精品解析：上海理工大学附属储能中学2026-2027学年第一学期高三年级期中考试数学试卷

上海理工大学附属储能中学 2026学年第一学期高三年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 一、填空题（54分） 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为且， ，， 所以 2. 若复数满足，则等于___________ 【答案】5 【解析】 【详解】由， 所以. 3. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，即，即， 不等式等价于，即 解得，所以不等式的解集为. 4. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即得. 【详解】由求导得， 则曲线在点处的切线的斜率为. 5. 已知数列的前n项和为，且满足，，则________． 【答案】4051 【解析】 【分析】由题意得数列是等差数列，由等差数列的前项和及性质求得后再求出，然后由通项公式计算． 【详解】因为，所以，所以是等差数列，且公差为， 所以，，从而， 所以． 6. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由指数运算性质得，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，，得， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时取等号， 此时满足条件，因此的最小值为. 7. ，则向量在向量方向上的数量投影为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的计算公式计算即可. 【详解】，，. 向量在向量方向上的数量投影为. 8. 若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用绝对值三角不等式计算求解最大值，再解绝对值不等式求解. 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 9. 如图，在扇形中，半径是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的周长的最大值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】连接，利用直角三角形边角关系求出矩形周长表达式，再利用辅助角公式结合正弦函数的性质求出最大值即得. 【详解】连接，令，由，得， ，， 因此矩形的周长， 其中，显然，结合题设易知， 因此当时，，所以矩形的周长的最大值为10. 故答案为：10 10. 设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先作出的图象，将方程实根个数转化为函数图象与直线的交点个数，数形结合推导实数的取值范围. 【详解】作出的图象， 方程有两个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线有2个不同的交点, 由图可知，实数的取值范围为. 11. 设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①； ②是偶函数； ③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用为“平方奇差函数”的定义可知，对于命题①，令，可得，解得；对于命题②，由可得为周期函数，结合，可推得是偶函数；对于命题③，若是常值函数，设，则，再由为奇函数，可知或. 【详解】由题意得，在上连续，， 为奇函数，， ①因为是奇函数，所以， ，即， 解得或， 故，故①正确； 由， ， 所以是周期为的连续函数， 由是奇函数：， ， 整理得， 将，代入上式： ， 化简得， 若不恒等于，则存在实数，使. 令（为正整数），由的周期为，可得. 由于是连续的周期函数，故有界，因而与均有界. 将代入上述恒等式，右边随无界，而左边有界，矛盾. 因此，即，是偶函数，故②正确； 若为常值函数，设，则， ， 是奇函数，故常数项为：，得或， 对应，，共两个，故③正确. 12. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知函数有唯一零点为1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可. 【详解】因为，所以在R上为增函数， 又，所以有唯一零点为1， 令的零点为，依题意知，即， 即函数在上有零点， 令，则在上有解，即在上有解， 因为， 当且仅当，即时，取等号，所以， 故答案为：. 二、选择题（18分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由集合的包含关系判断可得. 【详解】由，可得，，， 又，所以，即或， 由，可得，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 14. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为2π C. 的图象关于点对称 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A；举反例可判断B；利用反证法判断C；根据周期性将问题转化为一个周期内的最值问题，通过换元法求解即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，，恒成立， 所以是偶函数， 因为，， 故，所以不是奇函数，（也可以通过判断），故A错误； 对于B，因为， 所以π是的一个周期，所以的最小正周期不为2π，故B错误； 对于C，若的图象关于点对称， 则，故， 但，，矛盾， 所以的图象不关于点对称，故C错误； 对于D，因为π是的一个周期，所以只考虑上的最大值即可， 当时，， 令，则， 所以函数可转化为， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取得最大值，为， 所以的最大值为，故D正确. 15. 若向量满足，则向量一定满足的关系为（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 存在实数，使得 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A,B,D通过举反例即可判断，对于C需分与是否为讨论即可. 【详解】，两边同平方得 ，， 对A，时，为任一向量，故A错误， 对B，若，时，此时不存在实数，使得，故B错误， 对于C，因为，当与至少一个为零向量时，此时 一定存在实数,,使得， 具体分析如下： 当，时，此时为任意实数，， 当，时，此时为任意实数，， 当，时，为任意实数， 当，时，因为，则有，根据， 则，此时共线，且同向，则存在实数使得（）， 令，其中同号，即，即，则存在实数,,使得，故C正确， 对于D，当，时，，故D错误， 故选：C. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足与平面所成角的大小为60°． 判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 设，，则，， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点P满足与平面所成角的大小为60°，故②正确； 三、解答题（78分） 17. 如图，在中，，斜边，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求该圆锥的全面积； （2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式和圆锥全面积公式进行求解即可； （2）根据三角形中位线定理，结合异面直线成角的定义进行求解即可. 【小问1详解】 在中，，即圆锥底面半径为2． 圆锥的侧面积，圆锥的底面积， 故圆锥的全面积； 【小问2详解】 过D作交BO于点M，连接CM． 则为异面直线AO与CD所成角． 因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC， 所以． 在中，，所以． 由D是AB的中点可知M是OB的中点，所以，则有． 在中，． 所以，即异面直线AO与CD所成角的大小为. 18. 在中，已知． （1）求角的大小； （2）设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. 【小问2详解】 解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 19. （1）设，.已知函数的定义域为，且.若函数是偶函数，求、的值； （2）函数，其中，当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）结合偶函数定义域关于原点对称、恒成立两个性质，分别列方程求解参数. （2）对原方程变形分离参数，构造辅助函数求导判断单调性，结合区间端点值域确定的取值范围. 【详解】（1）∵ 是偶函数，∴ 定义域关于原点对称. ∴ ，解得. ∵ 对任意，恒成立，代入函数式得， 整理得 由系数对应相等得，满足的约束. 故，. （2）将代入方程，化简得： 令，，问题等价于与在区间内仅有一个交点. 令，解得零点为，其中正零点，负零点小于0， 故在时，在区间内单调递减. 计算端点值：，. ∴ 在区间内的值域为，即当时，方程仅有一个解. 20. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据的解析式求导，并求出和，然后列出不等式，不等式的解集即是. （2）首先对函数求导，根据已知条件求出的值，然后将其对应的函数值和导数值代入不等式中，求出不等式的解集即为. （3）首先根据已知条件列出的表达式，然后求出的关系，然后求出的关系，最后得出的关系. 【小问1详解】 对求导有， 所以，， 因此， 求解不等式有， 由于该式对于任意均成立，所以. 【小问2详解】 对求导有， 则在处的切线方程为， 将点代入方程可得， 解得或， 由于，所以. 所以，. 因此. 将不等式化简得：，化简得. 解得，所以. 【小问3详解】 先证明： 设， 则， 所以在上的最大值为， 进而，因此. 再证明： 根据和，分别推出和， 由不等式性质可得，，即. 由于在和处的切线为和， 所以在和处的切线重合. 因此，. 21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）根据面积关系确定点是的中点，确定点的坐标，即可求的方程，即可求点到的距离； （3）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再利用向量的线性运算表示和，再利用韦达定理表示向量的垂直关系，转化为一元二次方程在区间有2个不等的实数根，即可求解. 【小问1详解】 根据题意：，，故. 离心率. 【小问2详解】 由与面积相等，可知与面积相等， 即，根据比例可知是的中点. 而，故在椭圆上，代入解得. 故直线的方程为， 因此到直线的距离为. 【小问3详解】 设直线的表达式为，、 由于在第一象限，故. 联立，得. 故，. 取的中点，即，， 故只需. 同时， 代入化简得 即在上有两个不相等的零点 有，代入解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海理工大学附属储能中学 2026学年第一学期高三年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 一、填空题（54分） 1. 已知集合，，则______. 2. 若复数满足，则等于___________ 3. 不等式的解集为______. 4. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 5. 已知数列的前n项和为，且满足，，则________． 6. 已知，，且，则的最小值为______． 7. ，则向量在向量方向上的数量投影为__________. 8. 若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 9. 如图，在扇形中，半径是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的周长的最大值为__________. 10. 设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 11. 设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①； ②是偶函数； ③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题是______. 12. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是______. 二、选择题（18分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为2π C. 的图象关于点对称 D. 的最大值为 15. 若向量满足，则向量一定满足的关系为（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 存在实数，使得 D. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足与平面所成角的大小为60°． 判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 三、解答题（78分） 17. 如图，在中，，斜边，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求该圆锥的全面积； （2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数表示） 18. 在中，已知． （1）求角的大小； （2）设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 19. （1）设，.已知函数的定义域为，且.若函数是偶函数，求、的值； （2）函数，其中，当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 20. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $