高考尖子生培优专题05：比较函数值大小解题技巧（超越不等式、放缩法、泰勒不等式、构造函数、帕德近似）讲义-2027届高三数学一轮复习(新高考专用)

该高中数学高考复习讲义聚焦比较函数值大小核心考点，涵盖单调性、中间值比较、超越不等式、放缩法、帕德近似、构造函数及泰勒不等式等解题技巧，按“常规策略—二级结论—经典题型”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题讲解与分层练习，帮助学生构建系统解题框架，突破函数比较难点。 资料创新融合泰勒不等式、帕德近似等进阶方法，以构造指数型、对数型函数模型（如例5指数构造、例6对数构造）培养数学思维，设计从基础到综合的变式训练提升应用意识，助力学生在有限时间内掌握高效解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题05：比较函数值大小解题技巧 （超越不等式、放缩法、泰勒不等式、构造函数、帕德近似） 解题技巧一 单调性、中间值比较大小 5 解题技巧二 两类经典的超越不等式的应用 6 解题技巧三 不等式放缩的应用 7 解题技巧四 帕德近似的应用 8 解题技巧五 构造函数--指数型构造 9 解题技巧六 构造函数--对数型构造 10 解题技巧七 泰勒不等式 10 思维导图 1、 常规解题策略： （1）①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； 注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。 （2）底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定. （3）通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。 (2)估值比较大小 根式：，，， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， 三角式：， (2)构造函数 （1）构造函数或； （2）构造函数或； （3）构造函数或. （4）六大超越函数图像 表达式 图像 表达式 图像 二、二级结论 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 泰勒不等式 （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 3. 不等式放缩 （1）； （2）（），当时取等号；变式：,当时取等号； （3）（），当时取等号；变式：； （4）（），当时取等号； （5）（），当时取等号. ①放缩结论补充1：不等式， ②放缩结论补充2： ③放缩结论补充3： ， 经典重现+解题技巧 解题技巧一 单调性、中间值比较大小 单调性法比较大小的应用技巧 （1）底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小. 中间值比较大小的应用技巧 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 【例1】（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 解题技巧二 两类经典的超越不等式的应用 解题策略：在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： ①指数型：,常用于处理含的式子： ②对数型：,常用于处理含的式子。 ③如图可得：,, ④如下图：二者本质关系是指对缩放之间的转换 【例2】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高三下·陕西西安·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三下·河北唐山·模拟）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·江西吉安·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 解题技巧三 不等式放缩的应用 解题策略：不等式放缩是通过一系列已知不等式将原式放大或缩小，转化为更简单的形式，从而比较大小或证明不等式。除了经典超越不等式，还需掌握常见放缩链（如等)以及三角、幂函数等的放缩技巧。放缩要求适度，方向一致，且往往需多次尝试。 ①分析待处理式子的结构（指数、对数、分式、根式等），联想与之相关的已知不等式或放缩链。 ②根据放缩方向（需放大还是缩小），选取一个或多个不等式进行尝试。注意等号成立条件，确保放缩后的式子更简单且可比。 ③将选定的不等式代入原式，进行代数化简，得到放缩后的表达式。有时需连续放缩，形成不等式链。 【例3】（25-26高三下·河北衡水·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三下·湖南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧四 帕德近似的应用 解题策略：帕德近似是一种有理函数逼近方法，用有理分式来近似函数值。相比泰勒多项式，帕德近似往往在相同阶数下精度更高，尤其适用于函数值比较问题。需要记忆常见函数（如等)的帕德近似式，并掌握其使用方法。 ①当待比较数值涉及指数、对数、三角函数等，且数值接近，泰勒近似计算复杂时，可考虑帕德近似。 ②将具体的 x 值代入帕德近似式，计算有理分式的值。注意近似式的适用区间（通常为 x 较小的情况）。 ③比较各数值的帕德近似值，得出大小关系。由于帕德近似精度较高，通常可直接作为比较依据。 【例4】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧五 构造函数--指数型构造 指数型构造特征： 1、多以e为底数，构造+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小 2、构造对数幂型：，比较常见的构造式： 【例5】已知且，且，且，则（ ） A.    B.    C.    D. 【变式5-1】（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【变式5-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧六 构造函数--对数型构造 对数型构造特征： 1、多以e为底数，构造lnx+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小 2、构造对数幂型：，比较常见的构造式： 【例6】（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“”连接） 解题技巧七 泰勒不等式 解题策略：利用泰勒公式解决指数函数，对数型函数，三角函数，，等与一元高次函数之间的放缩、近似计算、比较大小等问题.解决此类问题的关键点如下： ①列泰勒公式：观察已知条件的特征，与函数，等相对照，列出对应的泰勒公 ② 求函数值：根据已知条件，代入自变量的值并近似计算求函数值 ③给出结论：根据计算结果，给出判断结果 常用近似计算公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例7】（2025·福建福州·模拟预测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，，，则（    ） A.    