黑龙江省哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高一上学期11月期中测试数学试题

哈尔滨市第六中学校2026级上学期期中测试 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，，则（ 　） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（     ） A． B． C． D． 6．若函数是定义在R上的偶函数，在上是增函数，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， 且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ）（参考数据：） A．1721 B．1722 C．1723 D．1724 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（     ） A．与是同一函数 B． C．函数的图象必过定点 D．若的定义域是，则函数的定义域是 10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的有（        ） A． B．在单调递减 C．的解集是 D．当时， 11．下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若，，且，则的最小值为 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，，则的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12．不等式的解集为____________. 13．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 14．已知，关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是______． 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）计算： （1）； （2）； （3）已知，求的值. 16．（本小题满分15分）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义证明； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 17．（本小题满分15分）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案，方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米100元，屋顶和地面报价共计3600元，总计报价记为元；方案二：其给出的整体报价为元，. (1)求函数的解析式，并求报价的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 18．（本小题满分17分）著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是无理数.已知函数，. (1)对任意实数，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (2)求函数的值域； (3)当时，记的最大值为，求的解析式及最小值. 19．（本小题满分17分） （1）设函数. ①求函数的最大值； ②当不等式在上有解时，求实数的取值范围； （2）设，对于任意正数，且，是否存在常数，使得恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 高一数学试题 第1页 共3页 高一数学试题 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈六中 2026—2027 学年度上学期高一学年期中考试 数学试题 · 参考答案与解析 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C D D B B 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．　13．　　14．　　 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分） 15．（1）因为 故原式 ． ................4 （2）； 故原式 ． ................8 （3）两边平方得 ，即 ； 再平方得 ，所以 ． ................13 16．（1）由 恒成立， 的定义域为 ，关于原点对称．所以 是奇函数． ................5 （2）因 ， 任取 ， 即 ，所以 在 上单调递减． ................10 （3）由 为奇函数得 ， ................12 又 在 上递减，故 解得 ，即 ． ................15 17．（1）设长方体底面长为 ，由地面面积 81 得 ． 墙面面积 ，所以 ，．................3 由基本不等式：，当且仅当 ，即 时取等号，所以 （元），此时 ． ................6(取等条件1分) （2）需 对 恒成立， 两边除以 600 并乘 ，得 ，即 ...............13 令 ，则 ，等号在 处取得， 故右式最小值为 （此时 ），又 ， 所以 ． ................15(取等条件1分) 18．（1） 是定值，定值为 ，对任意实数 恒成立． ................4 （2） ................7 因 ，有 ，故 ，所以 ，即值域为 ． ................9 （3）令 ， 时 单调递增，． ................10 由（1），得 ，即 ． 于是 （）， ................13 对称轴 ，故 综上，（当 时取得）． ................17（每种情况1分，最小值1分） 19．（1）①，， 令 ，则 ...............2 当 （即 ）时，． ................4 ② 令 ，不等式化为 ，即 ．...............6 时不成立；...............7 时 ，有 ． 而 在 上递增，值域为 ， 不等式有解等价于 ，所以 ． ................9 （2）设 ，则 ，且 ， ，即 ................14 因 在 上单调递减，故 （此时 ，即 ）． 所以存在这样的常数 ，且 的最大值为 ． ................17 学科网（北京）股份有限公司 $