8.3 用正多边形铺设地面 课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月11日 8.3 用正多边形铺设地面 第8章 三角形 8.3 用正多边形铺设地面 学习目标：1. 理解平面镶嵌（用正多边形铺设地面）的定义，明确铺设地面的核心要求；2. 掌握正多边形单独铺设地面的条件，能判断哪些正多边形可单独镶嵌；3. 了解正多边形组合铺设地面的简单原理，能解决基础的镶嵌判断问题，衔接多边形内角和、外角和知识。 一、平面镶嵌的相关概念 1. 定义：用一种或几种正多边形，在平面内无空隙、不重叠地铺满整个平面，叫做平面镶嵌，也叫用正多边形铺设地面。 说明：“无空隙”指正多边形之间没有空白区域，“不重叠”指正多边形之间不会互相覆盖，这是铺设地面的两个核心条件，缺一不可；我们重点研究用正多边形进行平面镶嵌的情况，贴合七年级数学认知范围。 2. 核心本质：平面镶嵌的关键的是，围绕同一个顶点拼在一起的几个正多边形的内角和，恰好等于一个周角（360°）——因为周角是360°，只有满足这个条件，才能做到无空隙、不重叠。 二、正多边形单独铺设地面的条件（重点） 1. 核心条件：用同一种正多边形铺设地面时，该正多边形的每个内角的度数，必须能整除360°（或说，围绕同一个顶点的正多边形个数，是整数）。 推导：结合平面镶嵌的本质，围绕同一个顶点，n个同一种正多边形拼接，每个内角为α，则n×α = 360°，因此n = 360°÷α，n必须是大于或等于3的整数（n为拼接的正多边形个数）。 （一）常见可单独铺设的正多边形（七年级重点掌握） - 1. 正三角形：正三角形每个内角为60°，360°÷60° = 6，即围绕同一个顶点，6个正三角形可拼接成周角（6×60°=360°），因此正三角形可单独铺设地面。 - 2. 正方形：正方形每个内角为90°，360°÷90° = 4，即围绕同一个顶点，4个正方形可拼接成周角（4×90°=360°），因此正方形可单独铺设地面（生活中常见的地砖多为正方形）。 - 3. 正六边形：正六边形每个内角为120°，360°÷120° = 3，即围绕同一个顶点，3个正六边形可拼接成周角（3×120°=360°），因此正六边形可单独铺设地面（如蜂巢、正六边形地砖）。 （二）不可单独铺设的正多边形（举例说明） 正五边形：正五边形每个内角为108°，360°÷108°≈3.33，不是整数，无法找到整数个正五边形围绕同一个顶点拼成360°，因此正五边形不能单独铺设地面；同理，正七边形、正八边形等，其每个内角都不能整除360°，均无法单独镶嵌。 三、正多边形组合铺设地面（基础了解） 1. 定义：用两种或两种以上的正多边形，围绕同一个顶点拼接，使它们的内角和恰好等于360°，实现无空隙、不重叠铺设，叫做正多边形组合镶嵌。 说明：组合镶嵌无需每种正多边形都能单独镶嵌，只需组合后围绕顶点的内角和为360°即可，七年级重点掌握简单的两种正多边形组合。 - 示例1：正三角形和正方形组合：设围绕顶点有x个正三角形、y个正方形，每个正三角形内角60°，正方形内角90°，则60°x + 90°y = 360°，化简得2x + 3y = 12，当x=3、y=2时，3×60° + 2×90° = 360°，因此3个正三角形和2个正方形可组合铺设地面。 - 示例2：正三角形和正六边形组合：设围绕顶点有x个正三角形、y个正六边形，60°x + 120°y = 360°，化简得x + 2y = 6，当x=4、y=1（4×60°+1×120°=360°）或x=2、y=2（2×60°+2×120°=360°）时，均可组合镶嵌。 四、正多边形铺设地面的应用（基础题型） 核心思路：利用“围绕顶点的内角和为360°”，结合正多边形内角公式，判断能否单独或组合镶嵌，解决简单的实际问题。 - 示例1：判断正八边形能否单独铺设地面？解：正八边形每个内角 = (8-2)×180°÷8 = 135°，360°÷135°≈2.67，不是整数，因此不能单独铺设。 - 示例2：已知用一种正多边形铺设地面，围绕同一个顶点需要5个该正多边形，求这种正多边形的边数。解：设每个内角为α，5α = 360°，则α = 72°；由正多边形内角公式(n-2)×180°÷n = 72°，解得n=5，因此这种正多边形是正五边形（注意：正五边形不能单独镶嵌，此题仅为计算练习）。 - 示例3：判断正三角形和正十二边形能否组合铺设地面？解：正三角形内角60°，正十二边形内角 = (12-2)×180°÷12 = 150°；设x个正三角形和y个正十二边形，60x + 150y = 360°，化简得2x + 5y = 12，当x=1、y=2时，1×60°+2×150°=360°，因此可以组合铺设。 五、易错点提醒 - 1. 混淆“内角整除360°”与“外角整除360°”：铺设地面的核心是内角和为360°，而非外角和，不可用外角和判断能否镶嵌。 - 2. 错误认为“所有正多边形都能单独铺设”：只有正三角形、正方形、正六边形能单独镶嵌，其他正多边形均不能。 - 3. 组合镶嵌时，忽略“围绕同一个顶点”：组合镶嵌的关键是围绕同一个顶点的内角和为360°，而非整体内角和。 - 4. 计算正多边形内角时出错：判断能否镶嵌前，需先准确计算正多边形的每个内角，避免因内角计算错误导致判断失误。 小练习：判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）正六边形可以单独铺设地面；（2）正七边形可以单独铺设地面；（3）2个正三角形和2个正六边形可以组合铺设地面。（答案：√、×、√） 1.知道用相同的正多边形铺设地面的条件； 2.能判断某种正多边形能否用来铺设地面. (重点，难点) 学习目标 这些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？ 它们有什么特点？ 新课导入 正多边形 好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有. 请你欣赏 问题 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 正多边形的性质：各边都相等、各内角也都相等 多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n-2)· 180°. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°. 正n边形的每个内角的度数是 每个外角的度数是 正多边形的内角和外角计算 1 (1) 若一个正多边形的内角是 120°，那么这是正____边形. (2) 已知多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形是______边形. 六 正八 练一练 用相同的正多边形铺设地面 问题 1 正三角形能否铺满地面？ 60° 60° 60° 60° 60° 60° 由图可知，6 个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面. 2 问题 2 正方形能否铺满地面？ 90° 由图可知，4 个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面. 120 ° 120 ° 120 ° 问题 3 正六边形能否铺满地面？ 由图可知，3 个正六边形可以无缝拼接，所以正六边形能铺满地面. 1 2 3 思考 1. ∠1+∠2+∠3 = ? 问题 4 正五边形能否铺满地面？ 2. 为什么正五边形不能铺满地面，而正六边形能呢？ 由图可知，正五边形不能无缝拼接，所以正五边形不能铺满地面. 324° 使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面. 知识要点 一个内角度数 能否铺满平面 图形 一个顶点周围正多边形个数 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 6 4 3 能 能 能 不能 90° 108° 60° 120° 问题 5 还能找到用其他相同的正多边形铺满地面吗？ 分析：要用相同正多边形铺满地面的关键是看，这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，只有正三角形、正四边形、正六边形这三种正多边形满足条件.所以，在正多边形里，能够用相同正多边形铺满地面的只有正三角形、正四边形、正六边形，而其他的正多边形不可以． 1. 用一种正多边形能进行平面铺设的条件是（ ） A. 内角都是整数度数 B. 边数是 3 的整数倍 C. 内角整除 180° D. 内角整除 360° D 随堂练习 2. 设在一个顶点周围有 a 个正三角形，b 个正十二边形铺满地面，则 a =______， b=______. 1 2 随堂练习 3. 现有四种地板砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等. 同时选择其中两种地板砖密铺地面，选择的方式有（ ） A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种 B 随堂练习 4. 铺设一间长 6 m、宽 3.5 m 的客厅地面需要同样规格的正方形地板砖，现有“40 cm×40 cm”“30 cm×30 cm”“50 cm×50 cm”和“60 cm×60 cm”的地板砖，请你设计一下，要想全部铺满，不锯破且不留一点空隙，选哪一种规格？为什么？需要多少块？ 随堂练习 解：选“50 cm×50 cm”规格的. 理由：∵6 m =600c m，3.5 m = 350 cm， 600，350 都是 50 的倍数， ∴选“50 cm×50cm”规格的. 需要 7×12 = 84（块）. 随堂练习 5. 如图，正多边形 A，B，C 密铺地面，其中 A 为正六边形，C 为正方形，请通过计算求出正多边形 B 的边数． 随堂练习 解：设正多边形B的边数为 n， ∵一个点处由 1 个正六边形、1 个正方形、1 个多边形 B 组成，则正多边形B的一个内角的度数为 360°– 120°– 90°= 150°， 则 (n – 2)·180°= n·150°， 解得 n = 12. ∴正多边形 B 的边数为12． 随堂练习 1. 下面给出的图形能密铺的是( ) B A. 正五边形 B. 正三角形 C. 正十边形 D. 正十二边形 2. 一个正多边形每个外角都等于 ，若用这种多边形拼接 地板，需与下列哪种正多边形组合( ) D A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正三角形 中考考法 22 3. 用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有 个正 三角形、个正六边形，则， 满足的关系式是( ) D A. B. C. D. 【点拨】正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和 应为 ，而正三角形和正六边形内角分别为 ， ， 根据题意可知 ，化简得到 .故选D. 中考考法 23 4. 如图所示的四边形是某地板厂加工地 板时剩下的边角余料，如果用这种相同 的四边形木板进行镶嵌，则至少需要___ 块才能完成镶嵌. 4 【点拨】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为 时，就能镶嵌.而任意四边形的内角和是 ，所以至 少需要4块才能完成镶嵌. 中考考法 24 （第5题） 5. 如图是某小区花园内用一种白色正多边形 和灰色正方形地砖铺设的小路的局部示意图， 四块正多边形地砖围成的中间区域使用一块正 方形地砖，则正多边形的内角和为( ) C A. B. C. D. 中考考法 25 （第5题） 【点拨】设正多边形的边数为 正方形的一 个内角是 , 正 边形的一个内角度数为 , 正 边形的一个外 角度数为 , , 正八边形的内角和为 .故选C. 中考考法 26 （第6题） 6. 如图是正在铺设的人行道上地砖镶嵌的部 分图形，是由正六边形和四边形镶嵌而成的， 则图中的四边形中的锐角 的度数 是____度. 60 【点拨】正六边形内角和为 , 正六边形的每个内 角度数为 , . 中考考法 27 7. 学校新建的科技馆计划用三种边长相同的正多边形地砖组 合铺地板，现在已经选好了正方形、正十二边形两种地砖， 那么第三种可以选____________________地砖. 正三角形或正六边形 中考考法 28 用相同正多边形可以铺满地面的条件： 正多边形的每个内角都能被 360°整除. 归纳总结 课堂小结 $