精品解析：陕西省汉中市城固县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

城固一中2025级高一第一学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解. 【详解】根据存在量词命题的否定可得， 的否定为， 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则； 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 故选：C 4. 已知幂函数奇函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果． 【详解】由为幂函数得，即，解得或． 当时，，，原幂函数为偶函数，所以； 当时，，，原幂函数为奇函数，故． 故选：A． 5. 已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数每一段都是增函数，且左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】由题意可知是上的单调递增函数，则，解得． 故选：B. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 因为， ，则函数为偶函数，排除CD选项， 又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项. 故选：A. 7. 函数的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象恒过定点求出点坐标，代入，再利用基本不等式可得答案. 【详解】若函数的图象恒过定点，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 整理得， 解得，或舍去， 由解得， 即当时，取得最小值为6. 故选：C. 8. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC，利用基本不等式即可判断；对于BD，利用特值法即可判断． 【详解】∵（当且仅当时取等号）， 又为正数，，∴，故A正确； 当时，，，此时，故B错误； ∵为正数，则（当且仅当时取等号）， 又，∴，故C正确； 当时，，此时，故D错误， 故选：AC. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A 函数与函数表示同一函数 B. 若奇函数满足：当时，，则当时， C. 若函数，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A两函数的定义域不同，故不是同一函数，判断A；由奇函数的性质可判断B正确；求出，故C正确；函数的定义域为，故D正确. 【详解】的定义域是， 的定义域是，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误; 若奇函数满足：当时，， 则当时，，则， 又，所以，故B正确； 若函数，则，故C正确； 若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D正确. 故选：BCD 11. 设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（ ） A. B. 为增函数 C. D. 关于的不等式，的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求出判断A，根据函数单调性的定义及函数性质证明单调性判断B，令后，再利用赋值法求出即可判断C，根据C化简不等式后，换元解不等式，再由函数单调性求解即可判断D. 【详解】令，可得，得，再令，可得，解得，故A正确； 设，因为，所以，令，则，因为，所以，因为当时，，所以，即，所以为减函数，故B错误； 令可得，令可得， 由，可得，所以，故C正确； 由C，可化为，令， 则不等式可化为，解得，即， 因为为减函数，，所以由 可得，即，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数函数及具体函数定义域列不等式计算即可. 【详解】因为函数，所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 计算______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的基本运算法则进行计算即可. 【详解】原式 故答案为： 14. 设函数上的最大值为，最小值为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，令，求得为奇函数，得到，进而求得的值，即可得到答案. 【详解】由函数， 令，其定义域关于原点对称， 且，即， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案； （2）转化为，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为或， ， 所以， . 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为. 16. 一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. （1）求函数的解析式； （2）已知函数，求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可； （2），设，再利用二次函数性质即可求出其值域. 【小问1详解】 由题意有，解得或， 当时，，此时，舍去； 当时，，满足． 【小问2详解】 由题得，令，因，则， ，， ，所以的值域为． 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 【答案】（1）答案见详解 （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【解析】 【分析】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. 【小问2详解】 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 18. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）判断在上的单调性，并证明你的判断； （3）对任意，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助奇、偶函数的定义判断即可得； （2）由符合函数的性质可直接判断，借助函数单调性的定义即可证明； （3）结合函数的单调性与奇偶性计算即可得. 【小问1详解】 函数为偶函数，理由如下： 由题意得，， 函数的定义域为，关于原点对称， 又为偶函数； 【小问2详解】 函数在上单调递减，证明如下： 取，且， ， ， 函数在上单调递减； 【小问3详解】 由题意得， 当时，则， 当时，则， （当且仅当时等号成立），； 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）若函数与函数的图象有相同的对称中心，且两图象交于点，计算的值； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设对称中心为，根据化简求解即可； （2）根据函数与函数的图象有相同的对称中心，可得对应交点也是对称的，即可求得； （3）对任意，总存在，使得，转化为函数在上的值域为在上的值域的子集，由单调性求出值域，再讨论的单调性与值域，根据子集关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 函数．设函数图象的对称中心为， 则由题意得为奇函数，即， 即， 整理得，即， 所以，解得， 所以图象的对称中心为. 【小问2详解】 由于，则交点必为偶数个. 不妨设与关于对称，与关于对称，…，与关于对称， 所以，， 所以. 【小问3详解】 易证函数在上单调递增， 证明如下：任取且， 则， 因为且，所以且， 所以，即， 所以函数上单调递增. 由对任意，总存在，使得， 可得函数在上的值域为在上的值域的子集， 由于在上单调递增，故在上的值域为， 所以原问题转化为在上的值域. 由二次函数的图象和性质可知，当，即时，在上单调递增， 又，所以函数的图象恒过对称中心， 所以在上也单调递增，故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，解得. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 因为的图象过对称中心，所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 欲使，只需且， 解得，又因为，所以. 当，即时，在上单调递减，在上也单调递减， 所以在上单调递减，所以， 因为，所以，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城固一中2025级高一第一学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知幂函数是奇函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 或2 5. 已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若奇函数满足：当时，，则当时， C. 若函数，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（ ） A. B. 为增函数 C. D. 关于的不等式，的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 计算______. 14. 设函数上的最大值为，最小值为，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是必要条件，求a的取值范围． 16. 一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. （1）求函数的解析式； （2）已知函数，求在上的值域. 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 18. 已知函数. （1）判断奇偶性，并说明理由； （2）判断在上的单调性，并证明你的判断； （3）对任意，若恒成立，求实数取值范围. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）若函数与函数的图象有相同的对称中心，且两图象交于点，计算的值； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $