第4章 导数及其应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

第四章 导数及其应用
第1讲 导数的概念及意义、导数的运算

【知识梳理】
1.导数的概念
（1）一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率；
（2）函数在处的导数就是函数在处的瞬时变化率；
（3）函数在点处的导数的几何意义是在曲线在点处的切线的斜率.相应地，切线方程为；
（4）通常我们将导数为零的点称为函数的驻点；
（5）给定函数，在导数存在的前提下，对于不同的，总有一个确定的导数值与之对应，则称为函数的导函数.

2.基本初等函数的导数公式和求导法则
（1）基本初等函数的导数公式：

 

原函数	导函数
为常数
为常数

 

（2）导数的四则运算法则：
①；

②；
③（其中）.
（3）简单复合函数的导数：由与复合而成的型复合函数，其求导法则为，其中.
（4）曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系.
①曲线在点处的切线是指为切点，切线斜率为的切线，是唯一的一条切线；
②曲线过点的切线，是指切线经过点.点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.
【典型例题】
【例1】某炼油厂将原油精练为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第小时时，原油温度（单位：）满足，其中，求原油温度瞬时变化率的最小值.

 

 

 

【例2】（1）已知函数，其中.若，求实数的值；

（2）已知函数，其中，求的值.

 

 

 

【例3】已知曲线在点处的切线方程为，求实数、的值.

 

 

 

 

【例4】在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，求点的坐标.

 

 

 

【备用题1】已知函数，其中.若曲线存在两条过点的切线，求实数的取值范围.

 

 

【备用题2】已知点是曲线上任意一点，求点到直线的最小距离.

 

 

 

 

第2讲 导数的应用
第1课时 导数与函数的单调性

【知识梳理】
函数的单调性与导数的关系：
函数在区间内可导，
（1）若，则在区间内是严格增函数；