等差数列及其前n项和 课件-2027届高三数学一轮复习

第2节　等差数列及其前n项和 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 目录/ CONTENTS 考点一 等差数列的有关概念 01 考点二 等差数列的性质 02 提能点 等差数列的判定与证明 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 等差数列的有关概念 目 录 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则 等差数列定义式 （d为常数） 等差中项 A＝ （A是a与b的等差中项） 通项公式 或 ⁠ ⁠ 前n项和公式 Sn＝ 　 　 ＝ 　na1＋ n·（n－1）d　 an＋1－an＝d　 　 an＝a1＋（n－1）d　 an＝am＋（n－m）d （n，m∈N*） 　 na1＋ n·（n－1）d 提醒：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d ＝0⇔{an}为常数列；③d＜0⇔{an}为递减数列. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2025·全国Ⅱ卷7题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3 ＝6，S5＝－5，则S6＝（　B　） A. －20 B. －15 C. －10 D. －5 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题可得 ⇒ 所以S6＝6a1＋15d＝6×5＋15×（－3）＝－15，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S9＝126，若ak＝26， 则k＝ ⁠. 解析：设等差数列{an}的公差为d，由S9＝ ＝9a5＝126，得a5 ＝14，故d＝ ＝3，由ak＝a1＋（k－1）d＝2＋3（k－1）＝26，得 k＝9. 9 高中总复习·数学 目 录 规律方法 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中 项间接求解. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2024·全国甲卷4题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知 S5＝S10，a5＝1，则a1＝（　B　） B A. B. C. － D. － 解析：由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，则等差数 列{an}的公差d＝ ＝－ ，故a1＝a5－4d＝1－4×（－ ）＝ ，故 选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕在公差大于0的等差数列{an}中，a2＋a8＝10，a3a7＝ －11，则该数列的公差为（　D　） A. B. C. 2 D. 3 解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a8＝2a5＝10，得a5＝ 5，所以a3a7＝（a5－2d）（a5＋2d）＝ －4d2＝25－4d2＝－11，即d2 ＝9，又d＞0，解得d＝3，故选D. 法二　因为a2＋a8＝a3＋a7＝10，又a3a7＝－11且d＞0，所以a3＝－1，a7 ＝11，所以d＝ ＝ ＝3. D 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 等差数列的性质 目 录 1. 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al ＝am＋an. 2. 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*） 是公差为 的等差数列. 3. 若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 是公差为m2d的等差数列. 4. 若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列{ }是公差为 的等差数列. md　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ＝n（a1＋a2n） ＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd， ＝ ； （2）若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an； ＝ ；S奇－S偶＝an（中间项）. 高中总复习·数学 目 录 角度1　项的性质 （2026·四川眉山模拟预测）已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－ ＝0（m＞1），且前2m－1项和S2m－1＝38，则m＝ ⁠. 解析：因为am－1＋am＋1－ ＝0（m＞1），所以2am－ ＝0，解得am ＝0或am＝2，又S2m－1＝38＝ ＝（2m－1）am，所以 am不能等于0，只能等于2，所以2m－1＝19，解得m＝10. 10 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝ 中，Sn与a1＋an也可相互转化. 高中总复习·数学 目 录 角度2　和的性质 （1）（2026·吉林长春模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn， 若S3＝S9＝6，则S12＝（　A　） A. 0 B. 3 C. 6 D. 12 解析：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数 列，又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列，则6＋S12 －6＝S6－6＋6－S6，则S12＝0，故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为 90，末项与首项之差为27，则n＝ ⁠. 解析：S偶－S奇＝nd＝90－75＝15，又∵a2n－a1＝27， ∴ 解得n＝5. 5 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： （1）Sn＝ n2＋（a1－ ）n（d≠0），则Sn是关于n的二次函数，但无 常数项； （2）Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd（m，n∈N*）；Sm＋n＝ （m，n∈N*，且m≠n），特别地，若Sm＝Sn（m≠n），则Sm＋n＝ 0； （3）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则有 ＝ （m≤ ）. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2026·河北模拟预测）已知{an}是等差数列，a1＋a3＝a6，a3 与a5是方程x2－12x＋m＝0的两根，则{an}的前n项和为 ⁠⁠； 解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＋a3＝a6，∴2a2＝a6，又由根与 系数的关系得a3＋a5＝12＝a2＋a6，∴a2＝4，a6＝8，∴d＝1，an＝a2＋ （n－2）d＝n＋2，∴a1＝3，Sn＝ n（a1＋an）＝ n（n＋5）. n（n＋5） 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·陕西咸阳模拟）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为 Sn，Tn，已知 ＝ ，则 的值为 　​ 　. 解析：在等差数列{an}中，S15＝a1＋a2＋…＋a15＝ ＝ 15a8，在等差数列{bn}中，同理T15＝15b8，而 ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 等差数列的判定与证明 目 录 〔多选〕（2026·河南开封期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，则 “数列{an}为等差数列”的充要条件是（　　） A. 当n≥2时，an＋1－an＝d（d为常数） B. an＝kn＋b（k，b为常数） C. Sn＝an2＋bn（a，b为常数） D. 2an＋1＝an＋an＋2 √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，当n≥1时，an＋1－an＝d⇔数列{an}为等差数列，A错误；对于B，数列{an}的通项公式可以表示为an＝kn＋b⇔数列{an}为等差数列，B正确；对于C，数列{an}的前n项和可以表示为Sn＝an2＋bn的形式⇔数列{an}为等差数列，C正确；对于D，由2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，D正确.故选B、C、D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　除了用定义法判定等差数列外，还有以下简单的判定方法： （1）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1； （2）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）； （3）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常 数）. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）数列{an}满足a1＝2，a2＝1并且 ＝ － （n≥2），则 数列{an}的第100项为 ⁠； ​ 解析：∵ ＝ － （n≥2），∴ ＋ ＝ ，则 为等差 数列，首项为 ＝ ，第2项为 ＝1，公差d＝ ，则有 ＝ ＋99d＝ 50，∴a100＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·四川成都模拟节选）已知数列{an}，a1＝16，an＝4an－1＋ 3·4n（n≥2）.令bn＝ ，证明数列{bn}是等差数列，并求出通项公式. 解：证明：∵an＝4an－1＋3·4n（n≥2）， 两端除以4n，得 － ＝3，即bn－bn－1＝3， 由a1＝16，得b1＝4， ∴数列{bn}是以4为首项，3为公差的等差数列， ∴bn＝4＋3（n－1）＝3n＋1. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·甘肃甘南模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 －S1 ＝1，则数列{an}的公差是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 解析：　由 －S1＝1，得 －a1＝1，则a3－a1＝2可得d＝ 1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·安徽合肥模拟）数列{an}中，an＝an＋1＋2，a5＝18，则a1＋ a2＋…＋a10＝（　　） A. 210 B. 190 C. 170 D. 150 解析：由an＝an＋1＋2知数列{an}是公差为－2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a10＝5（a5＋a6）＝5×（18＋16）＝5×34＝170.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝ （　　） A. 1 B. C. 4 D. 8 解析：因为数列{an}为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3，所以a1＋a8＝a4＋a5＝4.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 〔一题多解〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝－3，Sm＋1＝ 0，Sm＋2＝4，则m＝（　　） A. 8 B. 7 解析：法一　由题意得am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，am＋2＝Sm＋2－Sm＋1＝4， 则等差数列的公差d＝am＋2－am＋1＝1，由am＋1＝a1＋m＝3得a1＝3－ m，则Sm＝m（3－m）＋ ＝－3，所以m＝6. 法二　由等差数列的性质，得{ }为等差数列，则 ＋ ＝ ，得 ＋ ＝0，解得m＝6.故选C. √ C. 6 D. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 〔一题多解〕设等差数列{an}满足3a8＝5a15，且a1＞0，Sn为其前n项 和，则数列{Sn}的最大项为（　　） A. S23 B. S24 √ C. S25 D. S26 解析：设等差数列的公差为d，∵3a8＝5a15，∴3a1＋21d＝5a1＋70d， ∴a1＋ d＝0. 法一 ∵a1＞0，∴d＜0，∴a1＋24d＝a25＞0，a1＋25d＝a26＜0，∴数列 {Sn}的最大项为S25.故选C. 法二 ∵Sn＝ （n2－50n），d＜0，∴当n＝25时，数列{Sn}有最大项， 为S25.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕若正项数列{an}是等差数列，且a2＝5，则（　　） A. 当a3＝7时，a7＝15 B. a4的取值范围是[5，15） C. 当a7为整数时，a7的最大值为29 D. 公差d的取值范围是（0，5） 解析：当a2＝5，a3＝7时，公差d＝2，a7＝a3＋4d＝7＋8＝15，故A正确；因为{an}是正项等差数列，所以a1＝5－d＞0，即d＜5，且d≥0，所以公差d的取值范围是[0，5），故D错误；因为a4＝5＋2d，所以a4的取值范围是[5，15），故B正确；a7＝5＋5d∈[5，30），当a7为整数时，a7的最大值为29，故C正确.故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔一题多解〕设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝4，S6＝36，则 S4＝ ⁠. 解析：法一　因为Sn为等差数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4 也成等差数列，即4，S4－4，36－S4成等差数列，所以2（S4－4）＝36－ S4＋4，解得S4＝16. 法二　设等差数列{an}的公差为d，由Sn为等差数列{an}的前n项和，且 S2＝4，S6＝36，所以 解得 所以S4＝4a1＋6d ＝16. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知数列{an}的首项a1＝1，且数列{log2an}是以1为公差的等差数列， 则log2a3＋log2a8＝ ⁠. 解析：由数列{an}的首项a1＝1，且数列{log2an}是以1为公差的等差数列，可得log2a1＝0，则log2an＝0＋（n－1）×1＝n－1，所以log2a3＋log2a8＝（3－1）＋（8－1）＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知各项均为正数的数列{an}满足2 ＝ ＋ （n∈N*，且 n≥2），a1＝1，a2＝2，则a30＝ ⁠. 解析：因为2 ＝ ＋ ，由等差中项的定义可知，数列{ }是首 项为 ＝1，公差为d＝ － ＝4－1＝3的等差数列，所以 ＝ ＋ （n－1）d＝1＋3（n－1）＝3n－2，由此可知 ＝3×30－2＝88，又 因为an＞0，所以a30＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1 ＝2， －2bn＝8an. （1）求数列{an}的通项公式； 解：当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1. 因为a1＝1符合上式，所以an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）证明数列{ }为等差数列，并求{bn}的通项公式. 解：证明：因为bn＋1－2bn＝8an， 所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即 － ＝2.又 ＝1， 所以数列{ }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以 ＝1＋2（n－1）＝2n－1.所以bn＝（2n－1）×2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2023·全国乙卷10题）已知等差数列{an}的公差为 ，集合S＝ { cos an｜n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（　　） A. －1 B. － C. 0 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　∵数列{an}是公差为 的等差数列，∴an＋3＝an＋ ×3＝an ＋2π，∴ cos an＋3＝ cos an，∴数列{ cos an}是周期为3的数列.不妨取a1＝ － ，则 cos a1＝ cos a2＝ ， cos a3＝－1，∴集合S＝{－1， }，则ab＝ － .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知数列{an}的首项a1＝1，an－an＋1＝anan＋1，则（　　） A. { }为等差数列 B. a10＝10 C. {an}为递增数列 D. { }的前20项和为10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：A选项，因为an－an＋1＝anan＋1，所以 － ＝1，所以{ }为公差为1的等差数列，A正确；B选项，因为a1＝1，所以 ＝1，故 ＝1＋（n－1）＝n，故an＝ ，则a10＝ ，B错误；C选项，an＝ ，an－an－1＝ － ＜0，{an}为递减数列，C错误；D选项，当n为奇数时， ＝－n，当n为偶数时， ＝n，所以{ }的前20项和为－1＋2－3＋4－…－19＋20＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－19＋20）＝10，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔应用问题〕（2026·重庆模拟）鬼工球，又称同心球，要求制作者 使用一整块完整的材料，将其雕成每层均为同球心的数层空心球，已知鬼 工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔数依次增加2个.现制 作两个这样的鬼工球，层数分别为 k 层和 5 层 （k∈N* 且 k＞5），若 k 层 鬼工球与5层鬼工球的雕孔总数的比值为3，则 k＝ ⁠. 9 解析：由题意，这样的鬼工球第n层的雕孔数为2n个，则n层鬼工球的雕孔总数为2（1＋2＋…＋n）＝n（n＋1）个，所以k（k＋1）＝3×（5×6），即k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10（舍）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·江苏南京、盐城模考）已知数列{an}的前n项和Sn 满足 ＝an＋（1－n）t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2. （1）求t的值； 解：因为 ＝an＋（1－n）t，n∈N*， 所以 ＝a2－t， 又S2＝a1＋a2，所以a2＝a1＋2t. 又a2＝a1＋2，所以t＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）证明：{an}为等差数列； 解：证明：由（1）可得 ＝an＋1－n，n∈N*， 所以Sn＝nan＋n－n2，　① 因此Sn＋1＝（n＋1）an＋1＋n＋1－（n＋1）2，　② ②－①得an＋1＝（n＋1）an＋1－nan－2n， 整理得an＋1－an＝2，n∈N*， 所以{an}为等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）若n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，求a1的取值范围. 解：由（2）得Sn＝na1＋ ×2＝n2＋（a1－1）n， 由n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，得1＜a1＜3＋ . 因为1＜a1＜3＋ 对任意n∈N*恒成立， 所以1＜a1≤3，即a1的取值范围为（1，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $