8.2.2多边形的外角和 课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月11日 8.2.2多边形的外角和 第8章 三角形 8.2.2 多边形的外角和 学习目标：1. 理解多边形外角的定义，能准确识别多边形的外角，区分内角与外角；2. 掌握多边形外角和定理，牢记任意多边形外角和为360°的核心结论；3. 能运用外角和定理解决正多边形边数、外角度数的计算问题，衔接内角和知识提升综合应用能力。 一、多边形外角的相关概念 1. 多边形外角的定义：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做多边形的外角。 说明：与三角形的外角定义一致，多边形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相等；我们研究多边形外角和时，通常取每个顶点处的一个外角，即n边形有n个外角（与边数相等），且这n个外角均为凸多边形的外角（七年级重点研究凸多边形外角）。 2. 关键区分：多边形的内角是多边形内部的角，外角是外部的角，每个顶点处的内角与它相邻的外角互为邻补角，即内角 + 相邻外角 = 180°，这是连接内角和与外角和的核心纽带。 二、多边形外角和定理（核心） 1. 核心结论：任意一个多边形的外角和都等于360°（n≥3，且n为整数）。 说明：这是多边形外角和的核心特征，与多边形的边数n无关——无论多边形是三角形、四边形、五边形还是n边形，无论边数多少，其外角和始终是360°；而多边形的内角和随边数变化，外角和是固定值，这是与内角和的本质区别。 补充：三角形的外角和是360°（与之前所学一致），四边形的外角和也是360°，五边形同样是360°，可通过直观操作验证这一结论。 三、多边形外角和定理的推导（贴合七年级认知） 推导思路：利用“每个顶点处内角与相邻外角互为邻补角”，结合多边形内角和公式，推导得出外角和，步骤简单易懂，无需复杂推理。 - 具体推导过程（以n边形为例）：1. 多边形每个顶点处，内角 + 相邻外角 = 180°，n个顶点共有n组邻补角，因此所有内角与所有外角的和 = $$n \times 180^\circ$$；2. 由多边形内角和公式可知，n边形内角和 = $$(n-2) \times 180^\circ$$；3. 多边形外角和 = 所有内角与外角的和 - 内角和 =$$n \times 180^\circ - (n-2) \times 180^\circ$$，化简后得外角和 = 360°。 - 示例验证：四边形（n=4），所有内角与外角和 = $$4 \times 180^\circ = 720^\circ$$，内角和 = $$(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$$，外角和 = 720° - 360° = 360°，与结论一致。 补充：直观操作法验证：将n边形的n个外角剪下来，顶点重合、边依次拼接，可发现恰好组成一个周角，周角的度数为360°，进一步验证外角和为360°。 四、多边形外角和定理的应用（基础题型） 核心思路：利用外角和为360°，结合正多边形“所有外角相等”的特征，可求正多边形的外角度数、边数；也可结合内角与外角的关系，解决角度计算问题。 - 示例1：求正六边形的每个外角度数。解：正六边形n=6，所有外角相等，外角和为360°，因此每个外角度数 = 360°÷6 = 60°。 - 示例2：已知一个正多边形的每个外角都是45°，求这个多边形的边数。解：外角和为360°，边数n = 360°÷每个外角度数 = 360°÷45° = 8，该多边形是正八边形。 - 示例3：一个多边形的每个内角都是120°，求它的边数。解：每个内角与相邻外角互为邻补角，因此每个外角 = 180° - 120° = 60°，边数n = 360°÷60° = 6，该多边形是正六边形。 五、易错点提醒 - 1. 混淆多边形外角和与内角和：外角和是固定的360°，与边数无关；内角和随边数变化，公式为$$(n-2) \times 180^\circ$$，不可混淆两者的取值规律。 - 2. 错误认为“边数越多，外角和越大”：无论n是3还是100，多边形外角和始终是360°，与边数多少无关。 - 3. 计算正多边形外角时，误用内角和公式：正多边形外角和为360°，每个外角度数 = 360°÷边数，无需先求内角和。 - 4. 忽略“每个顶点只取一个外角”：研究外角和时，每个顶点只取一个外角，避免重复计算（如n边形取n个外角，而非2n个）。 小练习：判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）正五边形的每个外角是72°；（2）多边形的边数越多，外角和越大；（3）一个多边形的外角和为360°，它一定是四边形。（答案：√、×、×） 复习导入 1. 从 n 边形的一个顶点出发可以引________条对角线，它们把 n 边形分成________个三角形. (n – 3) (n – 2) 3. 多边形的内角和公式：_________________. (n – 2)·180° 4. 正 n 边形的每一个内角的度数为____________. 2. 一个 n 边形有__________条对角线. 多边形的外角和 问题 如图，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．五边形的外角和等于多少？ 1. 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 2. 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 900° E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 = 360 ° = 5 个平角和－五边形内角和 = 5×180°－(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于 360°. 3. 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 与 n 边形的每个内角相邻的外角分别有两个， 这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为 n 边形的外角和． n 边形外角和 =360 ° = n 个平角和-n 边形内角和 = n×180 °－(n－2) × 180° E B C D 1 2 3 4 n A 任意多边形的外角和等于 360°. 归纳总结 多边形外角和公式： 例1 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 5 倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为 n. ∵它的内角和等于 (n－2)·180°， 多边形外角和等于 360°， ∴ (n－2)·180°= 5× 360º. 解得 n = 12. ∴这个多边形的边数为 12. 变式：一个多边形的外角和是内角和的 ，则其边数 n为 . 12 典例精析 例 2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是 7∶2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为 7x°，外角为 2x°， 根据题意得 7x + 2x = 180， 解得 x = 20. 即每个内角是 140°，每个外角是 40°. 360°÷40° = 9. 答：这个多边形的边数为 9. 还有其他解法吗？ 解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得 解得 n = 9. 答：这个多边形的边数为 9. 1. 一个多边形的每一个外角都等于 45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？ 解：360°÷45°= 8， 【教材P99练习 第1题】 180°– 45°= 135°. 因此，这个多边形是八边形，它的每一个内角是 135°. 随堂练习 2. 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？ 解：根据多边形的外角和可知， 多边形的外角最多可以有 3 个钝角， 所以多边形的内角最多可以有 3 个锐角. 【教材P99练习 第2题】 随堂练习 3. 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和是(n – 2)·180°，外角和等于 360°， 所以 (n – 2)·180°= 3×360°. 解得 n = 8 因此，这个多边形是八边形. 随堂练习 4. 如图，状状从点 A 出发沿直线前进10 米，后左转 30 度，再沿直线前进 10 米. 又向左转 30 度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了多少米？ 随堂练习 解：由题意可知，小亮第一次回到出发地 A 点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于 30°，边长为10 米. 所以这个多边形的边数为 所以一共走了12×10 = 120（米）. 随堂练习 5. 如图，用 n 个完全相同的正五边形进行拼接，使相邻的两个正五边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正 n 边形，则 n 的值等于______. 10 随堂练习 6. 将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则∠1 +∠2 +∠3 =______. 102° 1 3 2 随堂练习 （第1题） 1. 图①是我国古代建筑中的一种窗 格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出 现裂纹并开始消融，形状无一定规 则，代表一种自然和谐美.图②是从 图①冰裂纹窗格图案中提取的由五 C A. B. C. D. 条线段组成的图形，则 ( ) 中考考法 17 （第2题） 2. 如图，将五边形 沿虚线裁去一个 角，得到六边形 ，则下列说法正确 的是( ) D A. 外角和减少 B. 外角和增加 C. 内角和减少 D. 内角和增加 中考考法 18 3. 若多边形的每个内角都是 ，则这 个多边形的边数为___. 9 【点拨】 这个多边形的每个内角都是 ， 这个多边 形的每个外角都是 ， 这个多边形的边 数为 . 中考考法 19 （第4题） 4. 小聪利用所学的数学 知识，给同桌出了这样一道题：如图， 假如从点 出发，沿直线走6米后向左转 ，接着沿直线前进6米后，再向左转 ， ，如此下去，当他第一次回到点 C A. B. C. D. 时，发现自己一共走了72米，则 的度数为( ) 中考考法 20 【点拨】 第一次回到点 时，所经过的路线正好构成一个 正多边形， 正多边形的边数为 多边形的外 角和为 ， 他每次转动 的度数为 . （第4题） 中考考法 21 5. 若一个六边形六个外角的度数比是 ，则这个六边形中，最大的内角度数为______. 【点拨】设最小的外角度数为 ,则 ,即,解得 , 最大的内角度数为 . 中考考法 22 （第6题） 6. 将等边三角形、正方形、正五边形按如图所 示的位置摆放，如果 ， ， 那么 的度数等于____. 【点拨】等边三角形每个内角的度数是 ， 正方形每个内角的度数是 ，正五边形每个 内角的度数是 ，则 . 中考考法 23 7. 已知一个多边形的每一个内角都是与它相邻外角的5倍. （1）求这个多边形的边数； 【解】设这个多边形的每一个内角都为 ，则与它相邻的外 角为 ， 依题意，得，解得 . . 多边形的外角和等于 ， 这个多边形的边数为 . 中考考法 24 （2）从这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引___条. 9 【点拨】从这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引 （条）. 中考考法 25 多边形 多边形的内角和 多边形的外角和 多边形的外角和等于______ 360° 多边形的内角和等于 ________________ (n - 2)×180° 课堂小结 $