21.3.1 矩形（第2课时）教学设计 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

21.3.1　矩形（第2课时） 教学目标 1．类比平行四边形判定定理的研究过程，探究并证明矩形的判定定理，即从矩形性质定理的逆命题出发，提出猜想，发现结论，给出证明，积累研究图形的经验． 2．理解并掌握矩形的三种判定方法，能运用矩形的判定定理进行计算和证明，解决相关的图形问题，发展几何直观与推理能力． 教学重点 矩形判定定理的证明及应用． 教学难点 矩形判定定理的应用． 教学过程 新课导入 【知识回顾】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．矩形的特殊性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等； 3．矩形的图形特征：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 【设计意图】通过复习旧知，建立新旧知识的联系，为后续学习矩形的判定奠定基础． 新知探究 【引导语】我们研究几何图形时，在掌握性质后，通常会探究其判定方法．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是最基本的判定方法，也是我们研究其他判定方法的基础．除了定义法，还有其他判定方法吗？你们想怎样研究？ 【新知】矩形的判定定理1：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【师生活动】师生交流，明确可以类比平行四边形判定定理的研究过程，从矩形性质定理的逆命题入手，看一看它们是否成立． 【问题1】我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上画图，观察，猜想对角线相等的平行四边形是矩形．随后写出已知和求证，小组讨论证明思路，教师巡视指导，引导学生利用三角形全等和平行四边形的性质进行证明，小组代表展示证明过程，教师板书示范． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝BD． 求证：▱ABCD是矩形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝DC，AB∥DC． 在△ABC和△DCB中， ∴ △ABC≌△DCB（SSS）， ∴ ∠ABC＝∠DCB． 又 AB∥DC， ∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°． ∴ ∠ABC＝90°， ∴ ▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【新知】矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 【追问1】要利用矩形的判定定理2证明一个四边形是矩形，你们觉得有几个要点？ 【师生活动】学生共同口答，明确要利用矩形的判定定理2证明一个四边形是矩形，有2个要点：①四边形是平行四边形；②四边形的对角线相等． 【追问2】对角线相等的四边形是矩形吗？ 【师生活动】学生组内讨论，尝试举出反例，发现对角线相等的四边形不一定是矩形，可能是等腰梯形．教师进一步强调使用矩形的判定定理2需要同时满足两个条件． 【追问3】工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等．你知道其中的道理吗？ 【师生活动】学生联系刚刚学过的矩形的判定定理2，解释工人师傅做法的数学原理：测量两组对边分别相等，确保它们的形状是平行四边形；再测量对角线相等，确保它们的形状是矩形． 【设计意图】类比平行四边形的研究方法，引导学生从性质定理逆命题的角度提出猜想．让学生经历“猜想—证明—应用”的完整探究过程，理解矩形的判定定理2，体会数学在生活中的实际应用． 【问题2】我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上画图，观察，猜想四个角都是直角的四边形是矩形，随后写出已知和求证，小组讨论证明思路．教师提示可以先判定四边形是平行四边形，再进一步判定这个平行四边形是矩形．小组代表展示证明过程，教师板书示范． 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ ∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°， ∴ AC∥BD，AB∥CD． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又 ∠A＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形． ∴ 四个角都是直角的四边形是矩形． 【追问1】“ 四个角都是直角”这个条件是否可以简化呢？进一步，至少有几个角是直角，我们就能判定这个四边形是矩形？ 【师生活动】教师引导学生从四边形内角和入手分析：四边形内角和是360°，有三个角是直角，那么第四个角等于360°－3×90°＝90°，即四个角都是直角．因此在一个四边形中，有三个角是直角，那么这个四边形就是矩形． 【追问2】条件还能进一步简化吗？有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角呢？ 【师生活动】学生组内讨论，尝试举反例，发现有一个角为直角的四边形和有两个角为直角的四边形都不一定是矩形． 【新知】矩形的判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形． 【设计意图】通过从“四个角是直角”到“三个角是直角”的递进式探究，让学生体会矩形判定条件的简化过程，同时，借助反例明确判定条件的边界，培养逆向思维与数形结合意识． 【问题3】矩形的三种判定方法，它们的前提条件和核心判定条件分别是什么？ 【师生活动】师生共同梳理出三种判定方法的前提和核心条件，学生在学习任务单上进行记录． 【设计意图】通过对比梳理，帮助学生清晰区分三种判定方法各自的适用场景，形成系统的判定体系． 例题精讲 【例】如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形． 【师生活动】教师首先带领学生回顾矩形的三种判定方法，师生共同观察图形，根据已知条件，结合平行四边形的性质和角平分线的定义，尝试证明∠F是直角．再用同样的方法证明∠H，∠FEH是直角，最后根据“有三个角是直角的四边形是矩形”完成证明，教师板书示范，规范证明步骤． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD． ∴ ∠BAD＋∠ADC＝180°． 又 AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴ ∠DAF＋∠ADF＝∠BAD＋∠ADC＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°． ∴ ∠F＝90°． 同理 ∠H＝∠AEB＝90°． ∴ ∠FEH＝∠AEB＝90°． ∴ 四边形EFGH是矩形． 【归纳】1．当条件既出现平行线又出现角平分线时，可以利用“两条平行线之间，每一组同旁内角的平分线所成的角均为直角”解决问题． 2．在证明一个四边形是矩形时，若已知这个四边形是平行四边形，优先考虑“定义法”或者“对角线相等的平行四边形是矩形”；若已知条件中出现直角时，优先考虑“有三个角是直角的四边形是矩形”． 【设计意图】通过例题，综合运用平行四边形的性质、角平分线的定义、矩形的判定定理解决问题，提升学生的逻辑推理能力和知识迁移能力，完善对矩形判定的整体认知． 课堂练习 1．求证：四个角都相等的四边形是矩形． 【师生活动】学生写出已知和求证，独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D， ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∴ 四边形ABCD是矩形． 2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， △OAB是等边三角形，且AB＝2．求▱ABCD的面积． 【师生活动】教师引导学生结合条件明确解题思路：先利用对角线相等证明▱ABCD是矩形，再根据勾股定理求出BC的长并计算面积．学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：∵ △OAB是等边三角形，且AB＝2， ∴ OA＝OB＝AB＝2， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD． ∴ AC＝BD＝4， ∴ ▱ABCD是矩形． ∴ ∠ABC＝90°． 在Rt△ABC中，根据勾股定理， BC＝＝＝． ∴ S▱ABCD＝AB·BC＝2×＝． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．求证：四边形ADCF是矩形． 【师生活动】教师引导学生逐步分析题目：由AB＝AC，D是线段BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”可知∠ADC是直角，BD＝CD，再结合AF∥BC，若能证明AF＝DC，则可以证明四边形ADCF是平行四边形，进一步证明它是矩形．学生根据教师的引导，独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】证明：∵ AF∥BC， ∴ ∠EAF＝∠EDB． ∵ E是线段AD的中点， ∴ AE＝DE． 在△AEF和△DEB中， ∴ △AEF≌△DEB(ASA)． ∴ AF＝DB． ∵ AB＝AC，D是线段BC的中点， ∴ ∠ADC＝90°，DB＝CD， ∴ AF＝CD， 又 AF∥CD， ∴ 四边形ADCF是平行四边形． 又 ∠ADC＝90°， ∴ ▱ADCF是矩形． 【提醒】条件中出现了等腰三角形和底边的中点，可以推出垂直关系，为判定直角提供依据． 【设计意图】通过分层递进的课堂练习，全面巩固矩形的三种判定方法，引导学生在不同问题中灵活选择合适的矩形判定方法，提升学生的推理能力和解决问题的能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1.矩形的三种判定方法分别是什么？它们的前提条件有什么不同？ 2.判定矩形时，如何根据已知条件~选择合适的判定方法？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第7879页习题21.3第1，2，8题． 学科网（北京）股份有限公司 $