临考押题卷04（山西省专用）2026年高考数学押题模拟卷

**基本信息** 聚焦高考高频考点，融合现实情境与数学建模，如以蓝藻爆发数据构建统计模型考查数据分析，通过圆台模具、人脸识别概率等问题培养应用意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、数列、立体几何、三角函数等|基础题（如集合运算）与中档题（如双曲线离心率）梯度分布，多选第11题以函数零点考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|复数、概率、立体几何轨迹|第13题结合人脸识别系统考查条件概率，体现数学应用| |解答题|5题/77分|立体几何证明与距离、数列求和、椭圆证明、统计回归、导数零点|第18题用蓝藻监测数据构建指数回归模型，第19题导数零点证明考查运算能力与创新思维，贴合高考命题趋势|

2026年高考临考押题卷 高三数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2026山西运城二模)设集合A={xx>2,B={x1<21<128,则AUB=（) A.2,6 B.（-0,-2)U-l,+0jC.（-0,+o)】 D.（-0,-2)U6,+0 2.(2026山西吕梁三模)已知{an}为等差数列，a=5,a6+a,=30,则S,=() A.80 B.90 C.160 D.180 3.(2026山西运城模拟预测)已知a,b是两条不重合的直线，0，B是两个不重合的平面，则使得a⊥b成立的 是() A.a⊥a,b1uB,a⊥B B.a⊥，b⊥B,a/β C.aca,b⊥B,al∥β D.aca,b1/B,⊥B 4.(2026山西二模)已知6是锐角，sin0= 5,则tan A.7 C.-7 1 D.-7 5.(2026山西晋城模拟预测)某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的 半径的2倍，体积为14π，则该圆台的母线长为() A.5 B.5 C.万 D.2W2 6.(2026山西晋中.模拟预测)在平面内，某质点在三个力E,F,F的作用下恰好处于平衡状态，其中 F=(3,-2),F=(-1,2),则E在E上的投影向量的坐标为() A.（-2,0) B.(-1,0) 254W5 0 2W545 55 5 5 1/5 -x2+a2,x≤0 7.(2026山西吕梁三模)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是() ae A.(0,1 B.0 e e. 82026山西核)双曲线号Q>0,6>0的左、右焦夏分别为，乃，过乃的直线交右支于4，B两息 且FB·AF=0,AB=2FA,则离心率=() A.V4-5 B.√4+3 C. 3 1/4+ D 3 4- 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.(2026山西二模)函数到=4snox+p@>0,o<的图象知图所示.则下列说法正确的是() 2 A.函数f(x)的最小正周期为刀 B.1与直线y=2x-）有三个公共点 C.f纠取得最小值时，x=a-keZ列 D.将y=了(x)的图象向左平移”个单位长度，所得图象关于y轴对称 10.(2026山西朔州模拟预测)己知抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点为F,准线为1，M为抛物线C上一点， MN⊥I,N为垂足，若△MNF为等边三角形，则() A.点M的横坐标为 p B.直线PN与)轴交点的纵坐标的绝对值为52 3 C.直线NF的斜率为±√ D.若△MNF的周长为12，则p=2 11.(2026山西太原·二模)已知三个不同的实数x,y,z满足x<y<?,且x+y+z=-6V2,xy+yz+zx=-30,则（) A.x2+y2+z2=132 2/5 B.-8V2<x<-5V2 C.-5V2<y<√2 D.（x-22)z-22)的最小值是-28 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2026山西运城模拟预测)设aeR,若复数1+i(2-ai)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a= 13.(2026山西吕梁三模)某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判 试，结果如下：小区业主被判定为”禁止入内”的概率为6外来访客被 幸为令·已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：4，经测试菜人被判定为允许通行，则其是小 区业主的概率为 14.(2026山西临汾一模)已知在底面边长为4√5，高为4的正三棱柱ABC-A,B,C内有一个半径为1的小球，该 小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球 心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(2026山西太原·二模)如图，在底面是菱形的直四棱柱ABCD-A,B,CD,中，∠BAD=120°，AA,=AB=2,E为 线段AD上靠近A的三等分点，F为线段BC的中点 B D B C (I)求证：AF∥平面ACE; (2)求点A到平面ACE的距离， 16.(2026山西二模)已知数列{an}是等比数列，满足S,=14,且4a,2a2,4成等差数列. (I)求数列{an}的通项； (2)设bn= -o8,4,且b,的前项和为工，求证：≤7，.<2 1 a. 3/5 17.(2026山西晋中三核)已知椭服C:二+茶=口>6>0)的上，下焦点R,R与左顶点A是等腰直角三角形的三 个顶点，且C过点(2,2 (1)求C的方程； ②过点行.0且不与坐标轴垂直的直线交C于P尸Q两点，求证：AP14A0 18.(2026山西临汾一模)水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现 湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达0.15mg/L),蓝 藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个， 形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至2g/L以下，大量鱼类死亡，自来水厂被 迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y(单位：平方公里)与时间x(单位：年)的关 系，进行监测，得到如下数据： x/年 3 4 5 6 > y/平方公里 6 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： y/平方公里 232 203 174 145 116 87 58 29 1234567x库 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型y=a+blx和指数函数模型y=c~d分别对两 个变量的关系进行拟合 (I)根据散点图判断y=a+blnx与y=cdr(a,b,c,d均为常数)哪一个更适合作为藻类面积y(单位：平方公里) 与时间x(单位：年)的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据(1)的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程： (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里 参考数据： 7 2 xy 100.54 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 4/5 其中y,=lgy, 参考公式：对于一组数据(4，M),(42,2),…(“,"n),其回归直线v=Bu+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分 24y-N 别为B= ，a=v-Bu u-ni 19.(2026山西晋中.二模)已知函数fx)=x2-(a+2)x+alnx,其中aeR. (1)讨论∫(x)的单调性。 (2)若函数gx=f(x)-x2有两个不同的零点x,2· ①求实数a的取值范围； ②证明：xx2>e2. 5/5 2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山西运城·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别解不等式得到集合，再求并集即可． 【详解】由，解得或，则， 由，得，，解得，则， 所以． 2．（2026·山西吕梁·三模）已知为等差数列，，，则（   ） A．80 B．90 C．160 D．180 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 由，，可得， 即，解得， 所以. 3．（2026·山西运城·模拟预测）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直， 若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误； 对于B：若，，，则，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C错误； 对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或， 又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误； 故选：C 4．（2026·山西·二模）已知是锐角，，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，为锐角，故根据公式可得， 所以. 5．（2026·山西晋城·模拟预测）某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的体积公式，结合已知条件，求得上下底面圆半径，再利用勾股定理，求得母线长即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r，    则圆台的体积为，解得， 所以母线的长是. 6．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平衡可得，，根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，， 所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 7．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，a∈． 8．（2026·山西·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意知：，，. 设，则，，则，， ，. 在中，，，， ，代入数据解得，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山西·二模）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．与直线有三个公共点 C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 【答案】AC 【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；求出函数解析式，根据正弦函数的性质判断B和C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D. 【详解】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得，又，将点代入中得： ，即，，解得，. 又，， 函数. 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点，故B错误； 令，即，， 解得，，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度，得， ，图象不关于轴对称，故D错误. 10．（2026·山西朔州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（   ） A．点的横坐标为 B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C．直线的斜率为 D．若的周长为12，则 【答案】ACD 【分析】依题意画出简图，根据正三角形的性质及抛物线的方程，结合图象逐个分析选项，即可得到正确答案. 【详解】解：由题可知∥轴.因为为等边三角形，所以，则点在线段的中垂线上. 设的中点为,连接，则. 设,,的坐标分别为，，，因为，，所以，所以选项A正确. 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，因为，所以，则.将代入方程，可得，所以得，即,从而，所以选项B错误. 因为，所以直线的斜率为，所以选项C正确. 若的周长为12，则.因为，所以，解得，所以选项D正确.   或   故选：ACD. 11．（2026·山西太原·二模）已知三个不同的实数满足，且，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】将两边平方后结合可判断A的正误，利用基本不等式以及可判断B，C的正误，最后利用，将变为关于的二次函数可判断D的正误. 【详解】对于A，由题意得 ，故A正确； 对于B，由题意得 ， 因为是不同实数，所以， 即， 整理得，解得. 同理可得，又因为，所以， 所以，即，解得或. 若，又，，所以， 与矛盾，故必有. 所以综上所述，，故B正确； 对于C，同理得，解得，故C正确； 对于D，， 代入， 得， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴，且， 对称轴在区间内，所以最小值在处取得， 即最小值为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山西运城·模拟预测）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 【答案】 【分析】借助复数运算法则与虚轴上的点的性质计算即可得. 【详解】， 由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 则其实部为，即有，解得. 13．（2026·山西吕梁·三模）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 14．（2026·山西临汾·一模）已知在底面边长为，高为的正三棱柱内有一个半径为的小球，该小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为________. 【答案】 【分析】根据题意，结合几何体的结构特征，可得新的几何体也为正三棱柱，分别求得其底面的边长和高，即可求得其体积. 【详解】由题意，正三棱柱的高为，小球的半径为， 当小球与上底面相切时，球心到上底面的距离为，当小球与下底面相切时，球心到下底面的距离为， 所以在上下方向上，球心的轨迹在距离上下底面各为的位置，即在高为的范围内. 正三棱柱底面是边长为的正三角形，当小球与侧面相切时，球心到侧面的距离为， 相当于在正三角形的内切圆基础上，向正三角形的中心方向移动了个单位，如图， 而，，在正三角形中，可得， 又为正三角形的中心，所以，所以， 又，所以，所以， 所以， 这样，球心的轨迹在底面形成的图形是一个边长为的正三角形， 综合以上分析，球心的轨迹在正三棱柱的内部形成的新几何体是一个底面边长为，高为的正三棱柱. 因此，该几何体的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山西太原·二模）如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，为线段上靠近的三等分点，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接交线段于点，连接，证明可证平面； （2）以为原点，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）如图1，连接交线段于点，连接. . 又. 又平面，平面平面. （2）如图2，连接四边形为菱形，2，则为等边三角形. 又为中点，. 又. 易知平面以为原点，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易知为上靠近的三等分点， . . 设平面的一个法向量为， 则 令，则，∴， ∴点到平面的距离. 16．（2026·山西·二模）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，结合等差中项的意义列式求出公比，进而求出通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求出，借助单调性推理得证. 【详解】（1）设是等比数列的公比，由，，成等差数列， 得，即，则，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得，， 因此，又， 则数列是递增数列，， 所以. 17．（2026·山西晋中·三模）已知椭圆的上､下焦点与左顶点是等腰直角三角形的三个顶点，且过点. (1)求的方程； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线交于两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的方程与几何性质求出，进而得到椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用向量垂直和韦达定理进行证明即可. 【详解】（1）由是等腰直角三角形， 可得，故. 由过点，有，解得， 故的方程为 （2）由题可知，的斜率存在且不为0，设其方程为， 与的方程联立可得， ， 设，则， 由（1）可知，所以， 又因为， 故 从而有. 18．（2026·山西临汾·一模）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)更适宜 (2) (3)347 【分析】（1）根据散点图的特征确定回归方程类型. （2）利用非线性回归及最小二乘法求出回归方程. （3）利用（2）的结论进行数据估计. 【详解】（1）由散点图得，藻类面积随时间的增加其增长速度越来越快， 所以更适宜作为藻类面积y与时间x的关系的回归方程类型. （2）由，两边同时取常用对数得， 设，，，则， 由，，得， 则，因此，， 所以y关于x的回归方程为. （3）当时，（平方公里） 所以若不加治理，第8次检测时，藻类面积约为347平方公里. 19．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $