第8章三角形（单元复习课件）数学新教材华东师大版七年级下册

单元复习课件 第8章 三角形 华师版（新教材）·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 熟练掌握三角形的概念、分类、三边关系、内外角性质，以及三角形的高、中线、角平分线的定义和性质，能准确区分并灵活运用。 3.通过题型剖析和针对性练习，提升几何图形分析能力、逻辑推理能力和规范解题能力，能规范书写解题步骤。 2.理解多边形的相关概念，掌握多边形内角和、外角和公式，能运用公式进行简单计算，了解正多边形铺设地面的条件。 单元学习目标 三角形 三角形的内角和 三角形的外角性质 三角形的外角和 三角形的三边关系 瓷砖的铺设 多边形 多边形的内角和 多边形的外角和 用正多边形铺满地面 单元知识图谱 考点一 三角形的基本概念 定义：由三条不在同一条直线上的线段_____________组成的平面图形. 首尾顺次连结 A B C D 顶点 边 三角形的内角 三角形的外角 点A AC 或 b ∠ACB ∠ACD △+三顶点的大写字母 1、三角形的有关概念 2、三角形的表示： △ABC 考点串讲 考点二 三角形的分类 1、三角形的分类 按边分类 不等边三角形 三条边的长度都不相等的三角形，比如边长为3、4、5的三角形（同时也是直角三角形）。 等腰三角形 至少有两条边相等的三角形（注意“至少”，意味着等边三角形是特殊的等腰三角形）。其中，相等的两条边叫做“腰”，另一条边叫做“底边”；两腰的夹角叫做“顶角”，腰与底边的夹角叫做“底角”，等腰三角形的两个底角相等。 等边三角形 三条边都相等的三角形，也叫正三角形。等边三角形的三个内角都相等，每个内角都是60°，它既是等腰三角形，也是锐角三角形。 考点串讲 考点二 三角形的分类 按角分类 锐角三角形 三个内角都是锐角（即每个内角都小于90°），比如等边三角形就是典型的锐角三角形。 直角三角形 有一个内角是直角（90°）的三角形，剩下的两个内角都是锐角，且互余（和为90°）。 直角三角形中，直角所对的边叫做“斜边”，斜边是三角形中最长的边；另外两条边叫做“直角边”， 常用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC（直角在C点）。 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，剩下的两个内角都是锐角，且和小于90°。 1、三角形的分类 考点串讲 考点一 三角形的分类 2、三角形的分类图示 _____ 三角形 _____ 三角形 _____ 三角形 三___互不相等的三角形 _____三角形 ______ 三角形 三角形按___分类 三角形按___分类 角 锐角 直角 钝角 边 边 等腰 等边 注意：三角形按边和按角的分类，是两种不同的分类标准，同一个三角形可能属于不同的类别，比如边长为3、4、5的三角形，按边是不等边三角形，按角是直角三角形。 考点串讲 考点三 三角形的性质 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中， a+b＞c； a+c＞b； b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围： |a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】 所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．   三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中， |a-b|＜c； |a-c|＜b； |b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据， 也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 当 c 最长，且有 a+b＞c时，可以组成三角形 A C a b c 1. 三角形的三边关系 B 考点串讲 考点三 三角形的性质 2. 三角形的内角和与外角和 三角形的内角和 = _________. 直角三角形的两个锐角 _________. 两个锐角 ________的三角形是直角三角形. 三角形的外角等于___________________的和. 三角形的外角______任何一个与它不相邻的内角. 180° 互余 互余 与它不相邻的两个内角 大于 三角形的外角和 = ___________. 360° 外角与相邻内角的关系是互补（和为180° 考点串讲 考点三 三角形的性质 3、直角三角形性质 直角三角形的两个锐角互余（和为90°） 4、稳定性： 三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小一旦确定，就不会轻易改变； 而四边形不具有稳定性，形状可以随意改变。 生活中的应用： 自行车车架、篮球架支架、屋顶桁架等，都是利用三角形的稳定性； 折叠椅、伸缩门等，利用了四边形的不稳定性。 考点串讲 三角形的高 三角形的中线  三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．  三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．  三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示       作法 过点A作AD⊥BC于点D．  取BC边的中点D，连接AD．  作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．  符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°)  1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线. 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点．  1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．    性质 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．  ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD == ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 考点四 三角形的重要线段 A B C D A B C D 1 2 A B C D 考点串讲 考点五 多边形及其性质 1. 多边形的有关概念 定义：由 n 条不在同一直线上的线段____________组成的平面图形称为 n 边形，也即我们通常所说的多边形. 首尾顺次连结 n 边形有____条边，____个顶点，___个内角，____个外角______条对角线. n 2n 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为__________. 正多边形 n n 2. 多边形的角的关系 多边形的内角和 = ____________. 多边形的外角和 = ____________. (n – 2)·180° 360° 正 n 边形每个内角的度数为= ____________. 正 n 边形每个外角的度数为= ____________. 考点串讲 考点六 正多边形铺设地面 铺设条件： 用一种或多种正多边形铺设地面（即平面镶嵌），关键条件是：围绕地面上同一个点拼在一起的几个正多边形的内角和等于360°（一个周角的度数），这样才能做到既平整又无空隙。 2. 常见可单独铺设的正多边形： （1）正三角形：每个内角60°，360°÷60°=6， 因此6个正三角形可围绕一点拼成360°，能单独铺设地面。 （2）正方形：每个内角90°，360°÷90°=4， 因此4个正方形可围绕一点拼成360°，能单独铺设地面。 （3）正六边形：每个内角120°，360°÷120°=3， 因此3个正六边形可围绕一点拼成360°，能单独铺设地面。 常见组合铺设： 1个正三角形+2个正六边形（60°+120°×2=360°）、 2个正三角形+2个正方形（60°×2+90°×2=360°） 考点串讲 例1.（25-26八年级上·全国·期末）若一个三角形的两边长分别为5和12，则第三边长不可能是（    ） A．7 B．9 C．13 D．16 解：设三角形的第三边长为， 由三角形三边关系可得： ， 即， 第三边长不可能是， A 题型一、三角形三边关系的应用 题型剖析 例2、（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 解：选项A：∵， ∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7， ∴不能围成三角形； 选项C：∵， ∴不能围成三角形； 选项D：∵，，， ∴能围成三角形； D 题型一、三角形三边关系的应用 题型剖析 例3（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， 则可得， ， ， ，故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， D 题型二、三角形内、外角性质的应用 题型剖析 例4（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：∵ （三角形内角和定理）， （已知）， ∴， 即， ∴． A 题型二、三角形内、外角性质的应用 题型剖析 例5、（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在△ABC 中，CD⊥AB于点D,CE是∠ACB的平分线，交AB于点E，∠A=30º,∠B=52º,则∠DCE的度数为 ． 解：∵CD⊥AB, ∴ ∠ACD=90°－∠A=90°－30°＝60°， ∵∠A=30°,∠B=52°． ∴ ∠ACB=180º－∠A－∠B =180°－30°－52° =98°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE=∠ACB=×98º=49º． ∴∠DCE=∠ACD－∠ACE=60°－49º=11°． 11° 题型二、三角形内、外角性质的应用 题型剖析 例6（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 解：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25 1 题型二、三角形内、外角性质的应用 题型剖析 例7、（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得， ． 题型二、三角形内、外角性质的应用 题型剖析 例8、（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（    ） A． B． C． D． 解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可得最短， A 题型三、三角形重要线段的性质应用 题型剖析 例9.（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 解：∵是中线，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高，∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H，  ∵是角平分线，∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线，∴与不一定相等，故D错误，符合题意． D G ∟ H ∟ 题型三、三角形重要线段的性质应用 题型剖析 解：∵点D为边的中点，且的面积等于15， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∵点F为边的中点， ∴． 例10、（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且的面积等于15，则的面积为 ． 题型三、三角形重要线段的性质应用 题型剖析 例10、下列正多边形中，能单独铺满地面的是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正七边形 解： A. 正五边形内角 = 108°，，不能； B. 正六边形内角 = 120°，，能； C. 正八边形内角 = 135°，，不能； D. 正七边形内角≈128.6°，不能。 B 题型四、多边形内角和与外角和的应用 题型剖析 例11、用正方形和正三角形组合铺设地面，每个顶点周围有几个正方形和几个正三角形？ 解：设 x 个正方形，y 个正三角形，有题意可得： ， 化简得， 正整数解： （或为单一正多边形，舍去）。 答：2 个正方形，3 个正三角形 题型四、多边形内角和与外角和的应用 题型剖析 1. 已知两条线段 a、b，其长度分别为 2.5 cm 与 3.5 cm. 另有长度分别为 1 cm、3 cm、5 cm、7 cm 和 9 cm 的 5 条线段，其中能够与线段 a、b 一起组成三角形的有哪几条？ 教材P108 A 组 解：设符合题意的线段长度为 x cm， 则 3.5 – 2.5 < x < 2.5 + 3.5，即 1 < x < 6， ∴符合题意的线段有长度为3 cm 和 5 cm 的两条. 复习题 针对训练 教材P108 A 组 2. 如图，按规定，一块模板中 AB、CD 的延长线应相交成 85°角. 因交点不在模板上，不便测量，工人师傅连结AC，测得∠BAC = 32°，∠DCA = 65°，此时 AB、CD 的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？ A B E D C F 解：不符合规定. 利用“三角形的内角和等于 180°”可以得出 AB、CD 的延长线相交所成的角为 180°– 32°– 65°=83° 与题中要求的 85°不符. 复习题 针对训练 3. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC上，BE、CD 相交于点 F，∠A = 62°，∠ACD = 35°，∠ABE = 20°. 求∠BDC 的度数；（2）求∠BFD 的度数. 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式). A B E D C F 解：(1)∵∠BDC =∠A +∠ACD ( )， ∴∠BDC = 62°+ 35°= 97°(等量代换). (2)∵∠BFD +∠BDC +∠ABE = ________ ( ) ∴∠BFD = 180°–∠BDC –∠ABE (等式的性质) = 180°– 97°– 20°（等量代换） = 63°. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 180° 三角形的内角和等于180° 针对训练 4. 求下列多边形的内角和： （1）五边形； （2）九边形； （3）十二边形. 解：（1）（5 – 2）×180°= 540°. （2）（9 – 2）×180°= 1260°. （3）（12 – 2）×180°= 1800°. 针对训练 5. 下列为多边形的内角和，分别求相应的多边形的边数： （1）900°； （2）1980°； （3）2700°. 解：设多边形的边数为 n. （1）（n – 2）×180°= 900°，解得 n = 7. （2）（n – 2）×180°= 1980°，解得 n = 13. （3）（n – 2）×180°= 2700°，解得 n = 17. 针对训练 6. 已知在一个十边形中，其中九个内角的和是1290°，求这个十边形另一个内角的度数. 解：十边形的内角和为 （10 – 2）×180°= 1440°， 故另一个内角的度数为 1440°– 1290°= 150°. 针对训练 7. 如果一个正多边形的每个外角都是 24°，那么这个多边形有多少条边？ 解：设这个多边形有n条边，由题意可得： 24°n =360° n = ， 答：这个正多边形有 15 条边. 8. 若三角形三个内角的比为 1：2：3，则这个三角形是什么三角形？ 解：设这个三角形三个内角的度数分别为 k°、（2k）°、（3k）°. 依题意，得 k + 2k + 3k = 180，解得 k = 30. 所以三个内角的度数分别为 30°、60°、90°， 因此，这个三角形是直角三角形. 针对训练 【教材P109 第9、10题】 9. 如图，在△ABC 中，BO、CO 分别为∠ABC、∠ACB 的平分线，它们的交点为O. 若∠BOC = 100°，则∠A =_______. 20° A B O C 10. 要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形， 至要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 解：如图，根据三角形的稳定性可知， 要使四边形木架不变形，至少要再钉上 1 根木条， 要使五边形木架不变形，至少要再钉上 2 根木条， 要使六边形木架不变形，至少要再钉上 3 根木条. 四边形木架 五边形木架 六边形木架 针对训练 B 组 11. 在△ABC中，AC = 12 cm，AB = 8 cm，那么边 BC 的最大长度应小于多少？最小长度应满足什么条件呢？ 答：最大长度应小于 20 cm， 最小长度应大于4 cm. 解 ：由三角形三边关系定理得： AC-AB＜BC ＜AC+AB 12-8＜BC ＜12+8 4＜BC ＜20 针对训练 B 组 12. 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的 ，求这个多边形每个内角的度数和它的边数. 解法一： 设这个多边形的边数为 n 则： 解得： n = 12. 故这个多边形每一个内角的度数为： ，边数为 12. 解法二： 设这个多边形的一个内角的度数为 x°. 则其一个外角的度数为 由 ° ， 解得 x = 150°，则外角为 30°， 边数为 360°÷30°=12. 答：这个多边形每个内角的度数是150°，边数是12. 针对训练 13. 如图，求∠A + ∠B + ∠C +∠D +∠E +∠F的度数. A B C D E F O 解：如图，连结 AD，设 AF 与 DE 相交于点 O. ∵∠AOD =∠EOF， ∴∠FAD+∠EDA =∠E+∠F. ∵四边形 ABCD 的内角和为 (4 – 2)×180°= 360°. ∴∠FAB +∠B +∠C +∠CDE +∠E +∠F =∠BAD +∠B +∠C +∠ADC = 360°. ∴原图形中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 360°. 针对训练 14. 如图，CD是△ABC 中∠ACB 的外角平分线. 请说明∠BAC >∠B. 解： ∵∠BAC 是△ACD 的一个外角， ∴∠BAC >∠ACD. ∵∠DCE 是△BCD 的一个外角， ∴∠DCE >∠B. 又∵CD 为∠ACE 的平分线， ∴∠ACD =∠DCE， ∴∠BAC >∠ACD =∠DCE >∠B，即∠BAC >∠B. A B C D E 针对训练 C 组 15. 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB=60°. AB与DE有什么关系？ A B C D E F 60° 解：∵六边形 ABCDEF 的内角都相等， ∴它的每个外角都等于 360°÷6 = 60°， ∴它的每个内角都等于 180°– 60°= 120°. 在四边形 ABCD 中， ∠ADC = 360°–∠B –∠C –∠DAB = 360°–120°–120°– 60°= 60°， ∴∠EDA =∠EDC –∠ADC = 120°– 60° = 60°=∠DAB. ∴AB // DE(内错角相等，两直线平行). 针对训练 16. 如图，∠BCE 是四边形 ABCD 的一个外角，如果∠B 与∠D 互为补角，那么∠BCE 与∠A 的大小相等吗？请说明理由. 解：∠BCE =∠A. 理由如下： ∵∠B 与∠D 互补， ∴∠B+∠D = 180°. 又∵四边形的内角和等于 360°， ∴∠A +∠BCD = 360°– (∠B+∠D) = 180°. 又∵∠BCD +∠BCE = 180°， ∴∠BCE =∠A. A B C D E 针对训练 17. 王老师正准备装修新买房屋的地面，到一家装修公司去看地砖，公司现有一批如图所示的正多边形地砖供用户选择. 正三角形 正方形 正六边形 正八边形 正十二边形 (1) 若王老师考虑只用其中一种正多边形地砖铺满地面，则供他选择的正多边形地砖有哪些？ (2) 若王老师考虑从其中任取两种地砖进行组合，则能铺满地面的正多边形地砖组合有哪些？ (3) 若王老师考虑从其中任取三种地砖进行组合，则能铺满地面的正多边形地砖组合有哪些？ 解：(1)供他选择的正多边形地砖有正三角形、正方形、正六边形. (2)能铺满地面的正多边形地砖组合有正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正三角形和正十二边形，正方形和正八边形. (3)能铺满地面的正多边形地砖组合有正三角形、正方形和正六边形，正三角形、正方形和正十二边形，正方形、正六边形和正十二边形. 针对训练 1、三角形的基础认知：包括三角形的定义（三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成）、表示方法，以及按角（锐角、直角、钝角三角形）、按边（不等边、等腰、等边三角形）的两种分类标准，明确等边三角形是特殊的等腰三角形； 2、三角形的核心性质：重点掌握三边关系（任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边）、内角和定理（180°）、外角性质（外角等于不相邻两内角和、大于不相邻内角），以及三角形的稳定性及其实际应用； 3、三角形的重要线段：理解并掌握高、中线、角平分线的定义与性质，明确三者的区别与联系，知道三条线段的交点特点（重心、内心等）； 4、多边形相关拓展知识：牢记n边形内角和公式（n-2）×180°、任意多边形外角和360°，了解正多边形的特点及平面镶嵌的基本条件。 一. 知识点总结 课堂总结 一是分类讨论思想，这是本章重点思想，主要应用于三角形分类、等腰三角形边长求解（未明确腰与底边时）、三角形高的位置判断（分锐角、直角、钝角三角形）等场景，遵循“同一标准、不重不漏”的原则，将复杂问题拆分简化，提升解题的严谨性，避免漏解、错解情况出现，这也是初中数学中重要的逻辑思维方法，能帮助我们化繁就简、化难为易，锻炼思维的条理性； 二是转化归纳思想，将多边形内角和转化为多个三角形内角和进行推导，将复杂图形中的角度计算转化为三角形内角和、外角性质的应用，将未知线段、角度转化为已知条件，同时归纳同类题型的解题规律（如三边关系求取值范围、角度计算的步骤）； 二. 思想和方法 课堂总结 ① 三角形概念易错，忽略“三条线段不在同一直线上”的关键条件，误将共线线段组成的图形当作三角形； ② 三角形分类易错，将等腰三角形与等边三角形并列，或仅通过一个锐角就判定为锐角三角形； ③ 三边关系应用易错，忽略“任意”二字，仅判断一组两边之和大于第三边，或计算第三边取值范围时遗漏“不包含等号”； ④ 外角性质易错，混淆“相邻”与“不相邻”外角，误用外角等于相邻内角和，或误将三角形外角和当作180°； ⑤ 重要线段易错，混淆高、中线、角平分线的定义，画钝角三角形的高时不会延长对边，或忽略“高是线段而非直线、射线”； ⑥ 多边形相关易错，记错n边形内角和公式（误记为n×180°），或误判正多边形的平面镶嵌条件。后续练习中，大家要重点关注这些易错点，及时整理错题，针对性巩固。 三. 易错点 课堂总结 感谢聆听! $