B.           C.           D. 【变式7-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东枣庄·阶段检测）设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西赣州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·河南·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·重庆·一模）英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·全国·专题练习）英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brook Taylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 12.在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较大小 15．（2024高二下·全国·专题练习）已知是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且当时，．记，，，则（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题05：比较函数值大小解题技巧 （超越不等式、放缩法、泰勒不等式、构造函数、帕德近似） 解题技巧一 单调性、中间值比较大小 5 解题技巧二 两类经典的超越不等式的应用 7 解题技巧三 不等式放缩的应用 10 解题技巧四 帕德近似的应用 13 解题技巧五 构造函数--指数型构造 15 解题技巧六 构造函数--对数型构造 18 解题技巧七 泰勒不等式 21 思维导图 1、 常规解题策略： （1）①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； 注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。 （2）底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定. （3）通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。 (2)估值比较大小 根式：，，， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， 三角式：， (2)构造函数 （1）构造函数或； （2）构造函数或； （3）构造函数或. （4）六大超越函数图像 表达式 图像 表达式 图像 二、二级结论 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 泰勒不等式 （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 3. 不等式放缩 （1）； （2）（），当时取等号；变式：,当时取等号； （3）（），当时取等号；变式：； （4）（），当时取等号； （5）（），当时取等号. ①放缩结论补充1：不等式， ②放缩结论补充2： ③放缩结论补充3： ， 经典重现+解题技巧 解题技巧一 单调性、中间值比较大小 单调性法比较大小的应用技巧 （1）底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小. 中间值比较大小的应用技巧 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 【例1】（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 【变式1-1】（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 【变式1-2】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 【变式1-3】（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算，分离“1”之后，结合底数、真数的大小关系，画出图象进行比较即可. 【详解】由，，， 因为，而， 画出的图象，        由图可知，，那么， 则，则，即． 故选：A． 解题技巧二 两类经典的超越不等式的应用 解题策略：在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： ①指数型：,常用于处理含的式子： ②对数型：,常用于处理含的式子。 ③如图可得：,, ④如下图：二者本质关系是指对缩放之间的转换 【例2】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 【变式2-1】（24-25高三下·陕西西安·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可通过构造函数，结合函数导数，利用函数的单调性来比较、、的大小． 【详解】设， ， 所以在上单调递增，所以， 所以，则. 由于 ，且函数在单调递增，则，即， 由于，故，又函数在上单调递增，则，因此，则. 由上述分析可知． 故选：B 【变式2-2】（25-26高三下·河北唐山·模拟）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小. 【详解】令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，； 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即， 所以. 故选：A 【变式2-3】（25-26高三上·江西吉安·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数确定单调性比较；构造函数，利用导数确定单调性比较即可. 【详解】令，求导得，函数在上递增， 则，即，因此，即； 令，求导得， 函数在上递增，，即，因此，即， 所以，，的大小关系为. 故选：A 解题技巧三 不等式放缩的应用 解题策略：不等式放缩是通过一系列已知不等式将原式放大或缩小，转化为更简单的形式，从而比较大小或证明不等式。除了经典超越不等式，还需掌握常见放缩链（如等)以及三角、幂函数等的放缩技巧。放缩要求适度，方向一致，且往往需多次尝试。 ①分析待处理式子的结构（指数、对数、分式、根式等），联想与之相关的已知不等式或放缩链。 ②根据放缩方向（需放大还是缩小），选取一个或多个不等式进行尝试。注意等号成立条件，确保放缩后的式子更简单且可比。 ③将选定的不等式代入原式，进行代数化简，得到放缩后的表达式。有时需连续放缩，形成不等式链。 【例3】（25-26高三下·河北衡水·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别构造函数，，利用导数判断函数单调性，由单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则. 