子数列问题 课件-2027届高三数学一轮复习

子数列问题 重难解读 　　子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一 般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要 搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不 变化，项数变化. 目录/ CONTENTS 考点一 公共项与并项问题 01 考点二 增、减项问题 02 课时跟踪训练 03 01 PART 考点一 公共项与并项问题 目 录 教材母题：〔人A选修二P25习题8题〕已知两个等差数列2，6，10，…， 190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序 组成一个新数列.求这个新数列的各项之和. 细研教材：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公 差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数 列公比的最小公倍数. 高中总复习·数学 目 录 将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 {an}的前n项和为 ⁠. 3n2－2n 解析：因为数列{2n－1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n －2}是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成 的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和 为n·1＋ ·6＝3n2－2n. 高中总复习·数学 目 录 变式1 （2026·陕西西安模拟）由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记 为{cn}，已知an＝3n－2，bn＝2n，若{cn}为递增数列，且c5＝bm＝at， 则m＋t＝ ⁠. 352 解析：由已知c1＝b2＝a2＝4，设cn＝bm＝at，即cn＝2m＝3t－2，bm＋1＝ 2m＋1＝2（3t－2）＝3t'－2，t'＝ 不是正整数，所以bm＋1不是公共 项.bm＋2＝2m＋2＝4（3t－2）＝3t'－2，t'＝4t－2，故cn＋1＝bm＋2＝a4t－ 2，因为c1＝b2＝a2＝4，所以c2＝b4＝a6，c3＝b6＝a22，c4＝b8＝a86，c5 ＝b10＝a342，故当n＝5时，m＝10，t＝342，故m＋t＝352. 高中总复习·数学 目 录 变式2 （2025·江苏南京期末）已知等差数列{an}的前n和为Sn，数列{bn}是公比为2的等比数列，且a1＝b2＝4，S3＝21. （1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式； 解：因为数列{bn}为等比数列，且b2＝4，q＝2， 所以bn＝b2×qn－2＝4×2n－2＝2n. 又因为S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝21，所以a2＝7， 又a1＝4，则d＝3， 故等差数列{an}的通项公式为an＝4＋（n－1）×3＝3n＋1. 高中总复习·数学 目 录 （2）数列{an}与{bn}中的所有项分别构成集合A与B，将集合A∪B中 的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前30 项和. 解：因为an＝3n＋1，bn＝2n， 所以b1＝2，b2＝4，b3＝8，b4＝16，b5＝32，b6＝64，b7＝128， 而a30＝91，a31＝94，a32＝97，a33＝100＜b7＝128. 因为b2，b4，b6在数列{an}前30项内，b1，b3，b5不在数列{an}前30 项内， 则数列{cn}前30项和为S27＋b1＋b3＋b5＝27×4＋ ×3＋（2＋8＋ 32）＝1 203. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 增、减项问题 目 录 （2026·陕西咸阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1 ＝2Sn＋2（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由题意知， 当n＝1时，a1q＝2a1＋2，　① 当n＝2时，a1q2＝2（a1＋a1q）＋2，　② 联立①②，解得a1＝2，q＝3. 所以数列{an}的通项公式an＝2×3n－1. 高中总复习·数学 目 录 （2）在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等 差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数 列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 解：由（1）知an＝2×3n－1，an＋1＝2×3n. 所以an＋1＝an＋（n＋2－1）dn. 所以dn＝ ＝ . 设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比 数列. 则 ＝dm·dp， 高中总复习·数学 目 录 所以（ ）2＝ · ，即（ ）2＝ . 又因为m，k，p成等差数列， 所以2k＝m＋p， 所以（k＋1）2＝（m＋1）（p＋1）， 化简得k2＋2k＝mp＋m＋p，所以k2＝mp. 又2k＝m＋p，所以k＝m＝p，与已知矛盾. 所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp成等比数列. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先 判断数列之间共增加（减少）了多少项 （运用等差等比求和或者项数公 式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项. 高中总复习·数学 目 录 练 （2026·安徽黄山模拟）已知数列{bn}为等比数列，正项数列{an}满足 4an＝ － －4，且a1＝2，b1＝1，a4＝b4. （1）求{an}和{bn}的通项公式； 解：因为4an＝ － －4，所以 ＝ ，又an＞0， 所以an＋1＝an＋2. 即an＋1－an＝2，又a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列. 所以an＝2＋（n－1）×2＝2n，即an＝2n， 设{bn}的公比为q，又b4＝a4＝8，b1＝1， 所以q3＝8，解得q＝2，所以bn＝2n－1. 综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝2n，bn＝2n－1. 高中总复习·数学 目 录 （2）若从{an}中去掉与数列{bn}中相同的项后余下的项按原来的顺序组 成数列{cn}，设T100＝c1＋c2＋c3＋…＋c100，求T100. 解：由（1）知b1＝1，b2＝2＝a1，b3＝4＝a2，b4＝8＝a4，b5＝16＝a8， b6＝32＝a16，b7＝64＝a32，b8＝128＝a64，b9＝256＝a128. 所以T100＝c1＋c2＋c3＋…＋c100＝（a1＋a2＋a3＋…＋a107）－（b2＋b3 ＋…＋b8）. ＝ － ＝11 302. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：58分） 目 录 1. （13分）（2026·福建莆田模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已 知2a4＝a3＋14，S3＝15. （1）求{an}的通项公式； 解：设公差为d， 由题意得2a1＋6d＝a1＋2d＋14，S3＝3a1＋3d＝15， 解得d＝3，a1＝2， 故an＝a1＋（n－1）d＝2＋3（n－1）＝3n－1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）记集合A＝{x｜x＝an，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}，将 A∪B中的元素从小到大依次排列，得到新数列{bn}，求{bn}的前20项和. 解：A＝{2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，…}，B＝{3，5，9，17，33，65，…}，故{bn}的前20项为2，3，5，8，9，11，14，17，20，23，26，29，32，33，35，38，41，44，47，50， 故{bn}的前20项和为2＋5＋8＋11＋14＋17＋20＋23＋26＋29＋32＋35＋38＋41＋44＋47＋50＋3＋9＋33 ＝S17＋3＋9＋33＝17×2＋ ×3＋45＝487. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列 {an}中，a1＝b1，a4＝b8. （1）求{bn}与{an}的通项公式； 解：∵Sn＝n2＋n， ∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n. 又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n. ∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16， ∴等比数列{an}的公比为2， ∴an＝2n. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn} 的前20项和. 解：∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50， ∴c1＋c2＋…＋c20＝（b1＋b2＋…＋b25）－（a1＋a2＋…＋a5）＝S25－ （21＋22＋…＋25）＝ － ＝650－62＝588. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）已知数列{an}是等差数列，且a2＝－1，数列{bn}满足bn－bn －1＝an（n≥2，n∈N*），且b1＝b3＝1. （1）求数列{bn}的通项公式； 解：由题意可知b2－b1＝a2，即b2－1＝－1，故b2＝0，由b3－b2＝a3， 可得a3＝1，所以数列{an}的公差d＝2，所以an＝－1＋2（n－2）＝2n －5，由bn－bn－1＝an，bn－1－bn－2＝an－1，…，b2－b1＝a2，累加可得 bn－b1＝a2＋a3＋…＋an＝ ，整理可得bn＝n2－4n＋4 （n≥2），当n＝1时，满足上式，所以bn＝n2－4n＋4. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）将数列{an}，{bn}的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数 列{cn}，求数列{cn}的通项公式. 解：不妨设am＝bn（m，n∈N*），即2m－5＝（n－2）2，可得m＝ ， 当n＝2k（k∈N*）时，m＝2k2－4k＋ ，不合题意， 当n＝2k－1（k∈N*）时，m＝2k2－6k＋7＝2k（k－3）＋7∈N*， 所以b2k－1在数列{an}中均存在公共项， 又b1＝b3＜b5＜b7＜…，所以cn＝b2n＋1＝（2n－1）2. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）（2026·陕西西安模拟）已知数列{an}是等差数列，且a2＝ 4，2a4－a5＝7. （1）求数列{an}的通项公式； 解：因为数列{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d， 依题意，a2＝4，2a4－a5＝7， 即 解得 所以等差数列{an}的通项公式为an＝1＋3（n－1）＝3n－2. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）在ak和ak＋1（k∈N*）之间插入k个相同的数（－1）k＋1·k，构成一 个新数列{bn}：a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}的 前100项和T100. 解：设ak和插入的k个数（－1）k＋1·k构成一组数， 则前k组共有k＋（1＋2＋…＋k）＝k＋ ＝ 个数， 令 ≤100，又k∈N*，解得k≤12； 当k＝12时， ＝90＜100， 所以{bn}的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 所以T100＝（a1＋1）＋（a2－22）＋（a3＋32）＋…＋（a11＋112）＋ （a12－122）＋（a13＋13×9） ＝（a1＋a2＋…＋a13）＋（1－22＋32－42＋…＋112－122）＋117 ＝ －（1＋2＋3＋…＋12）＋117＝247－ ＋117 ＝247－78＋117＝286. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $