在时的值域.

 

【典型例题】
【例1】（1）函数的定义域是______________.
（2）函数的定义域为__________________.

【例2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（     ）

A.和；               B.和；
C.和；                D.和.
【例3】（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.

 

 

 

 

【例4】（1）已知，若，则_________.
（2）已知函数，.若，则___________；

【例5】（1）分别以，为定义域和值域的函数可以是__________；

（2）解析式，值域的函数共有________个；
（3）已知实数，函数，若，则的值为_____________.
【备用题1】集合，，给出下列四个图形，其中能表示以为定义域，为值域的函数关系的是（     ）

【备用题2】高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.例如：，.则下列结论：（1）；（2）；（3）若，则的取值范围是；（4）当时，的值为1，2.其中正确的结论有_______________（写出所有正确结论的序号）.

第2讲 函数的奇偶性与周期性

【知识梳理】
1.函数奇偶性的判断

 

奇偶性	定义	图像特点
偶函数	如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数	关于y轴对称
奇函数	如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数	关于原点对称

（1）       定义法