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 所以当时，，即. 令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为，而，所以，所以，即，整理得，故. 所以 【变式3-1】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据式子结构特征构造函数，利用单调性判断可得，再令，求导判断出单调性可得，即可求得结果. 【详解】由可构造函数， 则，令，解得， 因此可得当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 可知在处取得极小值，也是最小值，所以， 即，故，即 当时，有，所以，可得； 令， 则， 故在上单调递增， 可得，即， 取，则，所以，可得； 综上可得，. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较指数以及对数大小问题时，经常通过观察式子的特征合理构造函数并利用导数求得单调性即比较得出结论. 【变式3-2】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，构造函数，即可判断的大小关系，构造函数，即可判断的大小关系，从而得到结果. 【详解】因为，构造函数，， 则，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以为的极小值点， 所以，则， 即，所以，即， 又， 构造函数，， 则，所以在单调递增， 则，即， ，所以，则. 故选：D 【变式3-3】（25-26高三下·湖南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】构造函数，利用导数证明，令，求解判断. 【详解】设，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，即， 所以，即， 所以，∴， 又， 而，∴， 故. 故选：D. 解题技巧四 帕德近似的应用 解题策略：帕德近似是一种有理函数逼近方法，用有理分式来近似函数值。相比泰勒多项式，帕德近似往往在相同阶数下精度更高，尤其适用于函数值比较问题。需要记忆常见函数（如等)的帕德近似式，并掌握其使用方法。 ①当待比较数值涉及指数、对数、三角函数等，且数值接近，泰勒近似计算复杂时，可考虑帕德近似。 ②将具体的 x 值代入帕德近似式，计算有理分式的值。注意近似式的适用区间（通常为 x 较小的情况）。 ③比较各数值的帕德近似值，得出大小关系。由于帕德近似精度较高，通常可直接作为比较依据。 【例4】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用帕德逼近，得， ，，综上，.故选：B 【变式4-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可. 【解析】， ， . 综上，． 故选：A 【变式4-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可. 【解析】利用帕德逼近可得， 综上，． 故选：B. 【变式4-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系. 【解析】，， ， 综上，． 故选：B 解题技巧五 构造函数--指数型构造 指数型构造特征： 1、多以e为底数，构造+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小 2、构造对数幂型：，比较常见的构造式： 【例5】已知且，且，且，则（ ） A.    B.    C.    D. 解析：观察题目中三个等式的结构： ，，可变形为 ，.据此，构造函数，则三个等式可表示为： . 由知. 当时，，所以，即在上单调递减；当时，，所以，即在上单调递增. 因为，且在上单调递减，所以： 因为，若属于，根据在单调递减可知，这与“”矛盾. 因此， 必属于（因为 在 单调递增，可存在唯一的自变量对应相等的函数值）. 由于在 上单调递增，且，所以，故选：D. 【变式5-1】（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】B 【分析】构造函数，然后求导数，由条件得到函数的单调性，利用函数单调性得到的不等式，化简不等式即可得到结果. 【详解】∵，即， 令，则 即在上单调递增， ∵ ∴，即， 则，即. 故选：B 【变式5-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设利用导数得到函数单调性，从而求解； 方法二：设特例法得解. 【详解】方法一：∵， ∴, 设则在上单调递减， 所以， ， 即，故C正确． 方法二：设又，C正确． 故选：C 【变式5-3】（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题设条件转化为，从而得到，进而得到，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 【详解】由变形得， 从而有，， 所以， 因为，所以，则， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，， 又，而， 所以， 综上，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用，由到得，是解决本题的关键. 解题技巧六 构造函数--对数型构造 对数型构造特征： 1、多以e为底数，构造lnx+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小 2、构造对数幂型：，比较常见的构造式： 【例6】（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 【变式6-1】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对两边取对数，从而构造函数与，利用导数判断得两者的单调性，进而判断得与，由此得解. 【详解】因为，，所以，， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 因为，所以，而， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 综上，. 故选：B 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据对数运算法则，对题干条件进行恒等变形，根据变换结果构造函数，根据函数单调性比较数值大小. 【详解】因为，，， 所以令，，则，，， 可知， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 因为，所以，即． 故答案为：. 解题技巧七 泰勒不等式 解题策略：利用泰勒公式解决指数函数，对数型函数，三角函数，，等与一元高次函数之间的放缩、近似计算、比较大小等问题.解决此类问题的关键点如下： ①列泰勒公式：观察已知条件的特征，与函数，等相对照，列出对应的泰勒公 ② 求函数值：根据已知条件，代入自变量的值并近似计算求函数值 ③给出结论：根据计算结果，给出判断结果 常用近似计算公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例7】（2025·福建福州·模拟预测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 【变式7-1】已知，，，则（    ） A.    B.           C.           D. 分析：由泰勒公式得得到、的近似值，再进行比较大小. 【解析】由泰勒公式得，，， 令，得到， 又， 令，得到， ，所以，故选A. 【变式7-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 【变式7-3】若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导得到函数单调性，得到，求出，构造，求导得到函数单调性，得到，故，得到答案. 【详解】设， 则，∴时，，在上单调递增． ∴，即，∴，． 设，则，∴当时，，即在上单调递增． ∴，，∴，即． 综上，.故选：C． 1．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，，， 则， 又因， 则得. 2．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数研究其单调性后可得，再利用三角函数性质合理放缩可得，即可得. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故当时，， 则，即，故， ， ，故； 综上可得. 3．（24-25高三上·山东枣庄·阶段检测）设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，由此即可比较，进一步比较，由此即可得解. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则， 所以在上单调递增， 从而，即，， 所以，， 从而当时，， ， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在比较的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解. 4．（25-26高三下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件和作差法比较大小，构造函数，根据函数导数判定函数单调性，进而判定函数值的正负，判定各数值的大小. 【详解】由题可知， 设函数，则， 在上，即函数在单调递减， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 设函数，则， 在上，即函数在单调递增， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 综上所述，可知. 5．（2024·江西赣州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，对求导可得在上单调递减，可得，即，再由作差法比较的大小，即可得出答案. 【详解】令,, 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，即， 所以可得，故， 因为， 所以， 故. 故选：D. 6．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，， 即，，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：. 故选：C. 7．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性和奇偶性，再设，分析的单调性，可得的大小关系. 【详解】对，, ， 所以函数为偶函数. 当时，，因为，所以. 所以在上单调递减. 设，，所以. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 又，所以. 所以. 所以. 又因为. 所以. 故选：C 8．（24-25高三下·河南·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求导得函数单调性，进一步即可比较大小. 【详解】因为，，， 构造函数，求导得， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以. 故选：A. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作差法比较大小，根据函数在单调递增比较大小即可. 【详解】由于，故， 所以，即，故，排除AB； 令，则， 当时，，函数在单调递增， 所以，即，故，故D选项错误. 综上，． 故选：C 10．（2024·重庆·一模）英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可. 【详解】原式， 故选：C. 11．（2025高三·全国·专题练习）英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brook Taylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再根据，转化为角度制求解. 【详解】解：由题意知， 因为， 所以． 故选：B． 12.在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 13．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 【答案】C 【分析】构造函数，求导得到其单调性，结合特殊点函数值，得到，再构造，求导得到，从而得到当时，，当时，，结合，，故，使得，得到. 【详解】令，则， 当时，，， 故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故零点，使得， 所以. 故选：C 【点睛】导函数处理零点问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数或所在区间，较为复杂和综合的函数零点问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方 14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递减，从而得到，进而得解. 【详解】令，则， 因为对任意的都有成立， 所以，即在上单调递减，又， 故，即，可得. 故选：C. 15．（2024高二下·全国·专题练习）已知是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且当时，．记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得，结合条件推出的正负，得到的单调性，然后判断、 、大小关系，即可得出答案. 【详解】令，得． ∵当时，， ∴当时，，故在上单调递减． 又，，， ∴， ∴，故． 故选：C． 2 学科网（北京）股份有限公司 $