7.3.2 离散型随机变量的方差 同步练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若随机变量满足，则（   ） A．B． C． D． 3．若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 4．已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 5．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 6．设，为随机变量，，，，则（    ） A．22 B．6 C．8 D．4 7．数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．（多选）下列说法正确的是（    ）． A．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” B．随机变量的均值反映波动幅度的大小 C．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度 D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 10．一组数据的平均数为7，方差为4，则（    ） A．数据的平均数为3 B．数据的平均数为9 C．数据的标准差为1 D．数据的方差为9 11．下列说法中，正确的有（   ） A．的展开式中，的系数是60 B．，则 C．用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为48 D．随机变量X的分布列为，，则 三、填空题 12．已知数据的方差为，那么数据的方差为______． 13．设离散型随机变量的分布列如下，若，则_______． 2 3 4 0.3 0.4 14．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 四、解答题 15．某市高二建模数学小组的7名学员中恰有4人来自建华中学，从这7名学员中随机选取2人，表示选取的人中来自建华中学的人数． (1)求的分布列； (2)求的数学期望和方差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《7.3.2离散型随机变量的方差》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B B B C ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 2．C 【分析】根据方差的性质求出，再根据标准差与方差的关系求出. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 3．A 【详解】因为， 所以． 4．C 【详解】，； ，； . 5．B 【分析】根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解． 【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 6．B 【分析】先根据变量的线性关系求出，再根据求解即可. 【详解】因为随机变量，满足，，， 所以，，即，解得， 所以，由方差公式得. 7．B 【分析】根据方差性质公式计算即可. 【详解】由方差性质可得新数据方差为：. 故选：B 8．C 【分析】由百分位数的定义即可得出①正确，由标准差定义判断②正确，由随机变量的数学期望及方差性质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确. 【详解】①：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故①正确． ②：根据标准差定义，一组数据的标准差 时， 显然有，故②正确． ③：若随机变量，满足，则， ，故③错误； ④：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队， 男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作， 每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院， 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 综上，共有种分配方式，故④正确； 故选：C 9．ACD 【分析】根据均值、方差和标准差的定义,即可求解. 【详解】随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以A正确，B错误． 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散，所以CD正确． 故选：ACD． 10．ACD 【分析】根据所给数据的平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得，，进而求得和即可判断. 【详解】设,则，解得， ，解得，则，故A正确；C正确； 则，，故B错误，D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】对于A，根据二项式定理写出展开式通项，由题意，可得其正误；对于B，利用赋值法，分别赋值为，相减可得其正误；对于C，根据分类加法原理，结合四位数且为偶数的性质，可得其正误；对于D，根据数学期望以及方差的计算公式，可得其正误. 【详解】的展开式的通项为，，1，2，3，4，5，6， 令，则的展开式中的系数为，故A正确； 在中，令，得，所以； 再令，得，即． 所以，故B正确； 由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为0，2或4． 当个位数字为时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个． 由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故C错误； 由题意得，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 12． 【分析】确定原数据的方差，再根据方差的性质计算新数据的方差. 【详解】已知数据的方差为，即， 对于数据（），根据方差的性质 因此新数据的方差为. 故答案为：. 13．/ 【分析】利用分布列先求期望，再求方差，最后利用方差的性质即可求出结果. 【详解】由概率和为1，可知， 根据分布列可求得期望：， 再求方差：， 根据方差性质可得：， 故答案为： 14． 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望，再结合方差计算公式即可求解 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 15．(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）列出的所有可能取值，根据古典概型概率计算公式计算对应概率列表可得分布列； （2）根据分布列由期望和方差公式计算即可. 【详解】（1）的所有可能取值是0，1，2； ，，， 所以的分布列是 0 1 2 P （2）数学期望是， 方差为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $