广东江门市第一中学2025-2026学年第二学期第一次学段考试高二数学试卷

**基本信息** 江门一中高二数学月考试卷聚焦数列、导数等核心知识，通过解答题分层设计（如19题单调性讨论、零点分析及极值点证明），考查逻辑推理与数学思维，适配阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差数列公差计算、导函数图像分析|基础题占比60%，如第1题直接考查数列基本量| |多选题|3|等差数列前n项和性质、函数单调性|第10题结合Sₙ递减考查公差范围，体现知识综合| |填空题|3|函数求导、二项式系数|第14题恒成立问题考查导数应用，强化数学语言表达| |解答题|5|数列证明与求和、函数切线及单调性|18题通过前n项和证明等比数列，19题三问递进，突出数学思维与创新意识|

江门一中2025-2026学年度第二学期第一次学段考试 高二级数学试卷 一、单选题 1．在等差数列中，，，则公差（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ） A． B．   C．  D．   3．在等比数列中，，，则为（   ） A． B． C． D． 4．函数的极小值点是（    ） A．0 B． C． D． 5．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 6．在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 11．已知，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．已知函数，则______． 13．，则______． 14．已知恒成立，则正数的取值范围为______． 四、解答题 15．已知在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的2倍． (1)求的值； (2)求的展开式中的系数； (3)求的展开式中的有理项． 16．已知是等差数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 17．函数，. (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 18．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)已知，求数列的前项和，并证明：. 19．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2025-2026学年度第二学期第一次学段考试 高二级数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B A C C BD AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】 2．B 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 3．B 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，得到， 所以. 4．C 【详解】令 ，得， 易知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值点为． 故选：C． 5．B 【详解】若0在个位，则有种情况， 若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有， 故总共有个， 故选：B 6．A 【详解】事件：甲、乙选择的专题不同，甲有3种选法. 乙有2种选法，丙有3种选法，所以. 事件：甲、乙不同且乙、丙相同.先选乙的专题，有3种. 丙的选法和乙相同，甲有2种选法，所以， 因此. 7．C 【详解】由已知，显然单调递增， 要使在区间内有最小值，则在区间内有变号零点， 则解得． 故选：C. 8．C 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 9．BD 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．AC 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 11．ABD 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 12．1 【详解】因为函数，则 当时，则，解得 故答案为：1 13．31 【详解】令得：， 令得：， 所以. 14． 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 15．【详解】（1）在的展开式中， 第3项与第2项的二项式系数之比是，所以. （2）展开式， 令，得，所以的系数为. （3）令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 故展开式中的所有有理项为：. 16．【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得 ， 有，故数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以， 则， 两式作差得， 所以. 17．【详解】（1）因为，，则， 且，， 若曲线与在处有相同的切线，则， 即，解得， 此时曲线与在处的切线都为，符合题意，所以. （2）函数在上单调递减，则，， 即，，则， 因为，当且仅当时取等号， ，即a的取值范围是. 18．【详解】（1）因为，所以当时，， 即，所以. 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列 （2）由（1）知，，所以. （3）由（2），得， 所以， 因为，所以， 又， 所以是递增数列， 所以， 所以. 19．【详解】（1）的定义域为，． 当时，在上单调递增；当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为在上有两个零点，所以， 由得，令，则， 所以，时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为， 又无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是． （3）因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，即． 设，则． 令，则，可知在上为增函数． 又，所以时，在上为增函数． 所以，即成立，所以成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $