7.3.2离散型随机变量的方差 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【学习目标】 1.通过对具体实例的分析，经历刻画某一组具体数据离散程度的研究过程，能类比样本方差的概念，概括出离散型随机变量的方差的概念，能用自己的语言解释其含义. 2.能用离散型随机变量的方差刻画实际问题中数据离散程度，培养数学应用意识. 【例题精练】 【例1】已知随机变量的分布列为 0 1 3 (1)求实数的值； (2)求的数学期望； (3)设随机变量，求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据概率和为1即可得到答案； （2）根据期望公式即可得到答案； （3）首先根据方差公式得，再利用方差性质即可. 【详解】（1）根据分布列的性质可得，． 解得． （2）的数学期望． （3）的方差： ， 故． 【例2】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【分析】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【详解】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 【例3】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列； （2）由（1）中随机变量的分布列，求得，，设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： （2）由（1）中随机变量的分布列，可得， . 设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 【答案】A 【分析】由方差的性质直接求解. 【详解】因为，所以. 故选：A． 2．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 3．已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，解得， 因为，解得， 所以. 4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品件，表示甲机床生产件产品中的次品数，表示乙机床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考查，，的分布列分别如表一，表二所示．据此判断（   ） 表一 表二 A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 【答案】B 【分析】由分布列计算可得，，进而得到，，根据方差大小可得结论. 【详解】由分布列可求甲的次品数期望为，乙的次品数期望为， ， ， ，，乙比甲质量好. 故选：B. 5．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求随机变量的分布列，再运用公式求 【详解】由题意，可能取值为2，3 包含事件为取出的两个球为1，2 所以 包含事件为取出的两个球为1，3或2，3 所以 ， . 故选：A. 6．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】先求出每个取值所对应的概率，再求方差. 【详解】由题可设，则，， 所以，解得. 所以. 二、多选题 7．为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则（    ） A．的所有可能取值为1，2，3 B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题知，的所有可能取值为1，2，3，计算对应概率、期望及方差即可判断. 【详解】依题意的所有可能取值为1，2，3， 当时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有种选法． 则，， ． ． ． 故选：AC. 8．某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 【答案】AC 【分析】根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得. 【详解】依题意可得，所以，， 则，故A正确； 所以， ，则，故C正确； 而，故B错误； 因为， ， 即，所以活动的收益风险高于活动，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．有10张卡片，其中8张标有数字张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则________． 【答案】3.36 【分析】由题意得，随机变量的可能取值为6、9、12，求出三种情况下对应的概率，再直接利用方差公式求解即可． 【详解】，，， 则， ． 故答案为：3.36． 10．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则______. 【答案】 【分析】根据两点分布的方差计算公式和方差的基本性质即可求解. 【详解】由题知，服从两点分布，且， 所以. 故答案为：. 四、解答题 11．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，； (3). 【分析】（1）根据表中数据，结合古典概型概率公式即可得解； （2）利用古典概型概率公式求出各取值的概率，然后可得分布列，再由期望公式可得； （3）利用方差公式计算出即可得解. 【详解】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 【B组能力提升】 1．已知随机变量X的概率分布表如下： 0 1 其中，，都是正数，若随机变量X的数学期望，方差，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查离散型随机变量的数字特征，结合概率分布表的性质及离散型随机变量的期望与方差公式，列出相应的数量关系解决问题. 【详解】解：由概率分布表性质可知，解得， 又，则， 整理得，所以. 又由概率的性质，，所以， 综上. 2．设<<1，随机变量X的分布列是 X 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】D 【详解】由题意得，则，故，， 所以， 故当a在时，增大减小；当a在时，增大增大. 3．（多选）有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出的所有可能值，求出相应的概率，可判断AB，再计算期望与方差，判断CD． 【详解】因为a的所有可能取值为2，3，4，b的所有可能取值为2，3，4．点恰好落在直线上，所以的所有可能取值为4，5，6，7，8． 从两个盒子中分别任取1个球，共有9种情况，，，，，．对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 对于C，，故C选项错误； 对于D，，故D选项正确， 故选：ABD． 4．某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得1分，投不进得0分，第二次投篮投进得2分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于0分就能获奖.已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响. (1)求至少投进一个球的概率； (2)求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差； (3)求这位同学能获奖的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望、方差. （3）利用对立事件的概率公式求解. 【详解】（1）设至少投进一个球为事件，则. （2）这位同学投篮三次的总得分的所有可能取值为，0，2，3， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 2 3 ，， 所以. （3）设这位同学获奖为事件，则，所以获奖的概率为. 5．已知随机变量的概率分布表如下表所示： … … 其中，，，，记随机变量的数学期望和方差分别为，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据期望公式将展开，借助和化简可证； （2）将方差公式展开，利用期望公式和化简可证. 【详解】（1）因为，， 所以 （2） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2　离散型随机变量的方差 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【学习目标】 1.通过对具体实例的分析，经历刻画某一组具体数据离散程度的研究过程，能类比样本方差的概念，概括出离散型随机变量的方差的概念，能用自己的语言解释其含义. 2.能用离散型随机变量的方差刻画实际问题中数据离散程度，培养数学应用意识. 【例题精练】 【例1】已知随机变量的分布列为 0 1 3 (1)求实数的值；(2)求的数学期望；(3)设随机变量，求． 【例2】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【例3】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 2．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品件，表示甲机床生产件产品中的次品数，表示乙机床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考查，，的分布列分别如表一，表二所示．据此判断（   ） 表一 表二 A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 5．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（    ） A． B． C． D． 6．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4. 二、多选题 7．为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则（    ） A．的所有可能取值为1，2，3 B． C． D． 8．某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 三、填空题 9．有10张卡片，其中8张标有数字张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则________． 10．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则______. 四、解答题 11．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【B组能力提升】 1．已知随机变量X的概率分布表如下： 0 1 其中，，都是正数，若随机变量X的数学期望，方差，则（   ） A． B． C． D． 2．设<<1，随机变量X的分布列是 X 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 3．（多选）有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（    ） A． B． C． D． 4．某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得1分，投不进得0分，第二次投篮投进得2分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于0分就能获奖.已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响. (1)求至少投进一个球的概率； (2)求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差； (3)求这位同学能获奖的概率. 5．已知随机变量的概率分布表如下表所示： … … 其中，，，，记随机变量的数学期望和方差分别为，．求证： (1)； (2)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $